CHAPITRE X
§ 1. Etude théorique. ^ § 2. Etude earpérimerUale.
!85t. Action mutuelle des fluides et des solideii en mou¥ement relatif. — Le problème de l'action mutuelle des fluides et des solides en mouvement relatif, qui consiste à déterminer TefFort ou Timpulsion exercée sur un corps solide en repos par un fluide en mouvement, ou, inversement, la résistance opposée par un fluide en repos au mouvement, d'un solide qui y est plongé, est un des plus difficiles de l'hydraulique. « Il est étonnant que, dans un siècle aussi éclairé, « on sache si peu de choses sur la résistance des fluides, et « que, tandis que Ton fait tous les jours usage de l'eau et de « Tair pour mouvoir nos machines ou conduire nos vais- « seaux, nous n'ayons pas, ou plus d'expériences, si la théo- « rie est trop compliquée, ou plus de théorie, si elle doit être « le fruit de l'expérience. * » Cette phrase, écrite en 1786, est encore vraie aujourd'hui. Le problème de la résistance des
1. Du Buat» Principes d^ hydraulique f discours préliminaire*
532 GIIAP. X. - HlilSISTANCK DES FLUIDES.
fluides n'a élé résolu théoriquement, par Bernoulli, que dans le cas simple où l'on cherche l'impulsion, contre une surface plane, d'une veine fluide de dimensions notablement plus faibles que Tétendue de cette surface. Lorsqu'il s'agit d'un corps solide plongé dans un fluide indéfini, on ne possède aujourd'hui que des essaie de théorie très incomplets, à peine suffisants pour rendre compte des faits d'expérience, en petit nombre, qui ont été constatés.
9^9. Impulsion d'une ireine fluide contre un plan. —
Considérons une veine fluide A'B'AB(fig. H3), dont la section transversale est o) et la vitesse v, venant heurter un plan CD.
 une certaine distance en avant de ce plan, la veine s'étale, les filets fluides se courbent en tournant leur convexité vers le plan et si celui-ci, comme nous le supposons, est assez étendu, les vitesses des filets deviennent, à une certaine distance, en des points tels que C, D, parallèles à la direction du plan.Ecri^ vons l'équation qui exprime le théorème des quantités de mouvement projetées sur une direction perpendiculaire au plan heurté, pour la masse fluide comprise entre la section AB, où la veine commence à s'élargir et les points C, D, où les vitesses deviennent ainsi parallèles à l'obstacle. Désignons par P le poids de cette masse fluide et par R la pression normale qu'elle exerce sur le plan, son mouvement étant supposé arrivé à l'état de permanence. La quantité de mouvement de la masse dont il s'agit étant alors constante, l'accroissement de la quantité de mouvement totale se composera de celle du fluide qui sort de l'espace considéré, pendant l'unité de temps, diminuée de celle du fluide qui y entre. Or, la quantité de mouvement du fluide qui sort a, sur la perpendiculaire au plan, une projection nulle, puisque les vitesses aux
§ i. - ÉTUDE THKOKIQUÉÎ. 333
points G, D, sont parallèles au plan. La masse fluide qui entre en AB dans Tunilé de temps est - t;(i), sa quantité de mouvement, si l'on suppose tous les filets animés de la vitesse
moyenne, vaut - 1;'(>>, et la projection, sur la normale au plan, de y
cette quantité de mouvement est, en appelant ^ l'angle de la
veine liquide avec le plan, - (oy'sin?.
Les forces extérieures sont la pesanteur ou le poids P de la masse fluide, dont la projection sur la normale au plan sera P sina, en appelant oc l'angle du plan avec la verticale, et la réaction de la surface heurtée, égale et contraire à l'impulsion R cherchée, qui se projette en vraie grandeur. L'équation des quantités de mouvement projetées sera ainsi :
0 (ot?* sin <p = P sin a — R.
On en déduit :
(1) R = P sin a + - lùV* sin ç.
L'impulsion R se compose d^deux parties : la première P sin a est la pression statique duMu poids de la masse fluide
qui repose sur le plan, l'autre, -wt?" sin<p, qui dépend de la vi-
tesse, est réellement l'impulsion ou la pression dynamique qu'il s'agit d'évaluer. On peut l'écrire, en faisant abstraction de la première, qui s'annule d'ailleurs dans le cas où le plan est vertical :
R=--A- (wsin ç)'.
gsin f^ ^ '
Elle est alors le produit de la densité du liquide, - , par l'aire de la section faite dans la veine liquide par un plan parallèle à la surface heurtée, -. — , et par le carré de la composante de la vitesse suivant la normale au plan (r sin (p)'.
Les résultats de cette formule ont été vérifiés par de nombreuses expériences.
Si le plan n'était pas assez large pour que les vitesses à la sortie fussent devenues parallèles à sa direction, ou si la surface heurtée, au lieu d'être plane, était courbe, le premier terme de Téquation ci-dessus, au lieu d'être zéro, devrait exprimer la projection, sur la direction R, de la quantité de mouvement du fluide sortant, de sorte qu'en appelant Vi la vitesse des filets fluides à la sortie, çi l'angle de cette vitesse (supposé le même pour toutes) avec la direction normale à R, ce
terme serait -{oi^t^isinçi. L*expression de la résistance R serait 9 ^
alors, en faisant abstraction de sa partie statique P sin a :
R = - (ov* sin 9 1 1 r— ^ ).
g ^ \ i; sm y /
La vitesse Vj est généralement inconnue, mais on peut admettre, comme approximation, lorsqu'il n'y a pas de frottement, qu'elle est égale à la vitesse initiale v. Alors :
R = - (ot;* sin <p ( 1 r-^ ).
g \ sm y /
Lorsque, par exemple, la veine est reçue par un vase hémisphérique ou lorsque le plan sur lequel elle tombe normalement est muni d'un rebord de hauteur convenable, qui oblige le fluide à retourner en arrière parallèlement à sa direction primitive, sin (p= 1 et sin çi = — 1 et
R = 2-coî;«.
L'impulsion est double de celle qui se serait produite sur un plan indéfini.
Ce résultat, donné pour la première fois par Euler, a été vérifié par les expériences de Morosi, de Savart et de Bidone.
