I 5. — DÉVERSOIRS
d'où nous iiroQs, en mullipliant par ^ et tenant compte de ce que n = pflf :
1 dp__ VdV p dz ^ dz '
Egalant cette valeur à la précédente, il vient simplement
vrfy v»
dz ~R ' Divisant par V et remarquant que dz = rfR, nous trouvons
^ + 1^=0 ou RrfV+VrfR = 0;
d^où
VR = V (Ro + ^ — e) = const.
Appelons Vo la vitesse du filet inférieur, Vi celle du filel supérieur, h l'épaisseur de la lame déversante mesurée dans la section contractée, cette équation donne
VoRo=V.(Ro-hA).
Mais, si nous admettons que Técoulement ait lieu à l'air libre, la pression sur les filets exlrèmes, dont les vitesses sont Vo et V„ n'est autre chose que la pression atmosphérique, et, en appliquant à ces filets Téquation de BernouUi ci-dessus, et y faisant disparaître la lettre p qui y représente Texcfes de la pression sur celle de l'atmosphère, nous avons, en remarquant que z = e pour le filet inférieur et e + A pour le filet supérieur :
Vo = V2^(ll-.), V.=V2j7(H-.-A)
Appelons, pour abréger, k le rapport des vitesses -■* , nous
aurons :
, V, R, v'29(H— A) ^/H-.-/» V. R,+A V'2«?(H-.) VU-«
JOO CJIAP. III. — CIRCONSTANCES ACCIDENTELLES DU MOUVEM. d'où nous déduirons :
ce qui nous donnera la vilcsse V d'un filet quelconque à la hauteur z :
et par suite le débit g, par unité de longueur du déversoir :
OU bien, en mettant pour Ro sa valeur en fonction de k : ^ 1
g=yj^ (H— «)« (* + ^') Log - .
Ce débit est ainsi exprimé en fonction de ky quantité qui est elle-même fonction deTépaisseur h de la lame déversante, et, d après ce qui vient d'être dit, cette épaisseur se règle de manière que le débit soit maximum. Or, la valeur de k qui rend
maximum la fonction {k + 1*) Log. - est fournie par Téquation :
(l+2*)Log[-(l+A) = 0;
qui, résolue, donne k = 0,46854... et par suite : A = 0,7805 (H— «)^
y = 0,5216 V%(H—08' Cette dernière expression peut se mettre sous la forme :
y = 0,521 6 A — 05.HV27H = mHv^2p!,
en désignant par m le coefficient :
Qoo^^
i 5. — DÉVERSOIRS. 401
Or les observalions de M. Bazin ont montré que le relèvement e de la partie inférieure de la nappe déversante était sensiblement proportionnels H et en était, en moyenne, les 0,13.
On a ainsi 1 — - =0,87. La valeur théorique de m serait
ainsi 0,5216 X (0,87) «=: 0,423. Les expériences de MM. Poncelet et Lesbros ainsi que celles de M. Bazin ont donné pour la valeur de ce coefficient des nombres variant de 0,39 à 0,44. L'accord est donc tout à fait satisfaisant ^
Dans la plupart des applications pratiques, et toutes les fois que Ton veut se contenter d'une approximation d'un dixième environ, on peut adopter pour le coefficient m la valeur moyenne 0,40 et écrire simplement la formule du débit, en
effectuant le produit m ^2^ :
(9) y = l,77Hv/H.
C'est d'après cette formule approximative simplifiée qu'a été calculée la table II à la fin du volume. On va voir, par des exemples de la valeur de m et par des indications sur les li-
1 . Toutefois, en serrant la question de plus près, M. Boussinesq a été amené à compléter les formules que Von vient d*établir et à donner, pour l'écoulement par déversoiren mince paroi, le9 formules suivantes de deuxième
approximation. En désignant par c le rapport , il a reconnu que Ton
avait
et ce coefficient ainsi rectifié s'est accordé de la façon la plus exacte el la plus remarquable avec les expériences plus précises de M. Bazin. II en a été de même de l'épaisseur h de la lame déversante qui s*est trouvée exactement de 0,668 H comme le donne cette théorie rectifiée que nous nous bornons à indiquer. L'épaisseur ^, calculée par la formule de première approximation serait :
;*=:0,78a5H(l - 0,13)-r.0,87X0,7805H = 0,679 H, au lieu de0,668 H.
102 CHAP. lu. — CIRCONSTANCES ACCIDENTELLES DU MOUVEM.
mites entre lesquelles varie ce coefficient, que les résultats de la formule (9) ou de la table II ne doivent être pris qu*à titre de première indication.
69. DéTersoIrft laelinés. — M. Bazin n'a pas seulement étudié les déversoirs ordinaires, à paroi postérieure verticale, il a aussi observé les circonstances de l'écoulement sur des déversoirs dont la paroi postérieure est inclinée vers l'aval (fig. 37) ou vers Tamonl (fig. 38), et les résultats de ces obser-
Fig. 87. Fig. 88.
valions ont confirmé la formule donnée par M. Boussinesq,
m = 0,5216(1 — — 12 , tant que Tinclinaison vers Tavai
n'atteint pas- (un de hauteur pour 2 de base) ; mais alors
Técoulement n'a plus lieu en mince paroi, la veine liquide reste en contact avec le plan incliné qui constitue la paroi d'amont
du barrage et le rapport - devient très petit. Au contraire, si la
paroi postérieure est inclinée vers l'amont comme dans la fig.
38, le rapport - augmente. La théorie de M. Boussinesq lui as-
signe la valeur limite 0,20. M. Bazin a pu faire croître ce rapport jusqu'à 0,19 en armant la crèle de ses déversoirs de plaques disposées de manière à rejeter vers l'amont les filets fluides ; récoulement est alors fort tourmenté et la nappe liquide violemment agitée. La valeur expérimentale du coefficient m concorde parfaitement, dans toute cette étendue, avec celle que donne la formule.
Voici les valeurs qui ont été trouvées pour le rapport - :
g 5. — DÉVERSOIRS.
Inolintiion ▼«» l'amont
Parul
postérieure
verticale
Inclinaison vers l'aval i
H en résalle, pour le coefficient /w, les valeurs suivantes : m=0,402 I 0,409 | 0,419 | 0,437 | 0,454 | 0,470 | 0,490 | 0,511
ftS. laflaence de la hautoar da déversoir. — Ces résultats ont été obtenus sur un déversoir faisant saillie de I^IS sur le fond du canal d'amont et avec des charges H variant de O'^IO à QH^. La formule de M. Boussinesq suppose que lapro-
fondeurCD, en amont du déversoir, (fig. 39) que M. Bazin a désignée par j9, est indéfinie, et il est intéressant de savoir commentcette dimension peut influer sur le coefficient m.
M. Bazin a fait, dans ce but, des expériences dans lesquelles la profondeur jo était inférieure à 1"13 et s'abaissait jusqu'à 0,3S et même à 0,24 ; il a constaté que le débit, toutes choses égales d'ailleurs, augmentait à mesure que cette profondeur diminuait, ou, ce qui revient au même, à mesure que lerapport
- augmentait. Ce résultat était prévu. La théorie exposée plus
haut^ dans Thypothèse d'une profondeur jo indéfinie, suppose que la vitesse des molécules fluides est nulle en amont du déversoir ; or, la hauteur de la surface libre au-dessus du fond étantH+jo, ces molécules y sont, en réalité, animées d\ine
vitesse moyenne—^ — d'autant plus grande que jo est plus
pelit. Si Ton appelle U cette vitesse moyenne, on peut en
1. Voir, pour plus de détails, les comptes-rendus des séances de T Académie des sciences du 17 juin 1889, tome CVIII, page 1233, etsurtoutles Annales des ponts et chaussées, 1890, 1er semestre, page 9.
104 CHAP. III. — CIRCONSTANCKS ACGIDENTELLKS DU MOUVEM.
Icnir compte, dans le calcul du débildu déservoir, en admettant qu'elle a pour effet d'augmenter la charge H d*une quantité
U* proportionnelle à r- et Ton peut même prévoir que l'augmen-
talion de la charge sera probablement plus grande que — , car
les filets liquides qui passent sur le déservoir sont surtout ceux
qui étaient primitivement à la partie supérieure de la section
d'amont et ils avaient une vitesse plus grande que la vitesse
moyenne U. Si Ton admet, ce qui sera justifié plus loin,
que la vitesse superficielle soit à peu près les - de la vitesse
moyenne, l'augmentation de charge correspondant à celte
vitesse serait —^ — soit environ 1,56 r- » et alofs, en dési- 2flf ^9
gnanl par a ce coefficient numérique valant à peu près 1,56, et par }a la valeur spéciale du coefficient m pour ce cas particulier, la formule du débit d'un déversoir serait
^=K^+»Sv/^H+*^)'
ou bien
OU bien encore lorsque, comme il arrive presque toujours, —-r^ est une très petite fraction :
Cette formule, en posant pour abréger
prend la forme générale donnée précédemment (10) q=inl\^2gU:
§ 5. — DÉVERSOIRS. <0o
Des expériencesfaites en Amérique par MM. Fteley et Slearus, par le général Ellis, par M. Francis et d'autres observateurs, et discutées par M. Smith dans son ouvrage déjà cité ont conduit ce dernier à proposer pour a des valeurs variant de 1,33 à 1,40; mais les nombreuses et très précises expériences de M. Bazin ^ lui ont montré que le coefficient devait avoir, en
moyenne, la valeur - =1,667. La différence est peu importante
en pratique, car— dépasse rarement quelques centièmes.
L'usage de la formule précédente suppose connue la vitesse
U et par suite le débit g, lequel au contraire est souvent ce
que Ton cherche à déterminer. Ily a donc intérêt à Téliminer,
ce que Ton peut faire en portant dansrexpression r-^ la valeur
de U en fonction de q ; cela donne
— = g' ^rn'fJLy 2g\i 29H(H+p)« Vh+P/ '
ou, en appelant K un nouveau coefficient égal à • « m*:
Les expériences de M. Bazin l'avaient conduit à adopter pour K la valeur moyenne 0,55. M. Boussincsq, par une analyse dont on trouvera le résumé aux comptes rendus des séances de l'Académie des sciences des 17 et 24 septembre 1888 a été conduit à poser, pour un déversoir vertical K=0,42'. D'autre part le coefficient (a est celui qui avait été précédemment dé-
4. Annales den ponts et chaussées, 1888, 2» trimestre, page 393.
2. Si Ton remarque que K z= - a m* et que a, d'après M, Bazin est à peu près
eu
~, comme m vaut environ 0,41, ce nouveau coefficient K doit valoir o
Qoo^^
