PO OM MB ~ CB

d'où :

La position du point P est ainsi indépendante de celle du point M. Toutes les normales aux surfaces de niveau rencontrent le plan vertical passant par l'axe à une même hauteur au-dessus de cet axe.

Ces surfaces sont donc des cylindres h génératrices horizontales parallèles h Taxe de rotation, ayant pour bases des circonférences décrites du point P comme centre. La distance

verticale OP est inversement proportionnelle au carré de la vitesse angulaire co : lorsque cette vitesse est assez grande, OP devient très petit. Cela explique comment on peut faire tourner comme une fronde un vase en partie rempli d'eau, sans le renverser. Il est nécessaire, pour cela, que le point P soit à rintérieur du cercle décrit par les molécules de la surface

libre, ou que OP = — ^ soit plus petit que OM = r.

1 f . PressioD d'un lic|aide peMunt mur une fmrfaee plane. — La pression dans un liquide pesant et homogène, à une profondeur A mesurée de haut en bas, au-dessous du plan horizontal où la pression est nulle, est, d'après l'équation (4) du n« 8, dans laquelle on fail/?o=0, el h= — (z — zj :

Le plan horizontal de pression nulle à partir duquel on mesure les profondeurs h sera le plan de charge défini au n^ 8, ou bien la surface libre du liquide si Ton fait abstraction de la pression atmosphérique, en appelant alors ;> l'excès de lapression sur celle de Tatmosphère.

Si, dans ce liquide en équilibre, nous imaginons une aire plane ÂB, limitée par un contour quelconque et la droite MN

M g p N (fig. 5) d'intersection du plan de

j^' ix cette aire avec la surface libre du

liquide, la pression sur un élé* jl» y^ G:^°"T I\r* ïïïGntco sera proporlionnelle à la

profondeur h de cet élément audessous de la surrace libre. En ap- Fig. 8. pelant a Tangle du plan do Taire

considérée avec celui de la surface libre et x la distauce DF derélémentco à la ligne MN, nous avons A =j:sin a, la pression sur rélément w est 11^.(0=11(1)0? sin a, et la pression totale P =211(00: sin a=II sin aS(i>a?. La pression est, en chaque point, proportionnelle à la dislance de ce point à la droite MN. Or, si l'on appelle x^ la distance GË du centre de gravité à la ligne MN et û l'aire totale AB, on a S(i>a; = ÛXq et par suite la pression totale P =: nQxo sin a : Elle est égale au produit de l'aire Q par la pression au centre de gravité, laquelle est ainsi la pression moyenne.

Le point C, d'application de la résultante P, ou le centre de pression, sera à une distance x^ de MN déterminée par l'équation suivante qui exprime l'égalité du moment par rapport à MN de la résultante et des pressions élémentaires :

Pxi =: ^WiùX sin a. 0? = n sin aS(ox*.

Or, S(oa:' est le moment d'inertie, par rapport à MN, de Taire considérée, et si Ton appellel le moment d'inertie de cette surface par rapport à une horizontale M'N' menée par le centre de gravité, l'on a :

S(oar*=I+Û.V;

Pa?i nsinaîwjc» iXXf?-\-\ I

et par suite : Xj = — - = — : = — !— i— == x« H .

^ P nsinaiwa: nxo iia?o

Le centre de pression est donc toujours plus bas que le centre de gravité.

On reconnaît d'ailleurs l'identité du centre de pression ainsi défini avec celui dont il est question au n*" 22 du traité de RésUlance des matériaux qui fait partie de V Encyclopédie. Alors, sans qu'il soit nécessaire de reproduire la démonstration qui en a été donnée, il suffira de rappeler que le centre de pression est Tanti-pôle, par rapport à l'ellipse centrale d'inertie de Taire considérée, de la ligne neutre laquelle est ici la ligne d'intersection MN de la surface plane avec la surface libre du liquide.

14 CHAP. I. — HYDROSTATIQUK.

Lorsque Taire plane donl on s*occupo a un diamëtro de ses cordes horizontales, le centre de pression se trouve nécessairement sur ce diamètre ; et alors la formule ci-dessus, donnant sa distance Xi à la ligne MN, permettra d'en trouver la position.

Nous rappellerons seulement les résultats pour deux formes simples de Taire plane pressée par un liquide.

1* Rectangle ayant denx côtés horizontaux. — Soit 6 la largeur horizontale, a la hauteur du rectangle ; on a ûs=: a&

et I ==---• On en déduit

^*-''« + 12a6xo~''°"^42Xo' La distance du centre de pression au centre de gravité,

Xj — cToCst égale à-- — ; elle est inversement proportionnelle

à x^. Lorsque le côté supérieur du rectangle coïncide avec la

surface libre, on a Xo = - et arj — .ro= - ; résultat que Ton a

déjà trouvé dans la Résistance des matériaux. 2® Cercle. — Soit r le rayon du cercle :

et Ton a

4 TT r'Xo 4 Xo

La dislance du centre de pression au centre de gravité, Xi — a?o est alors égale à -; — ou bien à ,-- — . Si donc Ton com-

^ 4X0 1(5 Xo

pare une aire rectangulaire à une aire circulaire ayant pour diamètre la hauleur du rcclangle, le centre de pression, dans le cercle, sera plus rapproché du centre de gravité que dans le rectangle.

f t. PresMion d'uiiilaiile sur unesarfAee c|aeleoiic|ue.

Principe d'itrehimëde. — Quand une surface fermée se trouve soumise en tous ses points à une py^ession normale cons-

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tante par unité superficielle ^la résultante de toutes ces pressions élémentaires est nulle.

Rapportons la surface à trois axes de coordonDées rectangulaires quelconques et divisons'-laen prismes infiniment petits parallèles à Tun des axes, Ox, par exemple* La pression

^ sur la base oblique M de Tun de ces

>^ prismes a pour valeur la pression p

p. Q par unité de surface mullipliée par

rétendue de cette base oblique. La projection de cette pression sur Taxe des x est égale au produit de p par Taire de la section droite du prisme. De mème^ la pression sur l'autre base M' du même prisme aura pour projection sur l'axe des x le produit dep par Taire do la section droite, c'est-à-dire la même valeur que Tautre. La somme de ces deux projections égales et de sens contraire sera ainsi nulle et il en sera de même des projections des pressions sur les bases de tous les autres prismes. La somme des projections sur l'axe des a? des pressions qui s*exercentsur toute la surface fermée est donc égale à zéro ; et comme on peut faire le même raisonnementpour les deux autres axes, on en conclut la nullité delà résultante elle-même.

Ce théorème donne le moyen de déterminer la résultante de pressions normales, constantes par unité superficielle, sur une surface irrégulière quelconque limitée à un plan. Soit AMB (fig. 7) cette surface limitée au plan âB et soumise en tous ses points & une pression normale p.

Si nous considérons le volume formé par cette surface et par le plan ÂB et si nous le supposons soumis en tous ses points à la *^'«- 7. pression normale p, il sera en équilibre. (1 en

résulte, par conséquent, que la pression p sur le plan AB fait équilibre h la pression p sur la surface AMB, ou bien que la résultante des pressions sur cette surface est la même que celle de la pression p sur le plan AB, laquelle est égale au

produit de p par Taire de celle surface AB, normale à AB et appliquée a son centre de gravité.

Si un corps solide est plongé dans un fluide pesant en équilibre, la composante horizontale de la résultante des prèssiom qui s' exercent sur lui est nulle, c'est à-dire que cette résultante est verticale. Supposons le corps solide divisé en tranches horizontales infiniment minces par des plans horizontaux parallèles, la pression par unité superficielle sera la même en tous les points du conlour de Tune de ces tranches, et en raisonnant comme nous venons de le faire, nous reconnaîtrons que la somme des projections,sur deux axes horizontaux, des pressions qui s*exercent sur le contour de chacune des tranches est égale à zéro et qu*il en est de même, par suite, de la composanle horizontale de la résultante de toutes les pressions. Celle-ci est donc verticale.

Lorsqu'un corps solide est plongé dans un fluide pesant en équilibre, la résultante verticale despressiom qui s'exercent sur sa surface est égale au poids du fluide déplacé, et passe par Iç centre de gravité de ce fluide.

Divisons le corps solide en prismes verticaux infiniment petits, et soit co la section droite de Tun de ces prismes MM' ^ ^ ^ (fig. 8). Si p et p' sont les pressions par unité superficielle qui ^^\ s'exercent en M et en M', la somme

* \ des projections, sur un axe verti-

^ j cal, des pressions sur les bases

y obliques du prisme MM' sera

Fig. 8. p'iù — ptù ou [p' — p)tù. Si h et fi

sont les profondeurs des points M et M' au-dessous de la surface libre, on a (n" 11)

p = nh, p' — Wh! et ip' — p)iù = n{h' — h)(ù.

Or, A' — A = MM' ; on voit donc que la somme des projections, sur un axe vertical, des pressions qui s'exercent sur les bases M et M' est égale au poids de ce prisme supposé rempli du fluide dans lequel le corps est plongé et que la résultante ver«>

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§ 3. — ÉUUILIHHE DES COUPS IMMEUGÉS. 17

cale de ces pressions agil de bas en haut, ou en sens inverse de la pesanteur. En faisant le même raisonnement pour tous les autres prismes élémentaires on voit que la résultanle totale des pressions sur la surface du solide est bien égale au poids du fluide qui remplirait le volume du solide et qu'elle passe par le centre de gravité du fluide déplacé, car les diverses pressions élémentaires qu'il faudra composer pour obtenir la résultante occupent exactement la position des prismes.

C'est ce théorème qui porte le nom de principe d*Archimède, La pression de bas en haut à laquelle sont soumis de la part d'un liquide les corps solides qui y sont plongés produit une diminution apparente-do leur poids que Ton qualifie quelquefois de perte de poids.

Nous avons démontré ce principe dans Thypothèse où le fluide a un poids spécifique constant. Il est également vrai lorsque le poids spécifique est variable, et il se démontre de la même manière. On peut d'ailleurs en reconnaître Texactitude dans tous les cas par le raisonnement suivant : si Ton considère, dans un fluide en équilibre, la portion qui sera déplacée parle corps solide qu'on y plongera, cette portion supporte, de la part du fluide ambiant, une pression verticale, égale et directement opposée à son poids. Cette pression, qui est la résultante de celles qui s*exercent en tous les points de la surface de séparation, sera la même lorsque le solide aura remplacé le liquide puisque cette surface de séparation sera la même.

Le point d'application de cette résultante verticale, qui est le centre de gravité du liquide déplacé, s'appelle, lorsqu'il s'agit de corps flottants à la surface, le centre de carène ; on peut sans inconvénient étendre cette dénomination au cas d*un corps entièrement immergé.

f S. stabilité de i'éciuilibre de» corp« immérités. —

Un corps solide, entièrement immergé dans un liquide, est donc soumis à deux forces : son poids, appliqué en son centre

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18 CIIAP. I. - HYDKOSTATIOUE.

de gravité G; la pression du fluide ambiant, égale au poids du

fluide déplacé et appliquée au cenlrc de carène C. Pour que le corps soil en équilibre sous Tacliou de ces deux forces, il faut et il suffit qu'elles soient égales et directement opposées, c'est-à-dire que le poids du Fig. 9. Pig. 10. corps soil égal au poids du liquide

qu'il déplace, et que le centre de gravilé et le centre de carène soient sur la même verticale. Mais, pour que Téquilibre soit stable, il faut en oulre que le centre de gravité soil placé audessous du centre de carène. On voil en effet qu'alors (fig. 9), si le corps solide subit un petit déplacement, les deux forces auxquelles il est soumis formeront un couple qui tendra à le ramener vers sa position d'équilibre. Il en serait autrement si le centre de gravité (iig. 10) était au-dessus du centre de carène : l'équilibre serait instable.

14. Stabilité de l'éqiiiliiire defteorpsUottants. Métaeentre. — Lorsque le poids du corps solide est inférieur à celui du liquide qu'il déplacerait, s'il était entièrement plongé, il flotte à la surface en plongeant seulement d'une quantité suffisante pour déplacer un poids de liquide égal au sien. Alors la résultante des pressions du liquide peut faire équilibre à son poids, il suffit encore pour cela que le centre de gravité et le centre de carène soient sur une môme verticale. Mais la condition de la stabilité de cet équilibre reçoit une forme nouvelle provenant de ce que, lorsque le solide subit un déplacement, la forme delà partie plongée change et que, par suite, la position du centre de carène change aussi dans l'intérieur du solide.

Soit G le centre de gravité d'un corps flottant, C le centre de carène correspondant à l'équilibre. Si l'on suppose que le corps flottant se soit déplacé de manière que la ligne GC (fig. H) soit venue en GC, le nouveau centre de carène sera venu quelque part en D, ou Di,ou D,. S'il est venu en D,c'est-

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