EjquaCiott i^éuérale du mouvemeni permanent

— Proposons-nous,mainlenant, d'étudier le mouvement permanent d'un courant liquide défini comme au u9 22, c'est-à-dire présentant une section transversale constante ou très lentement variable, et un axe rectiligne ou très peu courbe de manière que toutes les vitesses individuelles des divers filets liquides puissent être regardées comme parallèles.

Prenons trois axes de coordonnées rectangulaires ar, y, z ; plaçons l'origine en un point quelconque de la section transversale et dirigeons Taxe des x parallèlement à la direction commune de toutes les vitesses des molécules liquides, ou perpendiculairement au plan de la section transversale ; menons, dans cette section, Taxe des y horizontal et l'axe des 2 perpendiculaire aux deux autres. Désignons, comme plus haut, par u, V, tv les composantes, suivant les trois axes, de la vitesse d'une molécule quelconque ; diaprés ce que nous venons de

1. Recherches expérimentales sur l'écoulement de l'eau dans les canaux découverts»

48 CHAP. 11. — MorVKMKNT DES LIQUIDES.

supposer, les composantes v et to seront nulles ou négligeables ; il en sera de même des dérivées, par rapport à la coordonnée X, de ces mêmes composantes. Toutes les dérivées par rapport au temps / sont nulles puisque le mouvement est permanent. Il en résulte que v et w' sont également nulles ou négligeables et que les équations (1) du n"* i6, page 28, deviennent

(14) '•f = {X-u') , if = Y , lj^ = Z.

^ ' p dx ^ ^ ^ p dy p d%

X, Y, Z représentent les projections, sur les trois axes, des forces extérieures agissant sur la molécule liquide. Ces forces sont la pesanteur et le frottement. Or, les trajectoires étant supposées sensiblement paralli^les à Taxe des x, Teffort de frottement^ dû à la vitesse relative ou à la différence des vitesses de deux molécules voisines, sera lui-même dirigé en sens inverse de cette vitesse relative, c'est-à-dire à très peu près parallèlement à Taxe des x. Ses projections, sur les axes des y et des z^ seront donc nulles, ou négligeables par rapport à sa projection sur l'axe des x que nous appellerons — F. Si nous désignons par I, Tinclinaison de Taxe des a: sous Thorizon, les composantes de la pesanteur suivant les trois axes seront g sin I, 0, g cos I, et les équations (14) deviendront :

- / = ûr sm I — F — m' , - / = 0, - :r = y cos I.

p dx ^ ^ p dy ^ p dz ^

Multiplions les deux dernières respectivement par ^dy et pâz^ ajoutons-les et intégrons dans Tétendue d*une même section transversale, depuis le point où cette section est percée par Taxe des x, où l'on a y =sO, :3:=0, et où il existe une pression que nous appellerons ;>o, jusqu'à un point quelconque où la pression est p ; nous aurons :

(15) p = p^ + pgzcoA.

Celte formule montre que la pression varie, dans une même section normale aux trajectoires, suivant la loi hydrostatique^

Qoo^^

§ 2. - MOUVEMENT i^EHMANENT. 49

cl que, par suite, s'il y a une surface libre, son profil en travers est horizontal.

Elle donne aussi -p = -^ , et, en portant cette valeur dans

la première des trois équations précédenles, nous obtenons :

I^» = ^8inl-F-M'.

p dx ^

Appelons e/(i> un élément superficiel quelconque, multiplions tous les termes de cette équation par diù et faisons la somme de toutes les équalions semblables écrites pour les divers élément d^ de la section totale d) ; nous aurons, en remarquant

que ^ et sin I sont des facteurs constants :

F étant Teffort de frottement pour l'unité de masse, Frfo) est Teffort sur le filet de section rfo) et sur une longueur égale à Tunilé. Les efforts sur les divers filets étant réciproques et s'exerçant d'un filet sur Taulre, la somme de leurs projections sur Taxe des x est nulle à Texception de celles des frottements qui proviennent de la paroi, dont chacun, s'exerçant sur un élément d;^ du périmètre mduillé, est proportionnel au carré de la vitesse ii^ de la molécule en ce point et peut être représenté par g^ii^d^^ en appelant B un coefficient numérique à déterminer. On a ainsi :

Ce coefficient B lui-même n'est probablement pas constant. Mais, au lieu de prendre la vitesse à la paroi e/o, on peut la

1 . La proportionnalité de l'effort de frottement au carré, «q*, de la vitesse des molécules liquides qui passent contre la paroi peut se justifier en remarquant que cet effort doit être proportionnel au nombre de ces molécules qui viennent heurter la paroi dans un temps donné, et à la vitesse m© avec laquelle elles la rencontrent. Le nombre des molécules étant lui-même propor tionnel à Uq, Teffort se trouve être proportionnel à Uq*,

SO ChAP. il — MOUVEMENT DES LIQUIDES.

lemplacer par une certaine fonction de la vitesse moyenne U, ou^plasgénéralement^siTon suppose calculée dans chaque section transversale l'intégrale f Buo'rfj^ etqu*on en divise la valeur par le périmètre mouillé y, on pourra considérer le quotient comme élanl une fonction ? (U) de la vitesse moyenne U, et écrire par conséquent :

Xdtk dix

ii'diù. On a m' = — et M = -- ,

I, , ,1* . . . du , • ttdudw (tiidta)i%

d ou, en éliminant rf/ : ?/ = w — et m ofw =^ --; — = — - — •

dx dx dx

Mais, le débit udiù d'un filet fluide étant constant tout le long

de ce filet, ce débit peut entrer sous le signe de difl'érenlia-

tion par rapport à x et Ton a

u diù = — - — , ax

et par suite

La vilesse movenne U étant définie par U = - / udiù. posons, comme plus haut,

(16) i+vi=rî|!^ ou rwWo> = (l+Y))U*a);

1. On voit combien est peu rigoureux le raisonnement qui conduit à la forme du second membre de cette équation. Il n'est pas du tout démontré que la vitesse moyenne U doive y figurer à l'exclusion de la vitesse à la paroi Uq\ ce n'est qu'une présomption ou une approximation. C'est sous cette réserve, qu il ne faut pas perdre de vue^ que l'expression du frottement prend la forme usuelle ^x-?^^)»

Qoo^^

nous aurons, en substituant :

et, en considérant que le produit Uco^qui est le débit Q du courant liquide, est constant ou indépendant de x et peut sortir du signe de différentiation, nous écrirons

/^«'rf. = U<o£[0+r,)U].

Si nous supposons, approximativement, que le coefficient Y) est aussi indépendant de x, si nous désignons alors par une seule lettre a' le coefficient (1 -f y)) ainsi supposé constant, et

U(iU . l.«i(U*)

si nous remarquons que le produit — équivaut à r--^ — nous

aurons en définitive :

et par suite Téqualion générale précédente devient, en divisant tous ses termes par Çiù , et remplaçant dx par ds, élément de la trajectoire :

Nous pourrons regarder cette équation (17) comme fondamentale dans l'étude du mouvement permanent des courants liquides tels que nous les avons décrits. 11 doit rester entendu, comme il vient d'être dit en noie, que ç(U) est une forme approximative qui gagnerait peut être en exactitude si Ton y remplaçait la vitesse moyenne par la vitesse à la paroi. ^

1. Nous renverrons à VEssai sur la théorie des eaux courantes de M. Boussinescq, pages 67 à {i2, et à un mémoire posthume de Saint- Venant : Des diverses manières de poser les équations du mouvement varié des eaux couranteSy publié dans les Annales des ponts et chaussées, 1887, 1er semestre, p. 148, pour l'établissement plus rigoureux de cette formule fondamentale.

CHAP. II. ~ MOUVKMKNÏ DES LIUUIDES.

t^. Can d'une scetlou trau«ver«ale cireulairo on dciiii-circulairc. — Dans le cas d*une section circulaire, si

ttD*

D est le diamètre du cercle, la section <«)= — et y=TCD ; le rapport -^ qui figure dans le premier terme du seco nd membre est = ~ . Il en est de même dans le cas d'une seolion demi-circulaire où Taire ci)=-*D' et le périmètre mouillé j^:=— ::D. L'inverse de ce rapport, soit -, lequel vaut,

dans ces deux cas, j , porte le nom de rat/on moyen de la

section transversale el cette dénomination s'applique à toutes les formes de section quelles qu'elles soient. La formule précédente devient alors, en y mettant II au lieu de p^:

pour les sections circulaires ou demi circulaires dediamètreD.

MB. Cas d'une «eetion reetangulaire tré» lar^e. —

Si le courant liquide a pour section transversale un rectangle très large dont le fond soit horizontal ou parallèle à la surface libre, ce qui se présente quelquefois dans certaines parties des cours d'eau naturels, la largeur de la section étant représentée par / et la profondeur par A, Taire co de la section est Ih et le périmètre mouillé y=/H-2A. Le rayon

moyen - vaut alors 7-7-^-7 et si, comme nous Tadmettons, h

est petit par rapport à /, on peut, au dénominateur, négliger

On y verra notamment comment la substitution faite plus loin, à la fonction 9> ([}), de celle />U* qui correspond au régime uniforme, équivaut à négliger

un terme en -- f — ), de sorte qu'en définitive, ce qu'il y a d'inexact dans ds\2g/

cette simplification peut ^tre corrigé par une augmentation convenable du

coefficient appelé u\

5 H. — MOUVEMENT UNIFORMK. 53

2A devant /, do sorle que le rayon moyen est approximalivement égal à la profondeur A, D*un autre côté, on peut placer Taxe des x ou des 5 à la surface libre, de manière à rendre constante et égale à la pression atmosphérique la près-

sion />o, ce qui annule — ^ ; enfin, dans les cours d'eau, Tin-

clinaison I des trajectoires sous Tborizon est toujours très faible et Ton peut sans erreur sensible remplacer le sinus de I par cet angle lui-même. L'équation générale (17) se réduira ainsi, pour le cas d*une section rectangulaire très large, avec une surface libre, à la suivante applicable approximativement aux cours d*eau naturels, de forme régulière et de profondeur h :

dans laquelle I désigne la pente superficielle.

Lorsque la largeur de la section n'est pas 1res grande par rapport à la profondeur, le rayon moyen ne peut plus êlre considéré comme égal à A et Téquation doit êlre écrite :

97. MouTement ou rén^ime nnirorme. — Lorsque le régime est uniforme, c'est-à-dire lorsque la section transversale restant la même ou étant indépendante de 5, la vitesse des molécules liquides, tout le long d'un même filet, est constante, les formules précédentes (17), (18), (19) et 20 se simplifient par la disparition du dernier terme de chacune d'elles,

Qoo^^

lequel dépend de la varialion de la vilesse. L*équation générale (17) devient ainsi pour le mouvement uniforme :

T * ^Po «^ /iT\

sinl f- = -(p(U).

pg ils X

Lorsque, de plus, la section transversale affecte Tune des deux formes que nous venons d'examiner, de lelle sorte que la position d'un point, dans chacune d'elles, est déBnie par une seule coordonnée, savoir z pour la section rectangulaire Irès large et r pour la seclion circulaire ou demi-circulaire, on peut étudier d'une manière plus complète ce qui se passe dans chaque section et déterminer, par exemple, la loi suivant laquelle varient les vitesses en fonction de ^ou de r. La vitesse Uo, à la paroi, est alors la môme en tous les points et l'effort de frottement par unité de surface de la paroi solide sur laquelle le liquide se meut et par unité de volume du liquide est exprimé par pgBuo^. Mais, comme le coefficient B peut avoir des valeurs différentes suivant la forme de la seclion, nous appellerons

pflfBt/o"

l'effort de frotlemenl par unité de surface de la paroi mouillée de la section rectangulaire très large, de profondeur A, et

çgB'îto* ce même effort dans la seclion circulaire de rciyon R.

98. Frottement intérieur des liquides. — Quant au frollement du liquide sur lui-même, nous avons dit plus haut (n° 16, en note) qu'il était proportionnel à la vitesse relative des filets fluides. Si les parois du canal sont très lisses e( si les mouvements intérieurs du fluide se réduisent à un simple glissement relatif et continu des couches les unes sur les autres, les vitesses réelles des molécules seront toujours parallèles à la direction générale de l'écoulement. Mais un pareil

§ 3. - MOUVEMENT UNIFORME. r^>

canal est irréalisable : toute paroi présente des aspérités plus ou moins apparentes, les filets fluides viennent s'y heurter et de ces chocs naissent des mouvements tourbillonnaires dont Tamplitude croit promptement avec la saillie des aspérités; ces mouvements se propagent dans toute la masse et par leur passage à intervalles plus ou moins réguliers en un point donné de la section, donnent naissance à des vitesses constamment variables en grandeur et en direction.

« L*écoulement dans le canal le plus régulier est un phéno- « mène extrêmement complexe, dans lequel le simple glissei< ment des couches liquides ne joue qu*un rôle secondaire ; la « masse du courant est traversée sans cesse par des mouve- « ments giratoires partis de la paroi, qui en mélangent toutes « les couches et viennent même s'épanouir à la surface en donce nant naissance à des ondulations. Au premier abord, tout « paraît confus et îrrégulier^ mais ce désordre n'est qu'appa- « renl, et si Ton fait, même pour un temps assez court, les « moyennes de toutes les vitesses qui se succèdent en chaque « point de la section, des lois précises se manifestent bientôt ; « ces moyennes prennent une valeur parfaitement déterminée « autour de laquelle les vitesses instantanées oscillent avec « une sorte de périodicité*. »

Ce sont ces vitesses moyennes locales qui figurent dans les

équations et dont les dérivées j-, par rapport à la profondeur

dans lecas d'une section rectangulaire, ou — par rapport au

rayon dans le cas d'une section circulaire, peuvent représenter les vitesses relatives des filets consécutifs. Mais, d'après ce qui vient d'être dit, les vitesses relatives réelles en sont bien différentes ; le coefficient par lequel ou devra multiplier ces dérivées pour exprimer le frottement intérieur sera donc beaucoup plus grand que s'il ne s'agissait que de représenter le frotle-

1. Bazin, Note sur la mesure des vitesses à t'aide du iube jaugeur. Annales des Ponts et chaussées, 1887, 1er semestre, p. 227.

Qoo^^

menl de deux couches régulières ; il devra, en oulre, tenir comple de toutes les perles de force vive dues aux inouvemenls tourbillonnaires, de toutes les forces vives ci^rrespondant aux composantes transversales ou verticales des molécules. On peut englober toutes ces résistances dans un même coefficient E de frottement intérieur, mais il faudra alors, comme la remarqué M. Boussincsq \ que ce coefficient ne reste pas constant. Il devra dépendre de Tagitation moyenne en chaque point, laquelle enlève, au mouvement translatoire, une force vive d'autant plus considérable qu'elle a plus d'intensité ; et rintensité de cette agitation dépend de la vitesse à la paroi Uo et de la grandeur relative de la seclion transversale par rapport à son périmètre mouillé, grandeur mesurée par le rayon

moyen h ou-. Car, par exemple, pour une seclion rectangu-

laire, plus la profondeur est grande, plus les mouvements tumultueux et tourbillonnaires peuvent prendre de développement et donner lieu à des vitesses transversales plus grandes. De plus, dans le cas de la section circulaire de rayon R, l'agitation, parlant de la paroi et se propageant vers le centre, doit être, en chaque point situé à une dislance r du centre, d'autant plus prononcée que ce point en est plus rapproché, puisque la même énergie due à une cause d'agitation donnée se répartit sur des couches de masses décroissantes avec leur rayon. Pour ces motifs^ le coefficient e pourra vraisemblablement s'exprimer par

E = pgAhu^y dans le cas de la section rectangulaire ;

et E = pgA' rt/o~, dans le cas de la section circulaire.

99. Expérience de M. Chouette. — Ces expressions du coefficient du frottement intérieur des liquides, sont applicables seulement lorsque la vitesse moyenne acquiert une certaine valeur, d'autant plus grande que les dimensions transversales