Impuliiion d'un courant indénni. — Le problème

s 4. - ÉTUDE THÉORIQUE. 53»

devient beaucoup plus compliqué lorsque le corps solide, au lieu d'être simplement heurté par le fluide sur une de ses faces, se trouve entouré de toutes parts par un fluide indéfini en mouvement, qui presse aussi bien sur sa face postérieure que sur la face antérieure. Les géomètres du siècle dernier Tout abordé en vain et se sont heurtés successivement à un résultat paradoxal donnant zéro pour l'impulsion ou la résis* tance dont il s'agit. Certte difficulté lient h, ce que les fluides considérés par ces géomètres étaient des fluides parfaits dans lesquels le frottement intérieur est supposé nul, et, dans cette hypothèse, la même difficulté « subsistera toujours^ dit Bos- « sut, de quelque manière qu'on détermine les vitesses des « filets du fluide: elle porte sur le principe même que son ac- « tion contre un corps exposé à son cours provient seulement € de la pression de ce fluide. Si la chose est, en effet, ainsi, il (( s'ensuit que toutes les fois que la figure du corps sera telle « que les filets fluides aient la même vitesse le long de la parce tie postérieure que le long de la partie antérieure (ce qui « peut avoir lieu dans plusieurs cas), le fluide ne tendra à im- « primer aucun mouvement au corps. » Bossut ajoute :

(( Ce résultat est inadmissible. Il parait donc qu'outre la « pression, il se fait dans le fluide une perte de mouvement « qui passe au corps exposé à son courant. »

C'est, en effet, que l'impulsion dont il s'agit provient uniquement de ce que Ton appelle l'imperfection de la fluidité, c'est-à-dire de la production de frottements surtout intérieurs du fluide.

IS54. EiKpresftIon générale de l'impulsion. — Considérons un liquide, ou plus généralement un fluide remplissant un espace indéfini, et animé, en tous ses points, de vitesses horizontales égales et constantes dans toute l'étendue d*un même filet fluide, c'est-à-dire supposons que ce fluide soit en état de mouvement permanent, uniforme, horizontal, afin de faire abstraction de la pesanteur; admettons aussi, pour la

même raison, que le poids du fluide soit négligeable. Dans cette hypothèse, tontes les particules fluides étant animées do vitesses égales et parallèles sont en repos relatif et les pressions sont partout normales aux surfaces sur lesquelles elles s'exercent. Si, dans une pareille masse fluide en mouvement, nous plaçons un corps de dimensions finies, supposé retenu par uniil dans une position fixe, les filets fluides devront se dévier à la rencontre du solide ; mais Texpérience montre qu'à une certaine distance, aussi bien en avant et en arrière que latéralement, le mouvement primitif du fluide ne sera en rien

modifié. Si donc, de la masse fluide indéfinie, on abstrait celle qui serait comprise dans un cylindre horizontal CDFE (fig. H4) suffisamment large et long, entou- D K F rant le corps solide de toutes parts,

^*»- *^^- le mouvement de la masse fluide

située en dehors de ce cylindre sera exactement le même que si le corps solide n'existait pas; de sorte que, pour Tétude de l'impulsion qui lui est transmise par le fluide, il suffira de considérer la portion du fluide comprise dans ce cylindre.

Désignons alors par P, P' les pressions totales qui s'exercent sur les deux sections extrêmes CD, EF de ce cylindre, par Cl) l'aire commune de ces deux sections, par v la vitesse commune de tous les filets fluides qui les traversent et par R rimpulsion totale, inconnue, exercée par le fluide sur le corps solide que nous supposerons symétrique par rapport au courant, de façon que R soit parallèle à la direction des vitesses v. Si nous appliquons à la masse fluide considérée le théorème des quantités de mouvement projetées sur la direction de Taxe horizontal du cylindre, nous aurons simplement, puisque nous abstrayons le poids du fluide qui, d'ailleurs, aurait une projection nulle, et que les pressions latérales sur le contour du cylindre, étant normales, disparaissent également :

§ i. -. ÉTUDE THÉORIQUE. 53Î

Appliquons le théorème des forces vives pendant un temps dt^ en appelant — T^^ le travail total des frottements ou des composantes tangentielles des pressions des filets ou éléments fluides les uns sur les autres, ainsi que sur le corps plongé, pendant l'unité de temps ; ce travail sera, pendant le temps dt^ exprimé par — Tfdt. Le travail de toutes les autres forces sera nul à l'exception de celui des pressions P et P', lequel .sera respectivement Pvdt et — Vvdt. Et comme la force vive est restée la même en tous les points, puisque le mouvement est permanent, nous aurons, pour Téquation des forces vives :

Vvdt — Vvdt — Tfdt = 0,

ou bien, en divisant par dt :

(P-POe=T^,

ce qui, combiné avec l'équation précédente, donne :

On voit donc bien que l'impulsion R serait nulle si le travail des frottements T^ était lui-même égal à zéro.

Il s'agit d'appliquer ces principes généraux à des exemples particuliers, autant que peut le permettre Timperfection de nos connaissances sur le frottement dont nous avons appelé T^ le travail pendant Tunité de temps.

Nous pouvons déjà en avoir une expression approchée en appliquant ce que nous avons dit aux n""' 42 et 43 au sujet de l'écoulement permanent des fluides. D'après ce qui y est exposé, lorsque les vitesses du fluide vont en croissant graduellement, ce qui arrive lorsque la section transversale à travers laquelle il s'écoule diminue même brusquement, il ne se produit aucune perte de charge sensible, c'est-à-dire que le frottement intérieur est négligeable. Si, au contraire, la section transversale subit un accroissement brusque ou rapide, la vitesse décroissant rapidement, il en résulte une perte de charge ou de force vive égale au produit de la masse écoulée dans l'unité de temps par la moitié du carré de la vitesse perdue.

Mais ces variations de la vitesse, corrélatives à celles de retendue de la section d'écoulement, ne peuvent se calculer qu'autant que Ton connatt ces variations de grandeur de la section qui, dans notre hypothèse, serait indéiinie.

Les observations s'accordent à montrer que la déviation des filets fluides, produite dans une masse indéfinie, par un solide qui s'y trouve plongé, ne se fait pas sentir au-delà d'une sec* tion transversale d*une étendue qui ne dépasse pas 4 à 8 fois^ celle du corps solide ; en d'autres termes l'aire od du cylindre tel que GDËF, qu'il faut considérer autour d'un solide A pour comprendre tous les filets liquides qui sont déviés par la présence de ce solide, est comprise entre 4 et 8 fois Taire de la section la plus large de ce corps, aire que nous désignerons par A. Ce rapport est le plus ordinairement compris entré 5et6,5 .

255. Tbéorie de Poneelet. — Poncelet, en partant de ce fait, est parvenu à établir une théorie dont les résultats s'accordent assez bien avec ceux de l'expérience.

Soit 0) la section transversale CD (fig. 114) du cylindre fictif dont nous venons de parler, et w, celle, telle que HII'KK', où les vitesses sont les plus grandes; si les vitesses moyennes, dans ces deux sections, sont v elv^^ on aura la relation :

exprimant la conservation du volume du liquide. D'après ce que nous venons de dire, le travail des frottements Tz-est exprimé par la perte de charge due à l'élargissement brusque ou rapide que subit la section transversale entre HH'KK' et EF, ou en passant de la valeur <ui à la valeur co, et cette perte de charge correspond à la vitesse perdue [v^ — v)\ le travail

T. a donc pour valeur, pour l'unité de temps, -v(ù — - — et

ce travail, divisé par o, est égal à Timpulsion R qui a ainsi pour expression, d'après l'équation (7) du n** 42, page 84 :

n (v,--vy

8 i, - ÉTUDE TflÉORIQUE. B39

On peut déduire directement cette équation du théorème de Bernoulli appliqué successivement aux deux portions du fluide comprises : la première entre la section initiale CD= œ du cylindre fictif et la section la plus étroite HH'K'K = a)i, et la seconde, entre cette section et l'extrémité EF du cylindre où la section redevient o. On a, en désignant par p, p^ et jo' les pressions par unité de surface dans ces trois sections où les vitesses sont v, v^ et u, les deux équations :

(3) £.+!l==Pt+î!i'=p:+«J+(!i:il' .

ce qui donne bien :

V — v' ^ (Pj — p)« ^ n 2g '

et puisque P =p<ù et P '=/)'(o :

R = p — P' = — ^hsizJ^ •

La perte de charge exprimée par -i~ — - devrait être aug-

mentéedu terme correctif - — destiné à tenir compte de Tiné-

galité de vitesse des filets fluides et dont la signification a été donnée au n** 42, page 85 ; nous le négligeons provisoirement.

L'expression de l'impulsion R peut se mettre sous la forme :

g 2 A\ «, /' ce qui revient h. :

(4) R = KUA^^;

en désignant par K le rapport :

Qoo^^

Le cocfficienl numérique K mesure ainsi Timpulsion, qui se trouve exprimée par le poids d'une colonne liquide ayant pour base la section transversale maximum A du corps heurté et

pour hauteur le produit par K de la hauteur t* due à la vitesse

des filets liquides en mouvement.

9^1». RésuKatfl de eette théorie. — Lorsque le corps solide est terminé, vers Tavant, par une proue de forme hémisphérique ou ellipsoïdale, de manière que les filets fluides

Flg. 115,

Fig. 116.

se divisent progressivement en restant toujours en contact avec sa surface, la section la plus rétrécie (Oj est égale à la différence w — A. Si, au contraire, le solide est terminé, à l'avant, par une surface plane, normale au courant, il se produit.

Fig. 117.

au-delà de ce plan, une contraction du courant fluide et la section la plus rétrécie n'est plus qu'une fraction m{(ù — A) de cette différence, le coefficient de contraction m ayant des valeurs variables.

Le cocfficienl d'impulsion K prend alors la forme suivante, obtenue en mettant dans son expression ci-dessus la valeur m(<i> — A) au lieu de oi :

-H-ih-')'

Et .l'on voit qu'il ne dépend que des deux quantités m et

-, également inconnues. Cette dernière formule s'applique d'ail-

leurs également au premier cas oîi il n'y a pas de contraction : il suffit d'y faire m = 1 .

Il faut alors se servir des valeurs de K données par l'observation et chercher les grandeurs qu'il convient d'attribuer à ces deux quantités pour faire concorder cette formule avec les faits, et l'on pourra en étendre l'emploi à d'autres faits à peu près analogues. H est bien entendu que les valeurs de

^ et de m doivent être comprises dans leurs limites probables,

c'est-à-dire entre 4 et 8 environ pour la première et entre 0,70 et l'unité pour la seconde.

Lorsque le corps plongé a la forme d'une demi-sphère ou d'un demi-sphéroïde (fig. H5) tournant sa convexité vers l'amont, ou bien la forme d'une sphère entière (fig. H 6) ou d'un sphéroïde entier, la valeur du coefficient K a été trouvée, expérimentalement, comprise entre 0,50 et 0,60, plus voisine de ce dernier

chiffre. La formule(5) donne K=0,56 pourm=l et — =3,50.

La valeur m= i suppose qu'il n'y a aucune contraction, ou que les directions des filets épousent exadement le contour du sphéroïde, ce qui semble assez probable. Pour m == 0,96, qui correspond à une très faible contraction, on a K= 0,60 avec

- = 4 ; toutes valeurs qui se trouvent à peu près dans les limites indiquées.

Lorsque le corps plongé a la forme d'une plaque mince pla-

Ui CHAP. X. - RÉSISTANCE DES FLUIDES.

cée dans une direction perpendiculaire au courant (fig. H7), le coefficient m devient nécessairement plus petit et se trouve probablement voisin de 0,80. La valeur de K, pour une pareille plaque, a été trouvée de 1,80 à 1,90, et c'est ce que donne la formule (5) lorsque Pon y met pour m la valeur 0,80 et pour

j, 3,80 environ. Cette formule peut donc s'accorder assez bien

avec les observations, mais il semble difficile d'en étendre l'emploi à des exemples qui différeraient un peu de ceux qui ont servi à déterminer les coefficients, car on est forcé de faire alors

des hypothèses sur les valeurs de m et de - ; et un très petit changement dans celle de m en produit un grand dans celle du coefficient cherché K : par exemple, pour - = 6, la formule donne K= 1,10, lorsque m =0,84, et K = 0,67 avec m = 0,90.

t&V. utilité d'une fteconde approximatioii. — U se^

rait donc utile d^avoir une formule qui, dans une certaine mesure, pût tenir compte de la forme du solide, car c'est cette forme seule qui fournit des indications sur la valeur à attribuer à ce coefficient m. D'après sa définition, il ne dépend que de la forme du solide en avant de la section la plus large A, ou de Isl proue \ si la forme de celte proue présente des courbures telles que les filets fluides ne s'écartent pas de sa surface, m a des valeurs voisines de l'unité ; il décroît au contraire en se rapprochant de 0,80, qui paraît être sa limite inférieure, à mesure que la proue se raccourcit et disparaît, ce qui arrive quand le solide se termine^ à sa face antérieure, par Un plan perpendiculaire au courant. Mais ce n'est pas la prou&: seule qui influe sur la grandeur de l'impulsion du fluide, la configuration du solide, en arrière de sa section la plus large, la forme et les dimensions de la poupe peuvent modifier, dans des proportions très notables, l'effort exercé par le liquide et la formule (S) est.absolument impuissante à rendre compte de

§ i. — ÉTUDE THÉORIQUE.

ces effets. La nécessité d'une formule plus complète n'est donc pas contestable. La seule tentative, à ma connaissance, qui ait été faite à ce sujet, est celle de Saint- Venant, dont je vais donner ici un aperçu sommaire *.

959. Théorie de Saint-Venant. — De Saint -Venant a eu surtout en vue d'exprimer l'influence de la longueur du solide et de la poupe, qui est complètement laissée de côté par la formule précédente. Il examine, pour cela, deux cas extrêmes :

1° Le corps solide, dont la forme, vers l'amont, peut être quelconque, se termine, à l'arrière, par un plan qui coïncide avec sa section la plus large ; il est donc absolument dépourvu de poupe et sa longueur, abstraction faite de la proue, est aussi réduite que possible (fig. 118);

Fig. 119.

Fig. 120.

2* Le corps solide, avec ou sans proue, présente, au-delà de sa section la plus large, ou bien une forme prismatique à section constante sur une longueur supérieure à deux ou trois fois sa largeur (fig. 119); ou bien des dimensions décroissantes suivant une loi quelconque (fig. 120).

1. Résistance des fluides. Mémoires de V Académie des sciences, tome XLIV

969. Cas d'au solide sons poapc — Le raisonnement qui a été fait plus haut (n"" 255) pour établir la formule (4) s'applique alors sans modification. Pour rendre cette formule plus rigoureuse, il suffit d'y ajouter ce qui a été négligé alors,

savoir : V le terme correctif, égal à peu près à ^ ' J"» ^^^^tiné

à tenir compte de l'inégalité de vitesse des filets fluides; 2^ un terme destiné à évaluer les frottements sur la surface de la proue et qui s'ajoutent à l'impulsion proprement dite.

Pour le premier terme correctif, - • -, qui doit être ajouté à -^"5 — ^, il pourra être fondu avec celui-ci en faisant, sur le

rapport des vitesses r et r,, une hypothèse probable, au moins comme moyenne ou approximation. Le rapport de ces deux vitesses est l'inverse de celui des sections <o et <o — A ou m((»> — A). On peut admettre, d'après ce quia été dit, que

lorsque m= 1, ou qu'il n'y a pas de contraction, - est à peu près égal à 3,50; il en résulte alors — -. La même valeur

oj — A 5

- se trouve, pour le rapport — , avec m = 0,90 et

- = 5. Si on la considère comme une moyenne applicable à

tous les cas, on aura - =-, ce qui donne t?=- {v^ — v). Le

. 1 pt ...

terme correctif xt- vaudrait ainsi :