ir
La formule ainsi corrigée deviendrait, en désignant par Ri la première partie de l'impulsion du liquide, due à la pression proprement dite, abstraction faite du frottement du liquide sur la proue :
R 4,7oilcol:izill'=„Af . 1,7-" (—^-iV; 9 2g 2^ ' A\m(w — A) /
l. — ÉTUDE ÏHÉOIUQUK.
c'cslà-dirc que le coefficient Ki, qui mesure celle impulsion partielle Ri, a pour expression :
Par une discussion très détaillée et délicate d'un certain nombre de faits d'expérience, de St-Veuant a trouvé que le coefficient numérique qui affecte cette formule est le quotient de deux nombres qu'il appelle N et y'; le premier, N, celui par lequel il faut multiplier les forces vives dues aux différences des vitesses moyennes du fluide dans deux sections pour avoir les sommes des forces vives dues aux différences des vitesses réelles, a des valeurs comprises entre 1,80 et 2,10 et vaut, en moyenne, à peu près 1,9; le second, g', celui par lequel il faut diviser ces sommes de forces vives pour tenir compte des variations des pressions sur les poupes fluides
N vaut à peu près i,ll, ce qui donne^ pour le quotient, -, 1,71
environ, au lieu du chiffre 1,70 qui vient d'être trouvé autrement, d'une façon bien moins rigoureuse.
Comme d'ailleurs cette 'valeur peut être variable, nous la représenterons par la lettre n et nous écrirons la première partie Ri de l'impulsion et le coefficient Ki correspondant sous la forme :
Ri = n"
étant entendu que le coefficient n vaut environ i ,70.
t«0. Influeuee da rrottoment. — H faut, à cette première partie, ajouter l'impulsion due au frottement, que nous
désignerons par R^. Elle est généralement faible et peut, en tout cas, être regardée comme proportionnelle à la surface, S, sur laquelle s'exerce ce frottement et qui, dans le cas d'un corps formé d'une simple proue, sera égale à toute la surface de cette proue ou à la surface entière du solide, à Texceplion du plan par lequel nous le supposons terminé à sa partie postérieure. Cette impulsion R„ produite par le frottement du fluide, sera ainsi le produit par S d'un certain nombre, qui variera .avec la vitesse et sera probablement proportionnel
au carré de la vitesse ou à-. On peut alors représenter ce
coefficient de frottement par nlv ^^ écrire :
Je renverrai le lecteur au mémoire cité de St- Venant, pages 149 à 130, pour la discussion des faits d'expérience desquels il a déduit la valeur du coefficient numérique K^, dont le produit
par r- exprime la hauteur d'une colonne fluide, dont le
poids est égal h la force de frottement sur l'unité de surface. Pour l'eau, cette valeur a été trouvée *, en moyenne, égale à 0,0031.
Alors, en adoptant ce cbîffre, l'impulsion totale R=Ri4-R, a pour expression :
R = nA
Cw*)
Le dernier terme, du au frottement sur la proue, est sou- Vent négligeable par rapport au premier, à moins que la proue
1. La valeur numérique 0,0031, donnée par St* Venant pour le coefficient de frottement K^, a été déduite par lui d'observations faites dans un tout autre but. Il est probable que cette valeur aurait besoin d'être confirmée ou rectifiée par de nouvelles expériences instituées spécialement en vue de la déterminer.
§ i. — ÉTUDE THÉORIQUE. 547
S ne soit très effilée et allongée, de façon que le rapport - soit
g grand. Pour une demi-sphère, par exemple, 7 = 2, et ce
terme ne vaut que 0,006, tandis que le premier, en y mettant pour —les valeurs 4,5 et 5 et pour m l'unité, vaut respeclivemenl 0,628 et 0,534. D'après les expériences les plus précises faites par M. le colonel Duchemin, le rapport - serait supérieur à 4, par conséquent celte formule donne des résultats qui concordent avec les observations, puisque Timpulsion sur une demi-sphère a été trouvée en moyenne de 0,58 environ.
••t. Formule applicable à une plaque minée. —
La même formule, dans laquelle on supprimera le terme relatif au frottement, et où l'on donnera à 7n la valeur convenable, s'appliquera au cas d'une plaque mince placée normalement au courant.
L'impulsion sera exprimée par :
n (pt — p)'
OU
En mettant la valeur 0,83 pour m et 8,50 pour - on trouve
pour le coefficient K, dont le produit par IIA —donne la
valeur de l'impulsion, K=<,90. Les expériences ont donné des résultats qui s'approchent beaucoup de ce chiffre. Le
rapport - est ici bien supérieur à celui qui correspond au
cas de la dcmi-sphërc ou du corps avec proue ; cela tionl à ce
que la section (o devrait èlre comparée, non pas à la surface A qui est celle de la plaque, mais à celle, plus grande, qui comprend toute la partie du liquide en élat de tourbillonnement, dans la section la plus contractée. Le rapport f««- 121. de la section (o ou CD (fig. 121)
à la portion H'K' de cette section où Teau n'a pas d'écoulement
est alors ; et, avec les valeurs m=0.83, et f — 8,5,
ce rapport n'est que de 3,75 environ, ce qui parait à peu près d'accord avec l'observation.
L'accord serait peut-être encore plus parfait si l'on diminuait légèrement le coefficient 1,7 qui affecte la formule précédente. De nouvelles expériences seraient nécessaires pour déterminer la véritable valeur de ce coefficient, ou la manière dont il varie avec les diverses circonstances.
La même formule s'appliquera encore au cas où la plaque mince, au lieu d'être placée normalement au courant, fera un angle ©avec sa direction (fig. 122). On devra simplement y remplacer  par A sin <p. On aura ainsi, pour Timpulsion sur une plaque oblique faisant un angle <p avec la direction du courant, celte impulsion étant estimée elle-même dans le sens du courant :
avec
R = KnA sin <p . ^
K^l,70--4^( ^ \ . -iV.
A sin î» \m (w — A sin f) J
Celte expression fournil, pour des valeurs de Tangle <p com* prises entre 90 et 45 degrés, des résultats à peu près conformes à ceux des expériences, lorsque l'on y met pour m et pour
Qoo^z
§ i. - ÉTUDE THÉOHIOUE. * 549
— — les mêmes valeurs que plus haut pour m et pour - .Lorsque Tangle ^ est plus petit que 4S degrés, il faut augmenter la valeur du coefficient m. Alors, en effet, la contraction est moindre et elle ^^S' 122. s^annule même tout à fait pour les
petites valeurs de l'angle (p, la perturbation apportée à l'écoulement du liquide n'ayant lieu que d'un seul c6té de la plaque. Il faudrait alors faire m= 1 .
t«t. C^Mi d'vn eorps prismatique eovrt. — Lorsque le corps, terminé à son avant par un plan perpendiculaire au courant, a une forme prismatique dont la largeur ne dépasse pas deux fois environ sa plus grande dimension transversale (fig. 123), il se comporte à peu près comme une plaque sans épaisseur: les filets liquides, déviés, se rejoignent seulement au-delà
de ce corps qui se trouve tout entier dans la portion morte du courant, où l'eau ne coule pa». Toutefois, l'expérience montre que Timpulsion sur un prisme est un peu moindre Fig. 128. ^"^ sur une plaque, ce qui tient
sans doute à ce que la pression, en arrière du corps, est alors un peu plus grande que derrière la plaque. Le coefficient mesurant l'impulsion devrait alors être diminué dans une proportion qui n'est pas déterminée et qui doit dépendre de la longueur du corps dont il s'agit.
Pour un cube, par exemple, le coefficient K aurait pour valeur 4,45, tandis que pour une plaque mince, nous avons dit qu'il était compris entre 1,80 et 1,90.
La théorie de St- Venant, qui est ici exposée, est impuissante à rendre compte de cette différence. On verra plus loin comment Du Buat en a donné une explication plausible.
«•S. Cam d'an prisme allonfré.— Les choses se passent
différemment si la longueur du corps est assez grande pour que les filets liquides, après en avoir quitté la surface, la rejoignent avant son extrémité d'aval (fig. 124).
Considérons un pareil corps que nous supposerons d'abord avoir la forme prismatique ; les filets liquides écartés par la section AA', ayant quitté la surface latérale en BB' et l'ayant rejointe un peu plus loin en CC, ne la quitteront plus ensuite jusqu'à son extrémité DD'. Appelons, comme tout à Theure, (ù la section totale MN du cylindre comprenant tout le liquide dont le mouvement est troublé par la présence du corps, g>i la section la plus contractée en MjBB'Ni et o), la section d'écoulement MjCC'N, autour du prisme, m le coefficient de contraction, c'est-à-dire posons, en appelant A Taire de la section transversale du prisme :
Appelons r, v„ v^ les vitesses moyennes dans ces trois sections. D'après ce qui a été dit plus haut, l'impulsion totale R est égale au quotient, par v, du travail des frottements du liquide sur lui-même et sur le corps :
Le travail des frottements du liquide sur lui-même est le produit de la perte de charge par le poids du liquide qui s'écoule, soit, pour l'unité de temps, par UoiV. La perte de charge
§ i. - ÉTUDE THÉORIQUE. 551
totale se compose de deux parties : celle qui correspond à Télargissement de BB' en CC, et celfe qui correspond à l'élargissement de DD' en M'N' de la section d'écoulement. La pre-
mière a pour expression — et la seconde — , auxquelles il faut ajouter les deux termes correctifs que nous avons représentés en général par S r" ®t ô â" et destinés à tenir
compte de Tinégalité des vitesses dans les sections. La répartition des vitesses dans les sections BB' et CC est très sensiblement la même et Ton peut, sans grande erreur, négliger la correction qui, alors, serait certainement fort inférieure à la
valeur movenne - r- Que nous avons indiquée. Entre les sec-
lions DD' et M'W, la répartition des vitesses change au contraire d'une manière beaucoup plus appréciable et cette variation est sensiblement la même que celle qui se produisait, dans les mêmes circonstances, à Tarrière d'une plaque mince ou du corps sans poupe que nous avons considéré d'abord. Nous devrons donc multiplier la première de ces deux pertes de charge par un nombre v! égal ou peu supérieur à l'unité, et la seconde par un nombre n voisin de celui, 1,70, que nous avons trouvé dans le premier cas, et plutôt un peu inférieur. Nous prendrons approximativement 1,6 et nous renverrons au mémoire cité de St- Venant pour la justification détaillée et complète de la valeur de ces deux coefficients correctifs ; nous les adoptons ici comme résultats d'expérience sans attacher aucune importance au raisonnement sommaire qui nous a renseignés sur leur grandeur.
Enfin l'impulsion doit être complétée par l'addition de l'effet du frottement sur les parois du corps qui comprendra d'abord le frottement sur la face d'amont, négligeable, et ensuite le frottement sur les parois latérales du prisme, de CC'en DD', c'est-à dire sur toute la surface latérale de ce prisme comprise entre son extrémité d'aval et une section CC, menée à une distance de son extrémité amont égale à deux fois environ sa di-
QiOo^z
meosion transversale. Celte surface étant désignée par S, rim* pulsion totale sur le prisme sera :
(9; K^nnJ^^+nnJ^ + nA'^.KX ig 2y 2g ' A
En tenant compte des relations nécessaires :
rw = v^iù^ = v^mi^ — A) = t7,ci>, = t?,{« — A),
on obtient :
(.«K=n„5[(^J(J.)-,.+(^y.]+nA^K,|
Celte expression peut se mettre sous la forme :
R=:-K.nA^*-
en appelant K le coefficient
ou bien, en mettant pour n, n et K^ les valeurs numériques que nous avons données : 71=: 1,6, n'=l, K/'=0,0031 :
"'' '^=gfÂ-[(;-')"(ï)'+''«]+»-»«"l-
Les deux nombres m et ■- sont toujours inconnus et c'est
de leur grandeur que dépend celle du coefficient K. Les quelques faits d'expérience que Ton possède sont assez bien représentés par cette formule dans laquelle on donne à m une
valeur comprise entre 0,75 et 0,80, et à ^ une valeur comprise
entre 4 et 6 Ainsi, du Bual a trouvé pour l'impulsion sur un
prisme carré dont la longueur était triple du côté de la base, le nombre K= 1,323. La formule, avec m = 0,75, 7- =6, et
- = 4 donnerait K= 1,356. L'accord est donc à peu près sa-
tisfaisant et il pourrait Tétre absolument si Ton modifiait légèrement la valeur de m*.
Si nous admettons le chiffre trouvé par du Buat comme représentant rimpulsion sur un prisme à base carrée d'une longueur égale au triple du côté de la base, côté que nous appellerons a=v^A, l'impulsion sur un prisme carré dont la longueur L serait plus grande que 3a serait supérieure à celle-ci du frottement correspondant à la longueur L — 3a, soit à
S s une surface S = 4a(L — 3a). Le rapport -=— serait alors
4( 3 J et l'impulsion sur le prisme de longueur L :
R = KnAaurait pour son coefficient la valeur :
Cette même formule s'appliquerait à un corps solide de forme cylindrique à base circulaire ; la dimension a devrait alors être remplacée par le diamètre d du cercle de base. Le rapport
j est alors, pour le cylindre entier, "~T"="t> ^^ V^^ donne
encore 0,0124 pour le coefficient numérique du dernier terme. On pourrait l'appliquer sans doute aussi, par extension, à
\, D'après la discussion de quelques expériences, de St- Venant a trouvé que la valeur de m qui s'accordait le mieux avec leurs résultats était m=0,7.57,
ce qui donne 1 1 ) =0,10.
un prisme d'une autre forme quelconqne, en lai laissant la forme générale :
mais le coefficient!. 323 ne présente plus alors aucune garantie d'exaclitude. On aurait besoin d'en déterminer la valeur par de nouvelles expériences.
••4. Prisme mani d^ane proae. — Si le prisme, carré ou circulaire, est muni d'une proue, assimilable à une demisphère qui supprime la contraction, le premier terme de la formule précédente (9) s'annule puisque v^ devient égal à VjCtle
terme suivant prend la valeur 0,58 FI A — qui résulte de Tex-
périence pour le cas d'une demi-sphère et qui correspond à une
valeur du rapport •- comprise entre 4.5 et 5, comme nous l'a-
vons dit. La résistance d'un prisme carré ou d'un cylindre de longueur L, muni d'une proue, a donc pour coefficient :
a étant le côté du carré ou le diamètre de la circonférence de la base du cylindre.
On voit, en rapprochant cette formule de la précédente, quelle diminution considérable produit, sur la résistance, l'addition d'une proue convenablement tracée. Il est même probable que le chiffre 0,58, qui s'applique à la demi-sphère, pourrait être diminué sensiblement si la forme de la proue était plus effilée.
265. Influeuee de la poupe. — Mais l'influence de la poupe n'est pas moindre. Pour l'apprécier, autant que peut le permettre la complication du phénomène, nous supposerons que les filets fluides, déviés par la proue et ayant passé la section AB=A la plus large du corps solide (fig. 125), s'en écartent d'a-
I i. - ÉTUDE THÉORIQUE. 555
bord un peu et viennent le rejoindre un peu plus loin en CD, la
la section du corps, en ce point, étant désignée par A', et que ces filets accompagnent ensuite la poupe solide jusqu'à son extrémité en se raccordant avec le sens du mouvement général. Nous admettrons que dans l'élargissement graduel de la section d'écoulement, depuis CD jusqu'à l'extrémité E, il ne se produit, dans le liquide, aucune perte de force vive et que la seule perte de charge provienne de l'élargissement que nous supposons plus rapide, entre la section Â'B"^ où les vitesses sont les plus grandes et la section CD où les filets fluides rejoignent la surface latérale du corps solide. L'impulsion du liquide sera due alors à la perte de charge dont il s'agit, au frollemept sur la proue, qui sera souvent négligeable, et au frottement sur la poupe, entre CD et l'extrémité E. Le coefficient de ce dernier frottement sera sans doute différent de celui qui correspondrait à une surface parallèle au courant. En raison de l'élargissement, même graduel et lent de la section d'écoulement, le mouvement du liquide est nécessairement moins régulier, il est accompagné de petits tourbillonnements partiels, et la perte d'énergie ou le frottement est plus grand que si la section restait constante. Le coefficient de frottement, que nous avons dit être de 0,0031 pour lecas ordinaire, devrait donc être augmenté dans une proportion inconnue mais probablement assez grande.
Alors, si nous désignons le coefficient inconnu par K^ et par S la surface de la poupe entre CD et l'extrémité E, le frottement,dont il s'agit s'exprimera par K'/'T II A ^ .
Pour estimer l'impulsion due à la perte de charge entre A'B' et CD, nous supposerons que la section d'écoulement en A'B' a sensiblement la même valeur, o — A, qu'en AB. En CD, cette section d'écoulement est w — A' et les vitesses i\ et v,,
dans ces deux sections, sont liées à la vitesse v par la relation :
v(o = Vj (<o — A) = Vj (o) — A').
La perle de charge entre A'B' et CD est ainsi :
(cj — tjj)* 4 / «u û>t? \ *
ïg 2^ \w — A *) — A'j '
De sorte que Timpulsion R aura pour expression: (13) ^ = nU.^^^{^^^-^ +K/nA- ..
= K.nA^* en désignant par K le coefficient :
Dans cette formule, on pourra donner à 7i la valeur 1,7, ^
^ une valeur voisine de 4,5 ou S, comme nous l'avons trouvé
plus haut. Quant à A', on ne peut faire que des hypothèses ; sa grandeur, par rapport à A^ sera d'autant plus élevée que la poupe sera plus allongée et aussi que la distance AC sera plus petite, c'est-à-dire que les filets fluides auront été moins déviés par la proue. Si, par exemple, on suppose qu'au point C, où les filets rejoignent la surface latérale du corps, les dimen-
sîons transversales de celui-ci soient les - de celles de la sec-
tion A, on aura A'=r A et, alors, avec --=5 :
(15) K=0,20 + KVj.
Des expériences faites par Bossul, d'Alemberl et Condorcet sur un corps en forme de navire ont donné, en moyenne :
En prenant donc une valeur plausible pour le coefficient KV qui exprime le frottement sur la poupe (et qui doit être plus grand que 0,0031), la formule (15) pourrait fournirdes résultats conformes à ceux de l'expérience.
La formule (13) pour R ou celle (14) pour K s'étendrait même au cas où la poupe serait extrêmement allongée et très bien raccordée avec la proue. Alors A' devrait être pris égal à A, le premier terme disparaîtrait et devrait être remplacé par le frottement sur la proue qui pourrait n'être plus négligeable. Il ne resterait, pour Timpulsion, que Teffet du frottement du liquide contre les parois du corps. Le coefficient de ce frottement serait Kf = 0,0031 pour la proue, et Ky supérieur à cette valeur pour la poupe. On pourrait adopter un coefficient moyen, applicable à toute la surface et qui ne serait sans doute pas très éloigné de 0,004. Alors, si la surface totale S exposée au frottement atteint 40 fois celle A du maître couple, on obtient K = 0,16, valeur à laquelle on arrive, en effet, pour les navires dont les formes sont très bien étudiées. 11 est bien entendu que le chiffre de 0,004 n'est donné ici qu'à titre d'exemple et n'est basé sur aucune observation. Le coefficient K = 0,16 se rapporte, d'ailleurs, à des navires ou à des corps flottants, tandis que les autres chiffres donnés plus haut sont relatifs à des corps entièrement plongés, ce qui doit, probablement, donner lieu à de petites différences, comme il sera dit plus loin, au n^" 272.
ZBS. Pjramidefi oa eénes tronqués. Pièeen de bois en irrume. — La formule (9) et le raisonnement d'où on l'a déduite peuvent donner l'explication de ce fait, bien connu dans les chantiers des ports, qu'une pièce de bois, ayant la forme d'un tronc de cône ou de pyramide très allongé, étant tirée dans l'eau, offre moins de résistance quand on la tire par le gros bout que lorsqu'elle présente, au contraire, son petit bout en avant.
Soient A^, et Ap(fig. 126) les sections extrêmes d'une pareille
pièce de charpenle,A sa section moyenne = ^ ^ ^ étala demi
différence deces deux sections extrêmes, de sorle que A|7=A+a et A^ = A — a. La différence
Af, A Ag
Fig. 126.
A^ — Ap=2a est assez petite, eu égard à la longueur L de la pièce, pour que, sur une petite étendue, près de chacune de ses extrémités, celte pièce puisse être regardée comme prismatique. Alors, si nous appelons Rp et R^ la résistance que rencontre la pièce suivant que c'est le petit ou le gros bout qui est exposé au courant, nous devrons, dans la formule (10), pour avoir Rj,, remplacer, dans le premier terme qui se rapporte à Textrémité d'amont, A par Aj, et dans le second, au contraire, A par A^. Inversement, pour obtenir R^, nous remplacerons, dans le premier terme, A par A^ et dans le second, A par Ap. Admettons encore, pour faciliter la comparaison, que le terme provenant du frottement,
t;* S IIA r"K/--, soit le même dans les deux cas, et désignons-le z^ A
simplement par R^-; l'application de cette formule (10) nous donnera :
«.Hn„^[(^J(i-.)'"'+(.-^>]+R,
et. par suite, la différence:
■'r-K^«»a!(^)'-(.-fs)1(H"'+i(=^)-(^)>]
Mettons pour ri et n leurs valeurs données plus haut, savoir n' =1, n= -environ; remplaçons Ap et A^; par A — a et
AH-« et réduisons, il viendra, en définitive : B n fi «' W«(o.^A) 1-5 /A ^ «»\ /l.Vl
il,— K,— llo> - •j.^^A).„.j. Là \^;-+-„ (^A); — \r„, 7 J
Qoo^z
§ i. — ÉTUDE THEORIQUE. 5S9
Le dernier terme, négatif, de la parenthèse, ( 4 j , vaut
--lorsque m= -et -lorsque m= -. D'après ce qui a été dit
des valeurs probables de m, on doit donc regarder ce terme comme restant toujours compris entre ces deux limites :
- =0,1111 et — == 0,0625. Le terme précédent renferme d'a-
9 io
bord - - , qui pour les valeurs de -=4,5 ou 6, vaut— =0,4166..
5 Ty
— =0,3333.., j-= 0,2777 ; cette première partie est donc toujours supérieure au terme négatif; et il faut y ajouter en-
core la quantité -——— , toujours positive. La différence
Rp — Rasera donc positive, c'est-à-dire que R^, sera toujours plus grand que R^, ce qui est conforme à l'observation.
Celte différence, en mettant pour m et— les valeurs les plus probables m=0,757, 7=5, atteint :
R,R, = IIA^X1,80^ .
ce qui revient à dire que le coefficient de résistance est augmente de l^SO^ lorsque Ton tire la pièce par le petit bout au
lieu de la tirer par le gros. En désignant par K (sans indice) le coefficient de résistance d'une pièce prismatique dont la seclion transversale serait égale à la moyenne A =: ^"^ ^ des
deux sections extrêmes, parKp et K^ les coefficients de résistance de la pyramide tronquée lorsque c'est le petit bout ou le gros bout qui se trouve exposé au courant, on aurait ainsi:
A Ag -f- Ap
560 CHAP. X. — HÉSISTANGE DKS FLUIDES.
Lo coefficient K a pour valeur 4,32 environ lorsqu'il s'agit de prismes coupés perpendiculairement à leur longueur, sans proue ni poupe*.
On trouvera, dans le mémoire cité de Saint- Venant, une aulre application de la même formule à un corps ayant la forme d'un tronc de pyramide suivi d'une partie prismatique de dimensions transversales moindres; mais cette application ne semble pas avoir un grand intérèl pratique.
Stt7. Reelierches de Du Baat. — Après cet exposé d'une théorie qui ne donne, en définitive, qu'une solution incomplète du problème, je croîs utile de rappeler quelques-uns des résultats expérimentaux constatés par Du Buat et certaines des conséquences qu'il en avait déduites. Cet exposé
i. De Saint- Venant, dans son mémoire cité, pages i84 et suivantes, compare les coefficients K^ et Kp à celui K' qui correspondrait à un prisme tronqué ayant Ja section la plus grande Ap = A-f-« du gros bout de la pyramide. Il trouve alors :
Kir=K'-2.60^»
Kp=K' — 0.80-.
ee
La diiïérence entre Kp et K^ est bien de 1.80 -, mais les deux coefQ-
cients de résistance sont, comme on pouvait le prévoir, inférieurs à celui du
prisme qui sert de comparaison. Il m*a ))aru plus simple de comparer avec le
prisme ayant pour section la section moyenne A de la pyramide. On trouve
alors qu'à des termes près de Tordre de (-•) qui sont négligeables, le coefficient K correspondant à ce prisme est la moyenne arithmétique de Kp et de K^. Le calcul, qui ne présente aucune difficulté, est seulement un peu long, c'est pourquoi je ne le donne pas ici.
§ 2. - ÉTUDE EXPKKIMENTALE. 561
complétera, sur quelques points, la théorie précédente et montrera surtout dans quel sens elle devrait être rectifiée pour se rapprocher encore davantage des données de Texpérience.
Les recherches de Du Bual se sont portées principalement sur rimpulsion exercée, par un courant indéfini, sur des corps prismatiques, c'est-à-dire à section constante, terminés à Tavant et à Tarrière par des plans perpendiculaires à la direction du courant, c'est-à-dire sans proue ni poupe, mais de longueur variable, cette définition comprenant le cas d'une longueur très petite ou de la plaque mince.
S08. Pression Tive et non-ppesnioii. — Faisant abstraction du frottement du liquide sur la surface latérale du prisgie. Du Buat remarque d'abord que l'impulsion du liquide est due à la différence des pressions exercées par ce liquide sur les deux bases du prisme. La pression sur la base d'amont est plus grande et la pression sur la base d'aval est plus faible que celle que Ton observerait au même point du courant si le prisme n'existait pas. Les différences ont été désignées par lui sous les noms dépression vive et de non-pressio^i. Si Ton appelle/? la pression moyenne dans le courant, le prisme étant enlevé, que Du Buat appelle la pression morte^ jo, la pression moyenne sur la base d'aptiont et jo, la pression moyenne sur la base d'aval, on aj^i >p>p%^ et A (p^ — p) est la pression vive sur le prisme, A {p — jo,) la non-pression; l'impulsion totale R est la somme de la pression vive et de la nonpression * :
R = A (j», — j») + A (;? — jo,) = A (jo, — ;>,).
1. On trouve, dans certains traités d'hydraulique, une détermination analytique de la pression vive et de la non- pression, dans le cas d'une plaque mince^ d'après Téquation (3) ci-dessus en supposant que la pression sur la face aval, ici appelée p^, est celle appelée plus haut pi, qui existe dans la section la plus contractée, et que la pression morte, ici appelée p, est celle, appelée plus haut p', qui existe dans la section d'aval où les vitesses sont redevenues parallèles. Mais ces hypothèses sont probablement loin d'êtrô «exactes et le c^cul dont il s'agit ne présente aucun intérêt*
Les hauteurs représentatives des pressions dont il s'agit peuvent s'exprimer en fonction de la hauteur -- due à la vitesse V du courant, et Ton peut écrire en appelant m eiq deux coefficients numériques qui mesureront respectivement la pression vive et la non-pression :
Alors, l'impulsion totale :
R = {«a + y)nA|.
Cela revient à dire que le coefficient d'impulsion K est la somme des deux coefficients m et q de la pression vive et delà non-pression.
Du Buat a déterminé séparément les valeurs de ces deux coefficients. Il a constaté d'abord que la pression sur la face d'amont du prisme était loin d'être constante en tous les points. Au centre de la base, quelle que soit la dimension de celle-ci, elle est toujours à peu près égale à une fois et demie la pres-
sion morte II 5-; el'e décroît d'une façon régulière depuis le
centre jusqu'aux bords où elle devient inférieure à cette pression morte. La théorie du mouvement des filets liquides pourrait rendre compte de ce fait : ceux-ci tournent, en effet, lear convexité vers le centre de la plaque, tandis que, près des bords, ils deviennent concaves. La valeur moyenne de m, pour une surface normale au courant, a été trouvée par Du Buat de 1,186. Elle est, comme on pouvait le supposer, indépendante de la longueur du prisme dont la surface heurtée forme la base.
Il n'en est pas de même de la non-pression. A mesure que le corps s'allonge, les filets liquides, qui ont été déviés et qui ont pris des vitesses obliques plus grandes que celles du fluide ambiant, s'étendent de plus en plus à travers ce fluide et y perdent peu à peu leur excès de vitesse ; quand ils viennent à
passer en face de la base postérieure du prisme, cet excès de vitesse aura été d'autant plus atténué que le prisme sera plus long. Or, la non-pression est due uniquement à la vitesse des molécules fluides qui passent à Tangle de cette base postérieure; elle sera donc d'autant plus grande que le prisme sera plus court. La théorie exposée plus haut ne tient pas compte de cet épanouissement progressif des filets fluides et de la diminution qui en résulte pour la vitesse, lorsque le prisme s'allonge : ce n'est pas par un cylindre, mais par un cône que devrait être limitée la masse liquide dont le mouvement est influencé par la présence du solide. Il est évident, en effet, que si Ton considère un prisme extrêmement long, on rencontrera, à une distance assez grande de sa base d'amont, une section transversale du courant liquide dans laquelle toutes les vitesses seront devenues sensiblement égales dans une très grande étendue. A l'extrémité d'aval d'un pareil prisme, les filets latéraux n'exerceront, sur la masse fluide formant en quelque sorte la poupe fluide, qu'une action d'entraînement très réduite, la laisseront sensiblement en repos et ne se rejoindront qu'à une distance beaucoup plus grande que s'ils étaient passés en face de celte extrémité avec des vitesses plus grandes, ou si le prisme avait été plus court.
Il résulte de là que, toutes choses égales, la valeur de la non-pression, ou du coefficient q qui la mesure, est d'autant moindre que la longueur L du prisme est plus grande. D'ailleurs ce n'est pas la seule longueur L qui doit entrer en considération, mais le rapport de cette longueur à la dimension
transversale du prisme, laquelle est proportionnelle à vA. La grandeur du coefficient ç^ varierait donc en sens inverse du rapport -=. Du Buat, d'après des expériences peu nombreuses, indique, sans y attacher d'importance, une relation de la forme — == log. (-T^ + 1,42), le logarithme étant vulgaire. Il a trouvé, pour une plaque mince de forme carrée^ q = 0,67,
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564 ClIAP. X. — HÉSISTANCE DKS FLUIDES.
pour un prisme carré de forme cubique (L = y^A), q = 0,271 el pour un prisme carré d'une longueur triple du côté de la base (L = 3v^A), q = 0,133. Si, à ces valeurs de q, on ajoute celle de m indiquée plus haut, nî = 1,186, qui est indépendante de la longueur du prisme, on trouve ainsi :
pour la plaque carrée, mince ; K = m + y = 1 ,836,
pour le cube, K = 1 ,437,
pour le prisme carré, K = 1 ,339.
La non-pression, comme la pression vive, n'est pas la mémo
en tous les points de la surface postérieure du corps heurté ;
elle est plus grande près des bords et moindre vers le centre.
»«•. Variation avee la Tltesfte. — Les chiffres qui précèdent ont élé déterminés avec des vitesses d'environ un mètre par seconde ; ils ne semblent exacts que pour jes vitesses s'écartant peu de cette valeur. Le coefficient de pression vive, m, paraît à peu près constant, c'est-à-dire que la pression vive varie à peu près comme le carré de la vitesse ; mais il n'en est pas de même du coefficient de non-pression, q, qui augmente avec la vitesse. Presque nul quand la vitesse est faible, puisqu'alors le liquide situé en arrière du corps est à peine entraîné et exerce une pression à peu près égale à la pression hydrostatique, il peut atteindre l'unité lorsque la vitesse est assez grande pour que ce liquide soit complètement entraîné et que le vide se fasse derrière le corps. La loi de la variation de ce coefficient q avec la vitesse v n'a pas été déterminée, mais quelle qu'elle soit, on peut conclure de ce qui vient d'être dit que la non-pression croît plus rapidement que le carré de la vitesse, au moins jusqu'à la valeur limite à laquelle le vide complet se produit. A partir de ce moment, si la vitesse continue à augmenter, le coefficient de non-pression reste constant et égal à l'unité.
Il en résulte que le coefficient K exprimant l'impulsion est lui-même fonction croissante de la vitesse, ou, ce qui revient ÉLu même, que l'impulsion d'un fluide en mouvement sur Un
§ 2. — ETUDE EXPÉRIMENTALE. t>65
corps prismatique doil s'exprimer par une fonction de la vitesse croissant plus rapidement que la seconde puissance. Cette fonction est encore inconnue, et les faits d'observation que Ton possède jusqu'à présent sont insuffisants pour la déterminer.
Le coefficient de pression vive, lui-même, m, n'est pas absolument constant; les expériences de Du Buat ont montré qu'il est un peu plus grand pour les très faibles vitesses, mais, d'après ces expériences, la variation de ce coefficient serait beaucoup moins appréciable que celle du coefficient de nonpression q.
970. Différenee entre l'impalsion d'un liqaide en moaTement sur an solide en repos et la résistance opposée an mouvement d'an solide par an liquide en repos. — Ces observations, ainsi que les chiffres qui ont été donnés plus haut s'appliquent à l'impulsion exercée par un liquide en mouvement, animé d'une vitesse constante, sur un solide en repos. Les résultats sont différents lorsque c'est le solide qui se meut dans un liquide immobile.
Ce fait, bien qu'il ait été constaté de la façon la plus formelle par divers observateurs, semble paradoxal, et les savants ne l'ont pas admis sans réserves. De St- Venant, par exemple, à la page 161 de son Mémoire cité sur la Résistance des fluides , dit : les expériences « donnent des résultats généralement « moindres, souvent d'un quart, lorsque le corps se meut que « lorsque c'est le fluide, ce qui doit tenir à quelque source « d'erreur dans le mode d'appréciation do l'impulsion ou de « la résistance, ou à quelque cause étrangère et très influente; (( eh sorte que Ton ne sait auquel des deux résultats expéri- « mentaux on doit croire, et il y a lieu de douter de tous deux. • Il serait, en effet, contraire aux principes fondamentaux de « la dynamique et aux faits astronomiques ou terrestres les « mieux avérés, de penser qu'en communiquant au corps et « au fluide une vitesse uniforme commune, égale et contraire « à celle que possède l'un ou Taulre, on change par cela seul
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« leur action mutuelle, ce qui ferait dépendre l'impulsion de « Teau dos fleuves de Forientalion de leurs cours, etc. Tant « que Ton n'aura pas mis complètement d'accord les cxpérien- « ces d'impulsion des fluides en mouvement et les expérience ces de résistance des fluides en repos, c'est vainement que « Ton tentera d'attribuer des valeurs définitives aux quantités « indéterminées dont nous parlons. >
Ce raisonnement serait exact si les vitesses de toutes les molécules fluides étaient rigoureusement égales et parallèles entre elles. Mais même dans un courant indéfini dont le régime est uniforme, ce ne sont que les vitesses moyennes locales qui satisfont à cette condition ; les vitesses réelles sont à chaque instant divergentes et variables d'un instant à l'autre. Le liquide qui s'écoule à travers une section A, égale à celle du corps solide, possède en réalité, pour un même débit, une force vive notablement plus grande que si toutes les vitesses étaient égales et parallèles. C'est celte force vive qui se détruit en partie par les chocs contre le solide, sous forme de frottement, et qui produit autour du solide une agitation d'autant plus grande qu'elle a, elle-même, une valeur plus élevée. Cette agitation, presque entièrement perdue pour l'écoulement, donne lieu au frottement du liquide sur lui-même, ou au travail négatif (désigné plus haut par T^) qui, divisé par la vitesse mo3'enne, est la mesure de Timpulsion du liquide sur le solide. Il n'est donc pas surprenant, et il est au contraire conforme à l'examen théorique du phénomène, que l'impulsion d'un courant sur un solide en repos soit, pour une même vitesse, supérieure à la résistance éprouvée par le solide en mouvement dans le fluide en repos.
Du Buat a trouvé que, lorsqu'une surface mince se meut dans l'eau, à une vitesse voisine d'un mètre par seconde, le coefficient de pression vive m est à peu près égal à l'unité, et le coefficient de non-pression q^ à 0,433. La résistance totale K' = m + y est donc alors de 1,433, tandis que l'impulsion est de 1,836 sur la plaque immobile.
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Le rapport de ces deux nombres est sensiblement celui de 10 à 1 3, mais il n'est pas constant et il augmente à mesure qu'on considère des corps plus longs, ce qui peut être attribué, en partie, à Tinfluence du frottement sur les parois.
Du Buat a aussi, mesuré la résistance au mouvement, dans Teau en repos, d'un corps sphérique et il a trouvé, pour des vitesses ne s'écartant pas beaucoup d'un mètre, une résistance exprimée par :
