IM
;; ; • Fig. 11.
à-dire s'il est reslé sur la verticale du point G, les deux forces auxquelles est soomisle corps flottant) son poids et la pression du fluide) sont encore directement opposées ; le solide reste en équilibre, et cet équilibre est ainsi indifferetii ; il subsiste quel que soit le déplacement attribué au solide. Si le centre de carène est venu en D,, le couple formé par les deux forces tend à écarter davantage le solide de sa position d'équilibre : l'équilibre est instable. Il ne peut être stable que si le nouveau centre de carène vient en D| au-delà de la verticale du point G, ou, ce qui revient au même, que si la verticale D|Mt du nouveau centre de carène rencontre la ligne G 'G au-delà du point G.
La limite de la position du point Mg lorsque le déplacement du solide est infiniment petit, s'appelle le métacenire^ M.
On énoncera donc la condition de la stabilité de l'équilibre
en disant que pour qu'un corps flottant soit en équilibre stable
il faut que le métacentre soit au-dessus du centre de gravité.
Il reste à déterminer la position du métacentre. Soit un corps
flottant dont le centre de gravité est G (fig. 12), soit DE la trace sur ce corps du plan de flottaison dans la position d'équilibre et G le centre de carène correspondant; supposons ce corps déplacé d'une quantité très petite et soit ÂB la trace du plan de flottaison dans cette nouvelle position,et G' le nouveau centre de carène. Le métacentre est, par définition, lalimite do la position du point M, intersection de la droite GG prolongée
1 . Le nom de métacentre a été donné à ce point par Bouguer, dans son Traiié du navire de 1746, On trouvera aussi dans cet ouvrage la définition de la courbe métacentriquey dont le métacentre est le point de rebroussement.
Fig. 12.
CHAP. I. - IIYDHOSTATIUUE.
avec la verticale du point G'. Prenons pour plan de la figure un plan vertical perpendiculaire à l'intersection des deux plans ÂB, DE. Si, comme nous le supposons^ le déplacement du corps est très petit, les deux sections AB, DE différeront très peu Tune de Tautre et chacune d'elles sera à très peu près égale à la section faite parle plan IK bissecteur de l'angle de CCS deux plans^ lequel contiendra ainsi les centres de gravité des deux fuseaux DHA et BHE, dont les volumes sont égaux puisque ALB, DLE le sont nécessairement, chacun d'eux déplaçant un volume de liquide dont le poids est é.s^al à celui du corps flottant. Soit V ce volume.
Prenons les moments, par rapport à IK, des deux volumes DLE et ALB. Si nous supposons connu le premier de ces moments, pour en déduirele second, nous devrons en retrancher le moment du fuseau DHA, lequel est nul puisque lecentrede gravité de ce fuseau est sur IK, et y ajouter le moment du fuseau BUE qui est également nul. Les moments, par rapport à IK, des deux volumes considérés sontdonc égaux, et puisque ces volumes sont égaux leurs centresde gravité sont àlamème distance de IK, c'est-à-dire que le centre decarèneC se trouve sur une parallèle à IK menée par le point G.
Prenons ensuite les moments de ces deux mêmes volumes par rapport à une ligne perpendiculaire à IK ; ils différeront du produit de V par la distance CG'. Or nous pouvons encore passer du premier moment au second en y ajoutant le moment du fuseau BHE puis eu retranchant celui du fuseau DHA. La différence des moments des deux volumes V X GG', sera la même que celle des deux fuseaux, et cette différence restera aussi la même quelle que soit la position de la ligne, perpendiculaire à IK, par rapport à laquelle on prendra les moments: supposons la passer par le point H, le moment de l'un des fuseaux sera négatif et l'autre positif, et leur différence algébrique sera leur somme arithmétique. Soit, sur le plan IK, un élément infiniment petit o> à une distance y de la ligne projetée en H. Get élément peut être considéré comme la section droite d'un prisme tronqué limité aux deux plans
Qoo^z
AB et DE. En appelant 6 Tanglo de ces deux plans, la hauteur
de ce prisme sera 2 2/ sin - ;sonvolume,2yG>sîn -,ou bien, puis*
que Tangle 6 est supposé très petit, yct>6. Le moment de ce prisme par rapport à la droite projetée en H sera ainsi y*<o9 et la somme des moments de tous les prismes constituant ensembleles deux fuseaux sera 2î/'<oO=^9Sa>î/", la somme étant étendue à tous les éléments tt> de la section IK. Nous avons ainsi, d'après ce qui vient d'être dit,
VxCC;=6Sa>î/«.
Or, l'angle CMC étant égal à 9, CC/ est égal à 2 MC sin ^ «u à MC. 9, ce qui donne, en substituant :
VxMC.9 = 9 2(oi/'.
A la limite, la section IK se confond avec la section DE et la droite II passe par le centre de gravité de cotte seclion.
Désignons pari le moment d'inertie, S(ot/* par rapport à un axe mené par son centre de gravité, de la section DE faite dans le corps flottant par la surface libre du liquide dans la position d'équilibre, l'équation précédente donnera :
Enfin, désignons par a la distance CG du centre de carène au centre de gravité dans la position d'équilibre, la distance MG du métacentre au centre de gravité du solide sera :
le signe + s'appliquant au cas où le centre de gravité G serait au-dessous du centre de carène G. Alors, pour que l'équilibre soit stable, il faut et il suffit que MG soit positif et la grandeur de cette quantité MG mesure en quelque sorte la stabilité
CHAP. î. - HYDROSTATIQUE.
jîlibre ; elle est en effet, pour un même déplacement, ionnelle au bras de levier du couple qui tend à rameolide dans sa position d^équilibre.
loment d'inertie I qui entre dans l'expression de MG e évidemment le plus petit des moments d'inertie de on DE par rapport à tous les axes passant par son centre âté.
[étacentre ainsi déterminé a une position définie indéte de Tangle 6 lorsque cet angle est très petit. Mais si Hâtions du corps flottant ne sont pas très petites, il faut r la position du métacentre pour une inclinaison finie )n détermine d'après Tamplitude des oscillations auxpourra fttre soumis le corps flottant *.
Applieation hutl prismes earrés. — Considérons me homogène à base carrée et de longueur indéfinie, , sur un liquide. Appelons a le côté de la base et d le [ du poids spécifique du prisme à celui du liquide, d lécessairement plus petit que l'unité: ce «era le poids [ue du prisme si celui du liquide est pris pour unité. On imédialement que la première condition d'équilibre ant en ce que le centre de gravité du solide et celui du I déplacé se trouvent sur une môme verticale peut être te pour deux positions du prisme : deux de ses faces •aralèlles à la surface' du liquide (fig. 13) ; ou bien ses tant inclinées à 4o degrés (fig. 14). Dans cette dernière èse,le prisme aura une seule arête ou trois arêtes dans le suivant que son poids spécifique sera inférieur ou su-
démontre facilement que la période des oscillations qu'exécute ainsi flottant écarté de sa position d'équilibre est égale à celle d'un pen-
pie dont la longueur serait r7r,,en appelant p le rayon de giration MG
solide par rapport à un axe longitudinal horizontal mené par son
3 gravité. Voir, sur ce sujet, le mémoire Du roxiUs sur mer houleuse,
t. Venant, Société des sciences naturelles de Cherbourg, tome XVI.
g 3. — EQUILIBRE DES CORPS IMMERGÉS*
périeur à 0,50. Il faut chercher laquelle de ces deux positions sera stable.
Pig. 13.
Dans le premier cas, représenté par la figure 13, appelons z la distance à la surface libre NN' de la face horizontale ÂB plongée dans le liquide, ou faisons z = AE = FB; si nous supposons la longueur du prisme égale à Tunité, nous avons
a* la*.
I = ~ , V = a« et par suite -- = — . C'est la dislance du mé-
\A Y \ÀZ
tacentre au centre de carëne et elle doit être supérieure àladis* tance du centre de gravité du solide à ce dernier point, ou à
L'équilibre ne sera donc stable que si Ton a — >
ce
qui exige que le rapport -, ou le poids spécifique d qui lui est égal, soit inférieur *^5 M — T=) = 0,212, ou supérieur à
ô (i + — ) = 0,788.11 sera instable si le poids spécifique est
compris entre ces deux limites.
Considérons alors le second cas, représenté par la figure 14, oîi, les faces étant inclinées à 45 degrés, une seule arête plonge dans le liquide,et appelons maintenant z la profondeur AH de cette arête au-dessous de la surface libre. Le volume du prisme étant toujours a" et le volume déplacé V étant alors ^■,
jjj ^ ^ (22)*
le poids spécifique (/= -;. Le moment d'inertie I est-— =
— et le rapport— est égal k-z. Ce rapport doit être plus
Qoo^^
-24 . GHAP. I. — HYDKOSTATIQUE.
grand que la distance du centre du prisme au centre de carène
ou que — z, La condition de la stabilité de l'équilibre
est ainsi ;^>^ — ^^, ou- z > ayâ. On en déduit
— OU rf> - OU 0,281. En examinant de même le cas où trois ai 33
arêtes seraient plongées dans le liquide, on verrait que
l'équilibre ne peut être stable que si Ton a d <:?5 = 0,719.
Ainsi, en résumé, le prisme à base carrée flottera avec sa face supérieure horizontale lorsque son poids spécifique sera inférieur à 0,212 ou supérieur à 0,788. Il aura ses faces inclinées à 45 degrés lorsque son poids spécifique sera compris enlre 0,281 et 0,719. On pourra donc, par exemple, au seul aspect d'une pièce de bois flottant sur Teau, reconnaître si elle est en chêne ou en sapin : le poids spécifique du chêne étant environ 0,87, la pièce en chêne aura sa face supérieure horizontale, et celui du sapin étant environ 0,49, la pièce en sa* pin aura ses faces inclinées à 45 degrés.
Lorsque le poids spécifique du prisme flottant est compris entre 0,212 et 0,281 d'une part ou entre 0,719 et 0,788 de l'autre, l'équilibre ne peut être stable, ni dans l'une ni dans Pautre des deux positions que nous avons considérées. Le prisme prend alors des positions obliques intermédiaires en passant graduellement de l'une à l'autre à mesure que le poids spécifique varie. Par exemple, le prisme ayant une de ces faces horizontales au poids spécifique limite 0,212, si ce poids spécifique augmente, la face d'abord horizontale fera, avec la
surface libre, un angle a variable et lié au poids spécifique parla
relation cos* a= 7— — -— ; — • jusqu'à ce que l'un des sommets
1 îza — Izcr — 1 * *
plongés dans le liquide vienne affleurer la surface, ce qui aura lieu pour rf=0,25. A partir de ce moment, le poids spécifique continuantàaugmenler,iln'yauraplus qu'un seul sommet dans le liquide et l'angle aformé par la face supérieure avec l'horizon
Qoo^^
sera donné par sin 2a = - — — , jusqu'à ce qu'il atteigne 45
degrés pour rf=-.
Les mêmes phénomènes se reproduisent en sens inverse lorsque le poids spécifique varie de 0,719 à 0,788.
L'élude de la stabilité de l'équilibre des prismes rectangulaires flottants donne lieu à des considérations analogues.
