EsMÎ sur la théorie des eaux courantet, § llî

§ 3. — MOUVEMENT OMFORME. 57

du courant sont plus pelites. Au-dessous de cette limite, s a une valeur constante, beaucoup plus faible. Ce fait a été mis en évidence par une expérience remarquable de M. Couette, rapportée dans sa thèse de doctorat du 30 mai 1890. Un réservoir plein d'eau est percé d'un orifice fermé par un bouchon, dans lequel on a mis un tube de verre de 2 millim. 6 de diamètre et de 278 millim. de longueur. Quand le réservoir est plein jusqu'au haut, la veine qui jaillit du tube est trouble; son amplitude décroit d'une manière lente et continue en même temps que la charge Quand la charge devient inférieure à Om. 75 environ, la veine éprouve des soubresauts de plus en plus marqués qui se produisent à des intervalles de temps irréguliers et pendant lesquels elle devient lisse et se relève au-dessus de sa position habituelle. Quand la charge est d'environ 50 centimètres, la veine oscille continuellement entre deux positions qui se partagent le temps à peu près également; elle est lisse pour la plus grande amplitude, trouble pour la petite. Lorsque la charge devient inférieure à 35 centimètres environ, les soubresauts cessent etla veine est parfaitement lisse et calme. Les mêmes phénomènes se reproduisent en sens inverse quant on remplit progressivement le réservoir au lieu de le laisser se vider. De cette expérience caractéristique et d'un grand nombre d'autres décrites dans sa thèse, M. Couette conclut que le mouvement des liquides présente deux régimes différents : dans le second, le frottement est fonction de la vitesse moyenne et s'exprime assez bien par une fonction linéaire de cette vitesse ; le premier régime, où le frottement est beaucoup moindre, se produit seul pour les vi* tesses les plus faibles, le coefficient e de frottement intérieur est alors constant. Pour les vitesses intermédiaires, les deux régimes se présentent alternativement. La vitesse moyenne minima pour laquelle le second régime commence à se manifester dans les tubes est en raison inverse de leurs diamètres. Ces lois semblent une confirmation évidente de l'influence prépondérante que prend l'intensité de l'agitation tourbillon-

naire sur la valeur du coefficient de frotlemeal intérieur des liquides. Tant que la vitesse est faible et que le liquide s'écoule dans un espace restreint, cette agitation ne peut se produire^ le frottement intérieur n'a qu'une faible valeur. Dès que la vitesse dépasse une certaine limite ou bien que le liquide s'écoule dans un espace plus large, l'agitation commence, les filets liquides, au lieu de couler parallèlement, se croisent, s'entrechoquent, et la perte de force vive ou le frottement intérieur prend une plus grande importance.

Si Ton admet comme s'appHquant aux grands diamètres la dernière des lois qui viennent d'être citées, on remarquera que, dans l'expérience de M. Couelte, le second régime commençait à se manifester dès que la charge atteignait 0 m. 35 environ ou bien que la vitesse moyenne de sortie était de de 2 m. 16 environ, dans un tube deO m. 0026 de diamètre. Ce serait donc à partir de la vitesse de 0 m. 216 que le second régime se manifesterait dans un tube de Om. 026 de diamètre et, dans un tuyau de 0 m. 26 de diamètre, on ne pourrait constater le premier régime que pour des vitesses inférieures à 0 m. 02 par seconde. C'est ce qui explique pourquoi ces faits sont restés si longtemps inaperçus.

80. Antres observation». — Un fait remarquable, observé par M. de Caligny [Hydrauligue^ i^ partie, page 94), semble se rattacher à la même cause, bien qu'il n'en soit qu'une manifestation beaucoup moins apparente. Un tube vertical, ouvert aux deux bouts, est plongé verticalement dans un réservoir k niveau constant où l'eau est immobile ; on ferme, avec la main par exemple, Textrémité supérieure du tu]|p et on l'enfonce d'une certaine quantité dans le liquide, puis on ouvre brusquement l'extrémité fermée. Le niveau, à l'intérieur, d'abord abaissé par la pression de l'air emprisonné, s'élève au-dessus de celui du réservoir. M. de Caligny a observé, et c'est là ce qui est digne de remarque, que dans certaines limites la colonne d'eau partant du repos, à un certain niveau

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§ 3. — MOUVEMENT UxNIFORME. 89

au-dessous de celui du réservoir, monte cependant plus haut au-dessus de ce niveau que lorsqu'on la fait partir de plus loin et qu'elle passe, au point où elle était en repos dans le premier cas, animée déjà d'une vitesse notable qu'elle a acquise en partant de plus bas. Il y a certainement, dans les deux cas,une différence notable dans Faction du frottement du liquide sur les parois du tube *.

Il semble aussi que certaines anomalies apparentes des expériences de Darcy sur les tuyaux de petit diamètre ne peuvent s'expliquer que par la cause mise en évidence par M. Couette, et en admettant le passage d'un régime à l'autre.

M. Couette a observé d'ailleurs que les oscillations de la veine liquide, dans son expérience, étaient d'autant plus amples que le tube était plus long. Cela est facile à comprendre quand on remarque que le régime, et par suite la loi de la perte de charge par unité de longueur, sont modifiés dans le tube tout entier.

Les expressions précédentes du coefficient de frottement intérieur, données par M. Boussinesq, se trouvent ainsi justifiées pour toutes les vitesses réellement pratiques lorsqu'il s'agit des tubes ou de canaux qui ne sont pas très petits transversalement.

81. Formules pour la seetion reetaa^ulalre très Marnée et pour la seetlon eirouiaire et deml-clren* Maire. — Si, alors, nouSv considérons, dans la section rectangulaire^ une tranche de hauteur z mesurée depuis la surface libre, de longueur et de largeur égales à l'unité, dont la composante du poids, suivant la direction du mouvement, sera py^I, 'celle composante devant, puisque le mouvement est uniforme, être équilibrée par le frottement sur l'unité de surface

1. « On voit, dit M. de Caligny, après avoir cité ce fait et d'autres analo- « gués, avec quelle extrême réserve il faut accueillir les recherches purement « théoriques qui peuvent être présentées sur des phénomènes aussi peu con- « nus que ceux du froUementdes liquides. »

QiOo^z

qui est égal à — sr = — P^A.î/,Aj , nous aurons Tégalité :

(21) zl=— AAu,^ .

Multiplions par dz les deuK membres, et intégrons depuis z = hy où u = Uq, jusqu'à une valeur z quelconque, nous trouvons :

^(c't) =AAwo(m — Wo).

L'équilibre de la tranche totale, d'épaisseur A, dont la composante du poids est pghl, et qui est soumise au frottement à la paroi pyBw^', s'exprimera de même par l'équation :

hl = Bu,\ ou I=^î

substituant dans la précédente, elle devient :

On en déduit :

Da7is une section rectangulaire très large, les vitesses, aux divers points (fune même verticale, varient donc comme les ordonnées cTune parabole du second degré.

Opérons de même pour la section circulaire, nous aurons pour exprimer l'équilibre d'un cylindre liquide de rayon r et de longueur égale à l'unité, en appelant p et p' les pressions moyennes sur les deux bases de ce cylindre :

{p' — p)T^r' + pflTTrr' sin I = — pg\' ^ w^ - ^ .2xr.

Désignons, pour abréger, par J la quantité^ — + sinl,qui

est la hauteur dont s'est abaissé le niveau piézométrique entre deux sections distantes de l'unité de longueur, le premier

membre de celle équalion s'écrira siraplemenl pgr-r*J et elle deviendra, après réduclion :

(23) ri=-2\-u.-- .

Inlégrons de ^' = R à r quelconque, nous aurons :

D'aulre part l'équilibre de l'ensemble du liquide s'exprime par l'équation :

(/>'-jB)^R' + sinIpi?-R« = p^BV-27cR; ou i = -^

ce qui, en éliminant J, donne :

—^ [—j-j = A- ïi «« (« — "«) ;

ou bien :

Dam une section circulaire ou demi-circulaire^ les vitesses, aux divers pobtts d'un même rayon^ varient comme les ordonnées d'une parabole du 3^ degré.

Ces résultats ont été vérifiés expérimentalement par M. Bazin et par divers observateurs, ainsi que nous le verrons plus loin.

Connaissant la vitesse u de chaque filet, nous pouvons calculer la vitesse moyenne U de la seclion transversale ; nous avons, en effet, dans le cas de la section rectangulaire :

\]h= ( udi, et dans le cas de la seclion circulaire.

:,R«U = r u.2^rdr.

Substituons pour u respectivement les valeurs (33) et (2i),

62 CftAP. II. — MOUVEMENT DES LIQUIDES.

effecluons les intégralions indiquées, nous aurons exprimé U en fonction de u^y et si nous mettons, à la place de u^, ses valeurs en I et en J tirées des équations précédentes, il viendra

simplement, eu remplaçant aussi R par - :

U = — M + î; v/AIi pour la section rectangulaire, (25)^ 7 ,

^ /ô" 1 1 +^7/ V 7''^' P^"^ '* section circulaire.

En élevant au carré, et désignant par A et A, deux- coefficients numériques qui dépendront de A, B, ou de A' et B'et qui pourront être, comme ces quantités elles-mêmes, légèrement variables avec les dimensions de la section transversale, mais qui seront surtout fonction du plus ou moins de rugosité de la paroi, on trouvera les formules classiques :

f AI = ôU*, pour les sections rectangulaires, ^ ' ) -DJ = 6iU', pour les sections circulaires.

On remarquera d'ailleurs, par la comparaison des deux équations (25) que la valeur de ^i pour les sections circulaires doit être, toutes choses égales d'ailleurs, un peu plus petite que celle de b pour les sections rectangulaires si, comme il

parait naturel de l'admettre, le rapport - est égal au rapport —

et si B est voisin de B'.

Nous reprendrons ces formules générales lors de Télude spéciale du mouvement uniforme dans les tuyaux et dans les canaux découverts, qui fera l'objet des chapitres IV et V.