Equations générales de l'hydrodynamique

Considérons un fluide parfait en mouvement et rapportons les positions de ses divers points k trois axes de coordonnées rectanjfulaires, a?, y, z. Le mouvement de ce fluide seracomplètement déterminé si, à une époque / quelconque nous connaissons, en grandeur et en direction, la vitesse V d'un point quelconque laquelle pourra être définie par ses trois projections UyVyW^ sur les trois axes. L*état du fluide en chaque point sera, d'autre part déterminé par la pression/? et la densité p. Le problème comporte donc cinq quantités inconnues^ u^v^w, p, p, à exprimer en fonction de quatre variables indépendantes œ, y y z et f .

L'hypothèse de la fluidité parfaite est nécessaire pour ne pas compliquer outre mesure la question. C'est grâce à elle que la pressionp,en un pointdonné,conserveune valeuruniqueparfaitement définie. Si,aulieu d'un fluide parfait, nous considérions un fluide naturel, nous aurions à faire intervenir les efforts tangentiels qui, sur un élément plan quelconque, sont alors, par unité de surface, proportionnels à la vitesse de glissement de

Qoo^<i

Tune des parties limitées par cet élément sur Taulre *. La pression n'est plus normale à Télément plan sur lequel elle s'exerce; elle n'a plus la même valeur, au même point, sur les éléments de directions diverses.

Nous supposons donc le fluide parfait.

En raisonnant exactement comme* nous l'avons fait au n*" 6 pour écrire les conditions d'équilibre d'un parallélépipède rectangle,nous trouverons les équations exprimant l'équilibre dynamique d'un pareil élément et ces équations ne seront autre chose que celles de l'équilibre statique, trouvées à ce n"" 6 (page 5), à la condition que nous ajoutions aux forces réelles, dont nous avons désigné les composantes suivant les trois axes par X, Y, Z, la force d'inertie de Télément, c'est-à-dire que nous ajoutions à ces trois composantes celles, changées de signe, de l'accélération suivant les trois axes. Désignons donc par«', »', w les projections, sur les trois axes, de l'accélération de l'élément considéré, lesquelles sont les dérivées par rapport au temps des projections w, r, w de la vitesse V du même élément sur les mêmes axes, nous aurons les trois équations d'équilibre dynamique :

\ . Si, en un point quelconque, on considère trois éléments rectangulaires parallèles aux plans coordonnés, les composantes des vitesses de glissement qui sont deux à deux égaies, ont, comme on sait, les valeurs suivantes : dv dw dw du du ^ dv

dz dy ' dx dz ^ dy dx^ et Teffort langentiel a pour composantes suivant les trois axes ces mêmes binômes, multipliés par un môme coefficient! qui est à peu près indépendant de la pression normale p, mais qui dépend énormément de l'agitation qui règne au point considéré, lorsque u, v, w représentent, non pas les composantes réelles des vitesses des molécules, mais les composantes de la vitesse moyenne locale dont il sera question plus bas [après les équations (3)J.

Qoo^^

§ i. — MOUVEMKNT EN GÉiNÉHAL. 49

Les composantes w, v^w de la vilesse V sont des fonctions des coordonnées a?, y, z et du temps t ; Taccroissement différentiel de Tune d'elles, u par exemple, s'exprime par

du . du j du j , du ,^

et sa dérivée par rapport au temps, que nous avons désignée par u', s'obtiendra en divisant cet accroissement par dt ; nous aurons ainsi :

, du dx du dy du d% du ^ "^dxJt "^ dyJt'^dzIt'^di ^

Mais les rapports —, —, —ne sont autre chose que les '■*' dt dt dt

composantes u, v, w de la vitesse V ; en substituant, la valeur

de m' devient :

/^\ f d^ , ^M . du , du

^ ' dx dy dz ^ dl *

et cette valeur portée dans la première équation (1) donne la première des suivantes dont les deux autres s'obtiennent de la même manière :

i dp Y ^^ ^** ^" ^^

p dx dx dy dz dt

/*v\ / t dp ^- dv do do do

^ ' ^ p dy dx dy dz dt

i dp „ dto dw dtv dw

p dz dx dy dz dt

Ce sont les équations générales de l'hydrodynamique. Elles sont applicables, d'après ce qui vient d'être dit, aux mouvements réels des molécules d'un fluide parfait. Mais M. Boussinesq a montré {Essai sur la théorie des Eaux courantes^ 1" partie) qu'elles s'appliquent aussi rigoureusement si, au lieu des mouvements réels, on considère les mouvements moyens locaux qui permettent de négliger les changements fréquents et rapides, les irrégularités locales que subissent les vitesses des différentes molécules»

M. Boussiaesq a remarqué en effet que le mouvement des liquides est caractérisé par de pareils changements dans la grandeur et la direction de la vitesse en chaque point, mais que ces changements sont assujellis à une sorte de périodicité irrégulière en vertu de laquelle si Ton prend la moyenne des valeurs que reçoit, duranlun temps assez court, la composante, parallèle à une direction donnée, de la vitesse en un point iixe^ cette moyenne est fonction continue des coordonnées du point considéré. Elle est en outre indépendante du temps / lorsque le mouvement est dit permanent, et graduellement variable avec le temps duns le cas contraire.

Alors les équations (3) s'appliquent rigoureusement lorsque «, î?, w y représentent les valeurs moyennes des composantes de la vitesse ; et la résultante de ces trois moyennes w, w, w est dite ]Bi vitesse moye?i?ie locale slu point considéré. Il est bien évident que celte vitesse moyenne locale est indépendante du choix des axes. Désormais, ce sera toujours la vitesse moyenne locale, ou ses composantes, que nous aurons en vue.

Les équations (3) s'appliquent aussi d'une manière approximative aux fluides naturels lorsque les mouvements sont lents, ou que l'on ne considère ces mouvements que dans une étendue restreinte de l'espace et du temps.

17. Equation de continuité. — Ces trois équations ne suffisent pas pour déterminer les cinq inconnues, il faut en trouver deux autres. La première se déduira de la nature même du fluide dont on étudie le mouvement. On aura, si c'est un liquide :

(4) p = constante,

et si c'est un fluide élastique :

(S) P = Kp = ,-^,,

CL étant le coefficient de dilatation et 0 la température.

g 4 . — MOUVEMENT EN GÉNÉRAL.

ai

La dernière équation, dite de continuité^ se trouvera en exprimant que le fluide reste continu, qu'il ne s*y forme pas de vides et que, pour chaque élément, la masse reste bien égale au produit du volume par la densité. On prendra pour cela, dans le fluide en mouvement, un volume en forme de parallélépipède rectangle, dxdydz^ ayant une position invariable et dont les faces sont traversées par le fluide qui entre et qui sort. Si Ton considère la face dydz la plus rapprochée de l'origine, u étant la composante, normale & cette face, de la vi* tesse des molécules qui la traversent et p leur densité, la masse qui pénètre dans le parallélépipède à travers cette face, pendant le temps dt^ est pudydzdt et la masse qui sort par la face opposée est égale à celle-ci augmentée de sa différentielle

par rapport à Xy ou bien à (p« + -j- dx\ dydzdt, La masse

comprise dans le parallélépipède s'est donc ainsi accrue de

^ dxdydzdt. On peut appliquer le même calcul aux deux

autres paires de faces, de sorte que Taccroissement de masse, pendant le temps d/, a en totalité pour valeur

\ dx

d,pv

dy "*■ dz

j dx dy dz dt.

Lv>2

Le volume étant resté constant et égal à dxdydz^ cet accroissement de masse doit être égal au produit de ce volume par l'accroissement de densité pendant le temps ^ lequel est

J-. dt. Écrivant cette égalité et supprimant le facteur commun

il reste Téquation de continuité :

d.pu Ix'

dy "^ dz '^ dt

d.pv

S'il s'agit d'un liquide, elle se simpliGe en raison de ce que la densité p est constante. On a alors ^ = 0 et p, constant^

sort du signe de diiïérentialion en devenant facteur commun que l'on peut supprimer; il reste ainsi

ipi\ du dv dw ^

<^> ai + 7, + 57=^'

pour l'équation de continuité applicable aux liquides.

Dans le cas d'un liquide, les équations (3), (4) et (7) ; dans le cas d'un gaz, les équations (3), (5) et (6), donnent les cinq équations cherchées entre les cinq inconnues, u^ v^ w^ p^ p et les variables indépendantes.

L'équation de continuité (7) peut se mettre sous une forme un peu différente lorsqu'il s'agit d'un courant liquide caractérisé par ce fait que les molécules liquides qui traversent une section transversale plane ont toutes des vitesses normales à cette section et égales entre elles. Soit <i> l'aire dccette section transversale, U la vitesse commune de toutes les molécules qui la traversent et^= Uco le débit ou la dépense d'eau du courant, à travers cette section, par unité de temps. Le volume entré par cette section dans le temps dt est qdt^ le volume sorti par la section suivante, distante de d$ de la première, est

dq (y + — ds) dt, de sorte que le volume compris entre ces deux

sections infiniment voisines a augmenté, pendant le même

dq temps, de — — dsdt. Cette augmentation de volume ne peut

être que le résultat de l'accroissement de la section transversale G>, laquelle est devenue («>+ t- dt)^ ce qui correspond à

une augmentation de volume de ~ dtds. Égalant ces deux expressions, supprimant le facteur commun dtds, il vient

qui exprime sous une nouvelle forme la condition de continuité et qui s'applique à divers problèmes sur les cours d'eau.

§ 1 . ^ MOUVEMENM' EN GÉNÉRAL. 33

tl^. Equation rondantenf aie de rbydrawliqae. — On

peut, comme nous Tavons fait au n"" 6^ réunir en une seule les trois équations générales (1) du n"" 16 (p. 28). Il suffit,pour cela, de les additionner après les avoir multipliées respectivement par dx^dy^^dz ; mais,au lieu de prendre quelconques ces trois multiplicateurs, on peut les prendre précisément égaux, aux projections du déplacement réel que subit une molécule pendant le temps rff, c'est à-dire prendre dx = udt^ dy = vdt, dz = wdt. On trouve ainsi :

~dar+ ^ dy + ^d;& = o(Xda? + Ydy + Zdz) -o<tttt'+ t?«?'+ wM?')(i^ dx dy dz

Le premier membre n'est plus, ici, la différentielle totale dp de la pression /?, car cette pression est fonction, à la fois, du temps t et des trois coordonnés a?, y, z, et Ton a

ce premier membre est donc égal k dp — -^ dt. D'autre part,

on a u'dt=du^ v'dt =:dv,w'dt =w, de sorte quen substituant, on obtient

- ( dp — ^ rfM == Xdx -f-Yrfy -i-Idz — {udu + vdv + wdiv).

Puisque w, v, w sont les projections de la vitesse V sur les trois axes, on a m* + z?' + 1^* = V* ce qui donne udu -f- vdv + wdw = VdV et par suite :

(9) Udp—'^£dt) = Xdx + Ydy + Zdz—\dW,

équation analogue k Téquation générale (1) de l'hydrostatique. On peut donner, à cette équation générale (9) une autre forme quelquefois plus commode à employer. Si l'on convient que les caractéristiques d d^ différentiation représentent, non pas les différentielles totales des quantités j9, V, fonctions des

quatre variables a*, y, z^ et /, maïs les différentielles par rappoH aux trois variables x, y, z seulemenl, la notalioa dp exprimera ce qui se trouve dans la parenthèse du premier membre, c'est-à-dire la différentielle totale de p diminuée de

t: di. Inversement, la notation rfV n'exprimera plus la différentielle totale de la vitesse, qui figure dans le dernier terme, mais, avec cette nouvelle notation, cette différentielle totale

devra être écrite rfV + -- rf/, puisque dV n'exprime plus que

la différentielle par rapport aux trois variables x, y, z. Avec ces notations, la formule fondamentale (9) devient :

^ dp = X*c + Ydy + Zrfs- V (rfV + ^ rf<) ,

ou bien, en effectuant le produit indiqué et remarquant que \dt n'est autre chose que Télément d'arc ds de la trajectoire d*une molécule :

(10) - dp = Xdx + Yrfy -h Zdz — VrfV — ^ *•

Mais lorsqu'on emploie cette équalion, il convient de se rappeler la signification particulière des notations dp et d\ qui y figurent.

L'éqnation qui précède, sous sa forme primitive (9) ou sous laforme(10),est l'équation fondamentale de Thydraulique; avec l'équation de continuité (7), elle permet de résoudre lous les problèmes relatifs aux mouvements des liquides, lorsqu'on y fait.abstraction des frottements.

«H; MeuTement permanent. — On dit que le mouvement d'un fluide est permanent lorsque les molécules qui se «uccèdenlen un point donné quelconque y sont toutes animées

Qoo^^

§ 2. — MOUVEMENT PERMANENT. 3â

de la même vitesse en grandeur el en direction, y sont soumises à la même pression ely ont la même densité. Cela veut dire que les quantités V, i/, v, to, p^ p sont indépendantes du temps et ne dépendent plus que des coordonnées des divers points.

Il suffit, pour rendre les équations applicables au mouvement permanent, d'y faire égales à zéro les dérivées par rapport à r de ces six quantités. L^équation fondamentale (9) devient ainsi :

(H) ^ — (Xrfx + Yrfy + Zdz) + VdV = 0.

Si on rapplique, par exemple, à un fluide élastique pesant, Taxe des z étant pris vertical et dirigé de bas en haut^ on a d'abord, d'après (5), p = fe/?, et X = 0, Y = 0, Z = — y. Elle devient :

| + i7rf^4-VrfV = 0,

et, en intégrant,

r Log /> -h ^2 + -r = const.

S'il s'agit d'un liquide pesant, p est constant et l'on a (12) ^4..j^rfz+VrfV = 0.

ou bien

^ + gz ■+-— = const.

ZO, Théorème de Bernoolli. Plao de cbar^e. Niveau piémométriiiue. — Divisons par g tous les termes de cette équation, désignons par H la constante qui se trouvera alors dans le second membre et remplaçons par n le produit py, nous aurons

36 CAiXW II. — MOUVKMKNÏ DKS LKjUinKS.

Celle équalion consliluc le théorème de Bernoulli. Elle est susceptible, comme Téqualion analogue du n** 8, d'une înlerpréialion géométrique. Si, en chaque point d'un liquide parfait en mouvement permanent, on élève une ordonnée verticale

égale à la hauteur — représentative de la pression qui s'y

exerce, puis une autre ordonnée égale à la hauteur ~ due à la

vitesse de cette molécule, les extrémités supérieures de toutes ces ordonnées se trouveront dans un même plan horizontal défini par l'ordonnée H et que l'on appelle le plan de charge. Il serait sans doute préférable de l'appeler plan de charge dynamique pour le distinguer du plan de charge statique ou d'équilibre que nous avons considéré au n® 8 ; mais cette dénomination n'est pas en usage. La somme iz + -) des deux

premiers termes de l'équation (13) est la hauteur, au-dessus du plan de comparaison, du niveau piézométrique. Si l'on suppose placé, dans le liquide en mouvement, un tube vertical AB (fig. 15) ouvert aux deux bouts, appelé piézomètre^ le niveau dans ce tube s'élèvera à une hauteur telle la pression due à celte colonne liquide au point Â, placé à une hauteur z au-dessus du plan de comparaison, ^^' ^' équilibre la pression p qui existe en ce

môme point du liquide en mouvement. L'extrémité supérieure B du liquide dans ce tube sera donc, au-dessus du plan de comparaison, aune hauteurs H — c'est-à-dire au niveau piézométrique. La colonne ÂB qui mesure effectivement la pression au point A s'appelle la colonne piézométrique et sa hauteur est

égale à— •

Deux tubes piézomélriqucs, réunis à leur partie supérieure, permettent d'évaluer la différence de pression entre deux

Qoo^^

poinls voisins, ils constilucnl le piczomèlre différcnlicl do Bélanger.

Si Ton représente par une seule lettre h la hauteur du niveau piézomélrique, qui est constante dans un liquide en équilibre, mais qui est variable dans un liquide en mouve-

V* ment, Téquation (13) devient h + r- = H; et en se reportant

à ce qui a été dit aux n" 6 et 8, on reconnaîtra que si Ton considère un point matériel d'un poids égal à Tunité, sourtiis aux mêmes forces que le fluide et occupant successivement les positions d'une même molécule liquide avec les mêmes vitesses, Ténergie actuelle ou cinétique de ce point

V* étant égale à—, son énergie potentielle sera proportionnelle

à la hauteur piézométrique A, telle qu'elle vient d'être définie.

Si la section du courant liquide varie comme elle ferait, par exemple, si Técoulement avait lieu dans un conduit de dimension variable, la vitesse du liquide doit, en chaque point, se

modifier de telle manière que le volume débité à travers chacune des sections transversales, dans Tunité de temps soit le même partout. La vitesse varie donc en sens inverse de l'aire de la section transversale ; elle est moindre dans la section la plus large B (fig. 16) que dans les sections plus étroites A, C. Si donc l'on place des piézomètres aux poinls A, B, C, le niveau piézométrique en B sera plus élevé qu'en A et en C. L'écoulement étant supposé avoir lieu dans le sens delà flèche, le liquide qui va de A vers B rencontre devant lui une pression plus grande qu'à l'arrière et il ne surmonte cette difl'érence de pression qu'en perdant un peu de sa vitesse : une portion de son énergie actuelle se transforme en énergie potentielle. LVn^et contraire se produit lorsque le liquide va de

Fig. 16.

Qoo^z

B versC; la pression qu'il a devant lui est moindre que celle qui le pousse, sa vitesse augmente, et cette augmentation de son énergie actuelle ou cinétique est due à la diminution de la pression ou de son énergie potentielle.

La façon dont nous avons démontré Téquation fondamentale (9) du n* 18 (page 33), en prenant pour dx, dy^ dz les projections du déplacement réel d'une molécule pendant le temps dt, nous montre que cette équation, et par suite celle de Bernoulli (13) que nous en avons déduite, n'est applicable qu'à un même filei liquide, c'esl-à dire aux points situés sur la trajectoire d'une même molécule liquide.

Ces équations sont encore applicables lorsque, au lieu des vitesses réelles des molécules, on considère leurs vitesses moyennes locales définies comme plus haut. Alors, ce que l'on appelle filet liquide, ce n'est plus la trajectoire réelle d'une molécule, qui présenterait des sinuosités nombreuses et des changements brusques de direction, mais c'est une courbe telle qu'en tous ses points elle soit tangente à la direction de la vitesse moyenne locale en ce point.

C'est toujours ce que nous aurons en vue lorsque nous parlerons de filet liquide; et nous assimilerons toujours le mouvement réel du liquide à son mouvement moyen en admettant, pour simplifier le langage, que les molécules suivent eflfectivement les filets liquides tels qu'ils viennent d'être définis.

Le théorème de Bernoulli, qui est d'une grande utilité en hydraulique, peut être démontré directement au lieu d'être déduit, comme ci-dessus, des équalions générales de l'hydrodynamique. C'est, en somme, une application du théorème des forces vives, et il peut se déduire simplement de ce théorème de mécanique générale. Soit MN la trajectoire d'une molécule liquide; par le point M (fig. 17, page 39) menons-lui un plan normal dans lequel nous prendrons une aire AB ayant son centre de gravité en M.

Nous admettrons que dans l'élcndue très petite (ou môme

infiniment petite) de Taire AB les vitesses soient normales à ce plan et que les trajectoires s'écartent très peu de la ligne

MN de manière k former ^Vr^; ....,^^^ une sorte de cylindre à sec-

tion transversale très petite et ayant pour axe cette ligne MN. Le liquide contenu dans ^*^- * '^' ce cylindre sera ce que nous

avons appelé un filet liquide.

Prenons une autre section CD de ce filet au point N, et appliquons, au liquide compris entre AB et CD, le théorème des forces vives.

Soient Vo et po, V et p la vitesse et la pression dans la section AB et dans la section CD, dont nous désignerons les aires respectivement par coq et co. Considérons le mouvement pendant un temps inKniment petit dt au bout duquel le volume liquide d'abord placé en ABGD sera venu en A'B'C'D'. Le mouvement étant, par hypothèse, permanent, toutes les molécules comprises entre les plans A'B' et CD auront les mêmes vitesses au commencement et à la fin de Tintervalle de temps, de sorte que Taccroissement de la force vive du système proviendra seulement de la différence entre les forces vives des portions CDG'D' et ABA'B'. Si nous appelions m la masse de chacune d'elles, Taccroissement de demi-force vive sera

j m (V* — Vo*). De même dans le calcul du travail de la pe-

sauteur nous n'aurons pas à tenir compte de la partie commune A'B'CD, et le travail de la pesanteur sera le même que si la masse liquide ABA'B' était venue en CDC'D'. Le fluide étant incompressible et ayant, par suite, conservé le même volume, le travail des forces intérieures est nul si nous supposons d'ailleurs la fluidité parfaite. Il en est de même du travail des forces extérieures sur le contour du filet ABGD puisque les pressions sont normales aux déplacements.

Il reste donc à évaluer 1^9 travail de la pesanteur et celui des pressions sur les faces extrêmes AB, CD. En appelant Zq et z

les hauteurs des points M cl N au-dessus d'un plan horizonlal inférieur, le travail de la pesanteur sera égal au poids du volume ABA'B multiplié par z^ — 2. Or, ce volume a pour expression VoWorf'ou \iùdt suivant qu'on le mesure en ABA'B' ou en GDC'D'. On en déduit d'abord

VçWo = V(i),

La masse.de ce volume étant m, son poids est mg et le travail de la pesanteur est mg {Zq — z). La pression totale sur AB est j9o(i>o et son travail, lorsque AB venant en A'B' se déplace de Vorf^, est PoWoVodf ; or, Vocoedf est égal au volume

ABA'B' et par conséquent à —, le travail de la pression p^ est ainsi ;7o—; de même, le travail de la pression p sur CD est égal à — piùWdt = — ;? -^ . Il en résulte Téqualion

En divisant par mg et groupant les termes à même indice, nous obtenons

z + ^ + ~ = Zo+^ + 7^* = const.

c'est-à-dire Téquation (13) ou Téquation deBernouIli.

Zt.BjLienmiou de ce tbéorème. — Le théorème de Bernoulli n'est applicable qu'au fluide parfait, dans lequel les actions tangentielles ou frottements des molécules les unes sur les autres n'existent pas. Dans tous les fluides naturels, où ces frottements ne sont pas négligeables, il ne donne qu'une approximation qui est généralement éloignée de la vérité, mais qui, cependant, s'en rapproche assez, dans quelques cas particuliers, pour qu'on puisse l'appliquer alors aux problèmes pratiques.

En général, ces froltcmonls tlos molécnlos liquides les unes

sur les autres produisent un travail négatif ou résistant qui devrait figurer dans le second membre de l'équation des forces vives que Toîi vient d'écrire, et dontTaddilion aurait pour conséquence de donner à la vitesse V au point N une valeur inférieure à celle qui résulterait de cette équation. Il s'en suit que

» V* lasommez4- - +r- ? au lieu d'être constante, va en diminuant progressivement à mesure qu'on s'éloigne en suivant la trajectoire. On peut écrire alors

La hauteur du plan de charge n'est plus la même en tous les points, elle est exprimée par F(s). La différence de hauteur du plan de charge en deux points F(^J — F(s) est dite la perte de charge entre ces deux points. On voit que la perte de charge mesure la portion d'énergie absorbée par les frottements.

Il y a certaines circonstances où cette perte de charge es^ très petite et peut être négligée, mais elle n'en existe pas moins et ce n'est jamais que d'une façon approximative que l'on applique le théorème de Bernoulli aux fluides naturels lorsque Ton n'en tient pas compte.

Lorsque, par exemple, les mouvements sont très lents, l'effort tangentiel de frottement, qui est proportionnel à la vitesse relative, est très faible et il en est de même du travail de cette résistance passive. C'est ce que l'on exprime en disant que dans un liquide ou dans une portion de liquide où les mouvements sont lenls, la pression varie à très peu près suivant la loi hydrostatique. Il en est de même, quelles que soient les vitesses des molécules, lorsqu'ellessont toutes égales et parallèles entre elles ; la vitesse relative de deux molécules quelconques est nulle et par suite les efforts langentiels n'existent pas, la pression est, en chaque point, normale à la section sur laquelle elle s'exerce, ce qui caractérise l'état hydroslalique.

Il peut arriver que, sur tout le pourtour d'un filet liquide dont les molécules sonl animées de vitesses parallèles, la pression soit la même; c*est ce qui arrive, par exemple, lorsque ce filet s'écoule à travers l'atmosphère sous la forme de ce que Ion appelle une veine liquide. On admet alors, avec une approximation suffisante, que la pression est la même et égale à celle de l'atmosphère en tous les points d*une même section transversale normale aux vitesses.

Cest à la faveur de ces approximations que Ton peut appliquer quelquefois le théorème de Bernoulli au mouvement des liquides naturels, mais on ne peut le faire, entre deux points donnés, qu'après s'être assuré qu'entre ces deux points, il n'y a pas de cause spéciale de pe^^te de charge appréciable et que TeiTet des frottements intérieurs peut être négligé.

Après avoir établi les formules générales du mouvement permanent et du mouvement uniforme, nous étudierons Técoulement sur de très petites longueurs dans lesquelles la forme de la masse liquide en mouvement varie plus ou moins rapidement, et nous recherchons si, dans ces parties, la fonction Y{s) exprimant la perte de charge, varie avec continuité ou bien d'une façon discontinue, et nous essaierons alors, d'après l'observation, de déterminer cette perle de charge. Ces parties dans lesquelles la masse liquide en mouvement change brusquement de forme, constituent les orifices et les déversoirs, et c'est par eux que nous commencerons l'étude de l'écoulement deTeau, dans le chapitre III.

9f . Cirénéralités sur le mouvement permanent des eourants liquides. — L'équation fondamentale (9) ou (10) établie au n® 18 (page 33), de même que les équations (3), desquelles on l'a déduite, s'applique aux mouvements quelconques d'un fluide parfait, c'est-à-dire à tous les mouvements fluides dans lesquels on peut faire abstraction des frottements. Ces équations s'appliqueront de même aux fluides naturels si l'on fait entrer, dansles composantes des forces qui y figurent, celles

des forces de frollemciil lànl intérieur qu'extérieur du liquide sur lui-même on sur les parois solides avec lesquelles il est en contact.

Les mouvements liquides les plus ordinaires ou tout au moins ceux dont Tétude a le plus d'applications pratiques sont ceux dans lesquels les diverses molécules ont des vitesses moyennes locales à peu près parallèles ; Técoulement se fait alors par filets fluides. Ce genre de mouvement se produit, par exemple, dans un tuyau dont Taxe est rectiligne ou très peu courbe, dans les canaux découverts dont Taxe est à peu près rectiligne et dont la section transversale reste à peu pVès constante. C'est à ce genre de masse liquide en mouvement que Ton donne le nom de courant liquide^ et il est intéressant d'en faire une étude spéciale.

Nous supposerons toujours le mouvement permanent.

tS. flnantité de moovement et force vi^e d^an coa« rant liquide en fonction de la Tltesse moyenne. —

Soit, dans un pareil courant, a> Taire de la section transversale, dtù son élément, u la vitesse moyenne locale correspondant à cet élément, supposée parallèle à la direction du mouvement, et U la vitesse moyenne dans toute la section, définie par l'équation

U= -• r tidtù,

l'intégrale étant étendue à tous les éléments diù de la section transversale. Appelons encore Q le débit du courant liquide ou le volume écoulé dans l'unité de temps et dQ son. élément, ou bien posons

et

Q =Uo>= / udtù.

Proposons-nous de comparer la quantité de mouvement et la force vive réelles du courant liquide à ce qu'elles seraient si

Qoo^^

H CHAP. II. — MOl^VEMENT DKS LlQlJinES.

tous les iilels avaient, au Heu de leurs vitesses individuelles t/, ]a vitesse moyenne U. £n appelant toujours TI le poids de Tunité de volume du liquide, la masse écoulée pendant l'unité

de temps à travers l'élément dtù est - cfQ, la quantité de mouvement et la demi-force vive correspondant au liquide ayant passé par cet élément seront respectivement

- rfQ . w et - dO . •-•

En faisant la somme des quantités analogues pour tous les éléments diù, nous aurons la quantité de mouvement et la demi-force vive réelles du courant liquide, qui seront, après avoir remplacé dQ par sa valeur ud(ù :

- I M'rfco et — r w"rfo>.

g Jù> ^g Jw

Si tous les filets liquides avaient la vitesse moyenne U, les quantités correspondantes seraient - QU et - Q —, ou bien, en mettant pour Q sa valeur U(o :

- U*<o et — U"o).

Nous avons ainsi à comparer, pour les quantités de mouvement, les quantités C u^d<ù et U*ci), et pour les forces vives

f^ u^diù et U'w.

Or, désignons par iii l'excès, positif ou négatif, de la vitesse individuelle u d*un filet liquide quelconque sur la vitesse moyenne U, ou posons

w = U + Wi

nous en déduirons successivement

et u'=U'4-3U*Wt+3LW+«i'.

Qoo^^

g 2. - MOLVEMExNT PEKMANKNT. 45

Multiplions par rfw chacun des termes de ces trois équations et intégrons-les dans toute l'étendue de la section transversale

w ; la première, vu que Jd(ù^ tù, nous donne

Judiù = U<i) + Twido) ;

ce qui, eu égard à la définition de la vitesse moyenne U, nous conduit à

jUid(ù =0.

Les deux autres équations, intégrées en tenant compte de ce résultat, fournissent

Ju*d<ù= U*<i) + Ju^^diù , fu*d(ù = U"w + 3l]fui^d(ù + Ju,*diù.

Par conséquent, le rapport de la quantité de mouvement réelle à la quantité de mouvement correspondant à la vitesse moyenne est

et le rapport des forces vives

U»co — *+^- ut« + U8« •

Quel que soit le signe de Wi, le carré Mj* est toujours positif et Tintégralc Twi'rfw est toujours différente de zéro et positive. Il en résulte que la quantité de mouvement réelle dépasse toujours la quantité de mouvement correspondant à la vitesse moyenne, et si l'on pose

Qoo^^

46 cHap. Il - Mouvement des liquides.

le nombre désigné par y) étant toujours positif, le rapport de ces deux quantités de mouvement sera 1 +y). En ce qui est du rapport des forces vives, nous pouvons re-

marquer que le dernier terme -r- — est toujours petit par rapport au précédent —- — , car, d'abord, Mj est généralement une petite fraction de U, et la première de ces deux expressions est de Tordre de ( — ] , tandis que la seconde n'est que

de Tordre de (-—) i mais, de plus, les valeurs de t«, sont tantôt positives et tantôt négatives, puisque fuxdiù=^Q^ Tintégrale jtii*d(ù compreûd donc des termes positifs et des termes négatifs, tandis que les éléments de Jui^diù sont tous de même

signe. Pour ces deux motifs le terme— j — est négligeable

devant les autres et le rapport des forces vives se réduit approximativement à

Nous le désignerons par une seule lettre a=:l-|-3Yj et nous voyons déjà que le rapport des forces vives, toujours plus grand que Tunité, comme celui des quantités de mouvement, diffère de Tunité d'une quantité égale au triple de celle dont cet autre rapport la dépasse.

Ainsi, et c'est là un fait remarquable sur lequel on ne sau* rait trop attirer Tattention, par le seul fait de Tinégalité des vitesses dans un courant liquide, la quantité de mouvement et la force vive de ce courant sont toujours plus grandes que ce qu'elles seraient si tous les filets liquides avaient la vitesse moyenne.

Quant aux valeurs des coefficients vi et a = 1 + 3y), on con-

§ 2. MOUVEMENT PERMANENT. 4t

çoit qu'elles varient dans certaines limiles : elles dépondent, en effet, du degré d'inégalité des vitesses du courant. M. Bazin a trouvé * par exemple a= 1,038 pour un courant s'effccluant dans un canal en planches très unies, et a == 1,122 dans un canal en planches recouvertes de h'teaux espacés de 0"°. 05 et destinés à constituer une paroi très rugueuse. Ces valeurs correspondent à r, = 0,013 et yî= 0,041. On admet ordinairement, on moyenne, pour les conditions ordinaires, la

valeur y) =0,037 oua = l,ll*=-r-, mais ce n'est évidem-

ment qu'une approximation destinée à suppléer à l'ignorance

où Ton est, le plus ordinairement, de la véritable valeur de ce

rapport.

Dans bien des cas, aussi, on ne tient aucun compte des

différences qui viennent d'être évaluées et Ton suppose rj = 0

ou a = 1 .