CHAPITRE IV

§ i . Formules et tables, — §2. Problèmes divers, — § 3. Élude détaillée de

l'écoulement.

75. Formule srénérale de l^éeoulement dans les tuyaute de diamèlre constant.— L'équation générale (17) du mouvement permanent des courants liquides, que nous avons établie plus haut (n''24, page 51) :

peut s'appliquer aux tuyaux de diamètre constant D. La vitesse moyenne U est alors constante et le dernier terme est nul; le périmètre mouillé )(^=t:Q et la section transversale

Cl) =77 -T. Cette équation devient alors :

n ds D ^ ^ '

Ainsique nous l'avons déjà remarqué au n?31,page59,le niveau piézométrique, dans Tctenduerfs, s'est abaissé de ds sin I — ^

Gooi

CHAP. IV. - TUYArX DE CONDIITE.

Désignons par J rabaissement de ce niveau par unité de longueur, ou bien posons

J = sin I — - -~ ,

n di '

Téquation précédente devient

iDJ = ç(U).

Elle peuts'élablir directement.

Appelons toujours co Taire de la section transversale, y son périmètre, p la pression moyenne sur une section donnée, I Tangle formé par Taxe du tuyau avec Thorizontale. Si le mouvement est supposé uniforme, nous pouvons écrire l'équilibre d'une tranche comprise entre deux sections transversales distantes deds. Le poids de cette tranche, Ilcocb^a pour composante,suivant Taxé du tuyau, ïl<ùds sin I ; sur ses deux faces extrêmes s'exercent des pressions normales dont la différence, projetée sur le même axe, est — wrfp, et enfin sur le pourtour s'exerce un frottement qui, à raison de F par unité de surface vaut — Fyefc. L'équation d'équilibre sera ainsi :

Ilcà ds sin I — (ùdp — Fyds = 0.

Si les points de Taxe du tuyau sont rapportés à un plan horizontal inférieur, 2 étant l'ordonnée d'un point quelconque, la différence — dz dedeuxpointsconsécutifssera — dz=ds s'ml; substituons, changeons les signes et divisons par FIo), nous obtiendrons

dz-

L'effort du frottement F par unité de surface de la paroi du tuyau est une fonction de la vitesse t/o le longde la paroi ;mais comme cette vitesse est inconnue, ilest plus commode, comme nous l'avons dit,del'exprimeren fonction delà vitesse moyenne

U et d'écrire — = ? (U). Il vient ainsi

rfa ^ ^ - 2

-hf + S^dVi.

Qoo^^

Intégrons celle équation et appelons II — — la constante à

laquelle nous devrons égaler l'intégrale du premier membre, ce qui est légitime puisque U est constant, nous trouvons

2ff

.Jç(U).v.

Sous celte forme, Téquation montre que le plan de charge s'abaisse proportionnellement à la longueur s, ce qui est évident à priori puisque la seule cause de perle de charge, le frottement du liquide contre la paroi, agit proportionnellement à celte longueur 5. La ligne de charge est alors une ligne inclinée dont les ordonnées décroissent linéairement à mesure que s grandit, et si nous appelons J cet abaissement du plan de charge par unité de longueur, ce qui revient à poser :

ou bien, pour

J=f?(U), jf ^ X U et <o = -7- ,

^DJ=<p(U), Téquation différentielle (1) ci-dessus s'écrira :

^ dz i dp , j

J = — '-p = sml —

ds n ds

nds'

ce qui montre bien que J est la même quantité que celle que nous avons désignée plus haut par la même lettre.

1«. Formules pratiques. — La fonction <p (U) exprimant le frottement du liquide est inconnue et on a essayé de la représenter de bien des manières différentes. Nous allons rappeler les principales. On peut toujours, évidemment, donner à la fonction <p (U) la forme

CHAP. IV.— TIYALX DE CONUriTE.

à la condition de considérer le coefficient h^ non comme une constante, mais comme une fonction de la vitesse U. Les expériences montrent même qu'il doit être aussi, probablement, fonction du diamètre D de la conduite et peut-être de la charge J.

L'équation générale de Técoulement dans les tuyaux de diamètre constant D se met alors sous la forme

(2) |dJ = ^U\

ou, ce qui revient au même

(3) u=cv/^;

en appelant C= j=-- , un nouveau coefficient*, fonction comme bt de la vitesse U et du diamètre D.

77. Formules aneiennett. — La formule qui a été longtemps la plus usitée est en même temps Tune des plus anciennes ; c'est celle de Prony :

-DJ =a\] + bl]\

qui revient à faire

Les valeurs données par Prony pour les coefficients a ei b sont:

D'Aubuisson et Eylelwein ont proposé d'autres valeurs numériques, mais celles-ci restent les plus usitées. Dupuît, supposant 6| ou C constant a proposé la formule

/dj

U=MV^f

1. La table VIII, à la fin de ce volume, donne les valeurs correspondantes des deux coerficienls C et &i, ainsi définis*

qui est commode à cause de sa simplicité mais qui ne donne pas des résultats d'une exactitude suffisante. On la rend un peu meilleure en augmentant le coefficient numérique et en le portant à 60 et même à 63 ; mais même avec celte correction elle s'écarte encore beaucoup de la réalité.

De Saint- Venant a remplacé le terme t/Çl ou (y J» par la

puissance fractionnairefYj 12 . Le coefficient numérique doit être modifié en conséquence. La formule ainsi établie

est peu employée.

78. Défaut coitimun à ces formules. — Toutes ces formules présentent un défaut qui leur est commun et qui tient à la valeur constante attribuée aux coefficients numériques. Il n'y est pas tenu compte de l'état de rugosité des parois, et cela vient probablement en grande partie d'une idée fausse que Ton se faisait des circonstances de TécouIement.Du Buat avait commencé par mettre en doute celte influence : « En considérant, dit-il, comment l'eau prépare elle-même la surface sur laquelle elle coule, on voit que la différence des matières dont peut être composée la paroi ne doit pas en apporter de bien sensible dans la résistance. » Prony avait adopté cette opinion et en avait donné une explication : « Lorsque le fluide coule dans un tuyau ou sur un lit susceptible d'être mouillé, une lame ou couche de fluide reste adhérente à la matière qui compose ce tuyau ou dans laquelle ce lit est creusé ; cette couche peut ainsi être regardée comme la véritable paroi qui renferme la masse fluide en mouvement. » Ces observateurs n'avaient pas remarqué que, même en admettant Tcxistence de cette couche d'eau immobilisée, elle ne peut complètement efl^acer les aspérités de la paroi, et que dès lors^ la pré-

lU CHAP. IV. — TUYAUX DE CONDUITE.

sence de ces aspérités occasionne, dans le courant, des iourbillonncmenls el des nDouvemenls confus dont Taclion ne saurait être négligée.

70. Pormiiles modernes. — C'est Darcy qui, le premier, a proposé de tenir compte de Tétai des parois. En même temps qu'il proposait, pour le coefficient 6t, la forme :

R étant le rayon du tuyau qu*il a mis dans sa formule au lieu du diamètre D plus généralement adopté, il donnait les valeurs numériques des coefficienls a et ^ applicables à la fonte neuve, et il proposait de les doubler pour les rendre applicables à la fonte recouverte de dépôts.

Il écrivait alors sa formule :

RJ=Ô, U«=(a+^)U*;

mais, afin d'éviter toute confusion (le rayon R a été quelquefois pris pour le rayon moyen -), nous l'écrirons :

DJ / j3

et alors les coefficienls a et ^ ont les valeurs suivantes pour la fonte recouverte de dépôts :

Pour la fonte neuve, les valeurs de a et de ^ seraient les moitiés de celles-ci.

On voit que, dans l'hypothèse de Darcy, où le coefficient &i est fonction du rayon R, la vitesse moyenne U est égale au produit de \/RJ par une certaine fonction de R. M. Maurice Lévy a proposé, pour la fonte recouverte de dépôts, la formule :

U = 20,8 vRJ (1+3 v^),

qui revient à donner au coefficienl 6, une forme :

Elle esl peu employée.

M. Gauckler avait donné la formule plus compliquée :

avec (x=7 environ, qui n'est pas non plus passée dans la pratique.

M. Hagen avait cru reconnaître la nécessité de conserver à la formule la forme qui lui avait été donnée par Prony avec un terme du premier degré en U, et c'était le coefficient de ce terme qu'il rendait variable avec le diamètre. U écrivait, avec nos notations :

aei b étant des coefficients numériques constants.

Le premier terme de cette formule, le seul qui soit à considérer lorsque les vitesses sont petites^ est analogue à celui qui figure dans la formule établie par Poiseuille pour les tubes capillaires *, laquelle s'écrit, avec nos notations :

U = aJD»,

ce qui équivaut à

H — îlfT 4 ~D

Weisbach a donné la formule suivante

avec a HZ 0,0007336 , 6 = 0,0004828 ,

au moyen de laquelle il a dressé des tables qui sont fort usi^

tées à l'étranger^ en Angleterre et en Allemagne.

I « Mémoires des savants étrangers à V Académie des sciences, tome IX, 1846

Comme résultat d*une discussion délaillée d'un grand nombre de résultais d'expériences, M. Albert Franck* a conclu à l'adoption de la formule :

avec a := 0,000512 , 6 = 0,000385 .

Le docteur Lampe,à la suite d'expériences très précises, avait proposé :

avec £1-^0,0007555.

M. Osborne Reynolds, par la comparaison des résultats de ses expériences, a été amené à conclure que la résistance due au frottement n'était pas proportionnelle à U', mais à une puissance U* de U, variable suivant le degré de rugosité des parois. D'aprrs lui, l'exposant de cette puissance serait 1,7 pour les tuyaux très lissés, 1,722 pour les tuyaux en plomb et n'atteindrait 2 que pour ceux dont la paroi est très rugueuse.

M. le professeur Unwin a proposé la formule suivante :

a et n étant variables ; ce dernier nombre, qui figure dans les exposants de U et de D, semblerait compris entre 1,79 el 2 pour les tuyaux en fonte, ce qui serait d'accord avec les indications de M. Reynolds.

M. Edgar Thrupp * est arrivé, de son côlé, à une formule à peu près analogue, qui, bien que présentée sous une forme différente, revient à