APPLICATION DES FORMULES

63. Temps néeessaire à la Tidangre d'un réservoir par an orittée inrérieur. — Considérons un réservoir AB (tig. 48) percé à sa partie inférieure d'un orifice CD dont nous j|B appellerons la section o). Supposons que ce réservoir ait une section horizontale constante et égale à A et qu'il soit rempli d'eau jusqu'à une hauteur h au-dessus de cet orifice. Admettons encore que la section A soit assez grande par rapport à (o Fig- *8 pour que les vitesses des molécules liqui-

Qoo^^

120 CH.VP. III. — CiHGONSTANGES ACCIDENTELLES DU MOUVEM.

(les à rinléricur du réservoir soient toujours négligeables. Lorsque la hauteur A sera devenue Zy la vitesse d'écoulement, dans cette hypothèse, sera }j2gz, le volume d'eau écoulé pendant Tunité de temps miù\j2gz^ et pendant le temps dt le produit de cette quantité par dt. Ce produit mesure ainsi le volume d'eau sorti du réservoir pendant le temps dt, et si dz désigne l'accroissement (négatif) de la hauteur z pendant le même temps, ce même volume aura pour expression — Ad^:. Egalant ces deux expressions, nous trouvons Téquation :

ou bien

— — V2y.rf/=^.

Intégrons et supposons que le temps t soit compté depuis Tépoque où Técoulemcnt a commencé, ou que z =h pour f = 0, nous obtenons

Cette équation fera connaître le temps nécessaire pour que le niveau atteigne une hauteur z quelconque au-dessus du fond. Si nous cherchons le temps T nécessaire à la vidange complète, il faut faire ^ = 0, ce qui donne :

ou bien, en appelant B le volume AÂ du réservoir:

1 = — Y 2gn = ]===. = 2 7^=7 .

mgo» ^ mw s'ïgh wim \'zgh

Cette durée totale T est ainsi exactement double de celle qui serait nécessaire si la vitesse d*écoulement restait constamment égale à ce qu'elle est au commencement, lorsque le réservoir est plein.

On trouve un résullat absolument identique lorsque Ton calcule le temps nécessaire au remplissage d'un réservoir, tel

§ 7. — APPLICATION DES FORMULES. lil

qu'an sas d'écluse, par un orifice inférieur alimenté par un bassin dans lequel le niveau se maintienl constant et que l'on cherche la durée du remplissage total, c'est-à-dire jusqu'au moment où le niveau dans le sas atteint celui du bief alimentaire.

•4. Vam où le réservoir est prismatique triongrulaire ou pyramidal. — Nous avons supposé A constant, mais le même calcul s'appliquerait, avec une approximation à peu près égale^ si A était variable en fonction de la hauteur z.

L'équation différentielle serait alors :

— m<ù\j2g . dt = A-j^'

A étant une fonction donnée de z l'intégration s'effectuerait

par quadrature et l'on aurait:

. rh dz

miù\l2g .t= \ A " .

Si, par exemple, le réservoir a la forme d'un prisme triangulaire à arêtes horizontales, dont la section horizontale supérieure, à la hauteur A, soit appelée Ao, la section A à une hauteur z quelconque sera le produit de A© par le rapport

-, ou bien A = —^ z ; on obtient :

et la durée totale T de l'écoulement jusqu'à z ^=0 serait, en remarquant qu'alors le volume B du réservoir est égal à

Ao^^.

X— ! Aqv^Â ^ ^ B .

De même, si le réservoir a la forme d'une pyramide dont le sommet soità l'orifice, de telle sorte que A = — - ,on obtient :

m CHAP. IlL — CIRCONSTANCES ACCIDENTELLES DU MQUVEM. et, en remarquant que le volume B est alors égal à -~ :

•jft. Temps néeessaire à la vidaiiire par an déversoir.

— Mais le résultat est tout autre si Ton suppose que le réservoir se vide par un déversoir. Soit toujours un réservoir AB (fig. 49) dont la section horizontale constante est égale à A, présentant, dans une de ses parois, une coupure G d'une largeur/,

formant déversoir et située à une profondeur h au-dessous du niveau pri- ^ Irtitif . Cherchons le temps nécessaire pour que ce niveau s'abaisse jusqu'à la crête C de ce déversoir, en faisant la même hypothèse que précédem- Fig. 49. ment, c'est-à-dire en admettant que

les vitesses des molécules fluides dans la partie ABGD sont toujours négligeables. Lorsque le niveau AB ne sera plus qu'à une hauteur z au-dessus de la crête, le débit du déversoir par unité de temps sera mh \J2gz^ et le volume écoulé pendant le temps dt sera mlz sj2gz dt. Egalant ce volume, comme nous l'avons fait plus haut, au produit «^ Adz qui exprime la diminution de volume du réservoir due à l'abaissement — dz du niveau de la surface libre, nous obtenons l'équation :

mh ^2gz dt =^ — Arfjz, ou bien

ml /^r- , dz ^ z\%

Intégrons encore depuis l'époque ^ = 0 où ;; = A jusqu'à une époque t quelconque, nous trouvons

g 7. — APPLICATION DES FORMULES.

Cotte équation fera connaître le temps nécessaire pour que le niveau atteigne une hauteur jS quelconque au-dessus de la crête du déversoir. Mais si nous cherchons le tetilps nécessaire à la vidange complète, il faut faire 2 = U, ce qui donne t infini. Le réservoir ne pourra donc jamais se vider entière^ ment. Ce résultat paradoxal est dû à ce que nous avons né* gligé les vitesses des molécules à Tintérieur du réservoir qui, en réalité, sont différentes de zéro et représentent une certaine force vive qui active l'écoulement et le fait se terminer plus tôt que ne Tindique la formule.

Mais il résulte en tout cas de cette formule que la durée de la vidange complète, si elle nW pas infinie, est très grande, c'est-à-dire qu'au dessous d'une certaine limite le niveau ne s'abaisse plus qu*avec une extrême lenteur. Cette propriété fait du déversoir un ouvrage précieux comme régulateur du niveau des réservoirs à alimentation variable.

On peut d'ailleurs, en mettant des chiffres dans la formule

précédente, se rendre compte de la marche progressive de la

vidange du réservoir et mettre en évidence le ralentissement

qu'elle subit. Si, en vue de faciliter la comparaison, on prend

pour unité de temps la durée nécessaire pour que le réservoir

se vide aux trois quarts, ou pour que z atteigne la valeur ^ à,

les temps nécessaires depuis l'origine de l'écoulement poui*

que le réservoir sevidede— — , etc, ou pour que z prenne

les valeurs 7- A,- A, etc., sontles suivants:

pour - = 1 / = 0

Après un temps trente fois plus long environ que celui qu'il aura fallu pour que le réservoir se vide aux trois quarts, le niveau se sera abaissé de telle manière que la hauteur sur la

124 CHAP. ni. — GIRCONSTANCKS ACCIDExNTELLES DU MOUVEM.

c»êlc du déversoir ne sera plus que la millième partie de ce qu'elle était primitivement. Elle sera donc, au bout do ce temps, réduite par exemple à trois dixièmes de millimètre, si elle était au début de 0 m. 30. Elle aura été réduite à la centième partie de sa valeur primitive au bout d'un temps égal à neuf fois celui qui est pris pour unité. On voit donc que si la durée totale de la vidange est, théoriquement, infinie, la durée pratique ou effective est parfaitement limitée.

Gtt. Cïaleal de la loufruear A douuer A au d^TemMilr.—

Pour calculer la longueur que doit avoir un déversoir comme ouvrage régulateur, il faut connaître la loi suivant laquelle est alimenté le réservoir dont il s'agit de maintenir le niveau et se donner, par des considérations locales, le maximum de hauteur que ce niveau ne doit pas dépasser. Â.lors,le débit alimentaire Q étant supposé connu en fonction du temps, Q = f(t), si Ton désigne par A comme plus haut Taire horizontale du réservoir, ou Taire de la surface libre de Teau dont le niveau est maintenu par le déversoir, /la largeur cherchée, ;; la hauteur du niveau au-dessus de la crête à une époque quelconque t ; le volume d'eau entré pendant le temps dt sera Ç^dt , le volume écoulé sera mlz ^igz dt et c'est la différence de ces deux volumes qui correspondra à la surélévation dz éprouvée par le niveau pendant le temps dt. On aura ainsi Téquation :

i^dt — mlz \/2gz dt = Adz; et la résolution du problème exigerait alors Tintëgration de cette équation différentielle linéaire du premier ordre.

Ordinairement, dans les applications, on suppose Q constant. Le déversoir est calculé pour que, si le débit alimentaire atteint une certaine valeur maximum qu'il conserve pendant un temps donné, le niveau du réservoir ne s'élève pas au-dessus d'un point déterminé. Alors Tinlégralion se réduit à une quadrature, mais elle conduit encore à une formule bien compliquée, dont Temploi ne saurait être recommandé *. On

1. Si Ton pose pour abréger y* «« — — z, la relation entre t et x osl

s 8. — RESSAUT. 123

arrive à une approximalion bien suffisante en cherchant quelle est la longueur /nécessaire pour que le déversoir débite le volume alimentaire Q lorsque le niveau atteindra la limite extrême Zi, qu'il ne lui est pas permis de dépasser. On aura ainsi :

et Ton sera certain que la hauteur de Teau au-dessus du déversoir n'atteindra jamais la limite ^i; il faudrait pour cela que le débit maximum Q se maintint pendant une durée infinie. Le niveau s'approchera d'autant plus de la limite Ziy que le débit maximum Q aura duré plus longtemps; il restera au contraire d'autant plus au-dessous que le débit maximum aura été plus éphémère.