Der Cinlingenieur

2. Cité par M. le professeur Henry Robinson, daus son ouvrage HydrauUc power and hydraulic machineryt 1887.

§ i. — FORMULES ET TABLES.

el dans laquelle n varie de 1,70 à 2. Elle devient identique à la précédente, lorsque 7i=l,86, ce qui esl sensiblement sa valeur moyenne d'après les deux auteurs.

80. Formaleii analonru^ii^ ^ cellen des canaux, dé* eon^erts. — Comme nous le verrons en parlant des canaux découverts, la plupart des formules proposées pour les tuyaux Tout été également pour ces canaux, avec des coefficients numériques différents. Inversement, certaines formules, établies par des hydrauliciens en vue de représenter les lois de Técoulement dans les canaux découverts, ont été appliquées aux tuyaux. Je citerai, en particulier, celle de MM. Gauguillet et Kulter qui sera donnée plus loin sous la forme:

u=cy/'^,

le coefficient C ayant pour valeur:

et qui peut s'appliquer aux tuyaux de fonte, en service, en y

donnant à n la valeur 0,013 ou 0,014, soit en moyenne

-=72. De même, la formule de M. Robert Manning, dont

il sera parlé au chapitre des canaux découverts et qui peut s'écrire :

U=Gva{/i^=^^'j;D'.

s'applique aussi aux mêmes tuyaux avec la valeur C == 72 ou

-=18, ce qui donne :

{/D'JT ou bien ^^^J^vt V V 4 VD

t48 CHAP. IV. — TI:YaUX DE COMilMl K.

81. Difficultés dnprolilèiue. — Ces nombreuses teutalives pour arriver à une formule pratique de récoulemenl dans les tuyaux montrent que la question est complexe et qu'elle est bien loin d*être résolue. Il semble impossible d'avoir une formule s'appliquant à tous les cas à cause de la rugosité qui a une importance considérable dont on peut se rendre compte par l'indication sommaire de Darcy laquelle consiste à doubler, pour la fonte recouverte de dépôts, des coefficients numériques déterminés pour les tuyaux en fonte neuve. Celle indication est manifestement insuffisante, car elle néglige l'importance de ces dépôts. La rugosité de la paroi des tuyaux n'est malheureusement pas susceptible d'un mesurage précis, c'est pourquoi il sera toujours très difficile d'en tenir un compte exact dans les formules. Ce que Ion doit chercher, c'est une formule, la plus simple possible, qui s'accorde assez bien avec les observations dans la limite de la pratique et pour les tuyaux de conduite ordinaires d'une rugosité moyenne.

Il semble démontré que la résistance due au frottement des liquides croit moins vite que le carré de la vitesse. Du Buat l'avait déjà constaté pour des mouvements même assez rapides. M. Gauckler * a démontré, pour les cours d'eau, que la loi du frottement proportionnel à la première puissance de la vitesse était la loi véritable dans les cours d'eau à faible pente, comme le sont à peu près toutes les rivières. Dans les écoulements un peu rapides, mais très réguliers, c'est encore celle qui s'observe et qui semble, en quelque sorte, être la loi primordiale du phénomène dégagé des perturbations produites par les tourbillonnements et Tagitation qui accompagnent toujours les grandes vitesses. La formule proposée par Prony se présente donc, au point de vue théorique, comme la plus rationnelle et celle qui avec des coefficients convenables, aurait le plus de chances de s'accorder avec les faits; du reste, M. Bechmann a remarqué * que les formules de Prony, et les

1. Annales des Ponts et Chaussées, i868, le^ semestre, p. 254, 2» Distributions d'eau, Paris 4888, no 285, p. 318*

tables qui en sont déduites, sont meilleures, pour les diamètres moyens et même pour les grands, que celles de Darcy. Et, en réalité, beaucoup d'ingénieurs continuent à se servir des tables de Prony, malgré les travaux plus récents.

La formule de Prony a l'inconvénient d'être binôme ; celle de Darcy n'est monôme qu'en apparence, puisque le coefficient 6, y est de la forme « + fj . Cela a pour effet de compliquer les calculs, de rendre difficile l'emploi des logarithmes. Aussi a-t-on vu plus haut que les ingénieurs anglais avaient surtout cherché des formules véritablement monômes, même en acceptant la complication d'exposants fractionnaires, comme St Venant l'avait déjà proposé précédemment. Sa ten-

tative pour faire adopter la formule V = a (DJ) i^ , n'a pas eu, il faut le reconnaître, le succès qu'elle méritait. Les praticiens ont-ils été effrayés par cet exposant fractionnaire, malgré les tables numériques dressées pour rendre facile l'usage de la formule, ou bien ont-ils reconnu qu'elle n'était pas plus exacte que les autres, c'est ce qu'il est difficile de savoir. Le fait est qu'elle est tombée en désuétude, ainsi que les tables qui en sont déduites. Il semblera peut-être alors bien présomptueux de renouveler cette tentative et de proposer une nouvelle formule à exposant fractionnaire: l'avenir seul permettra de juger si c'était inutile.

H9. Nouvelle formule proposée. — D'un examen détaillé d'un très grand nombre de résultats d'expériences et d'observations, il m'a paru qu'il était possible de conclure que le coefficient Aj, de la formule

pouvaitrecevoirla forme6i = r==, ce qui, en appelant a un coefficient numérique, conduit à la formule :

OU bien D * 3 = a\] *-

C'est la formule du docteur Lampe, donnée plus haut, sauf une

petite différence dans Texposant de U qui y est de 1,802 au lieu

de - = 1,750. La formule proposée concorde aussi avec celle

de M. le professeur Unwin lorsque, dans cette dernière, on fait 72 = 1.75. Le coefficient numérique a doit y recevoir la valeur moyenne a = 0,0007i0 pour les tuyaux lisses, parfaitement unis àTintérieur, ou recouverts d'une couche de coaltar ou autre enduit qui en fait disparaître les rugosités, et la valeur moyenne 0,00092 pour les tuyaux légèrement incrustés comme le sont, au bout de quelque temps de service, tous ceux qui ont à conduire des eaux un peu calcaires. Si les tuyaux sont fortement incrustés, aucune formule n'est plus applicable car il faudrait alors tenir compte de la diminution de la section transversale qui pourrait être considérable.

L'effet des incrustations est variable, naturellement, avec le diamètre des tuyaux ; il est d'autant moindre que le diamètre est plus grand. Lorsque le diamètre n'est que de 0,05 à 0,10 l'effet d'incrustations ordinaires doublerait facilement le coefficient de résistance; tandis qu'il n'augmenterait ce coefticient que de moitié pour des diamètres de 0,20 à 0,60 et d'un quart, à peine, pour des diamètres plus grands.

Les tuyaux parfaitement lisses sont un peu une exception et il est bien rare qu'ils conservent longtemps leur poli primitif; on peut voir, en comparant les observations faites par Darcy, qu'un dépôt à peine perceptible, d'une petite fraction de millimètre d'épaisseur, suffit pour changer les conditions de l'écoulement en augmentant la résistance. C'est pourquoi je propose d'adopter, dans tous les cas pratiques, la formule * :

i. Dans une matière aussi peu susceptible d'exactitude, il me paraît ioutile de donner, pour Je coerQcient numérique, plus de deux chilTres significatifs.

5 4. — FORMULES ET TABLES. loi

(4) • DJ = 0,00092 y ^.

88. TahleA numériques. — Les problèmes que l'on peut être appelé à résoudre sur les tuyaux de conduite se réduisent toujours, étant données deux des quatre quantités R ou D» rayon ou diamètre du tuyau, J perte de charge par unité de longueur, U vitesse moyenne de Teau, et Q = w R*U, débit de la conduite par unité de temps, à déterminer les deux autres.

Cela se fait au moyen de la relation Q = w R*U et de Tune des formules qui viennent d*ètre données établissant une relation empirique entre R ou D, J et U. En vue de faciliter les calculs, la plupart de ces formules ont été traduites en tables numériques dont les dispositions sont diverses.

Les tables de Prony et de St Venant sont à simple entrée et

donnent, en regard de la vitesse moyenne U, la valeur de — •.

Elles ne sont pas commodes pour les calculs, car le débit Q = lu R*U de la conduite, par seconde, qui est un élément important, n'y figure pas, et si^ par exemple, c'est ce débit qui est donné avec la perte de charge J, le diamètre D de la conduite, qui est à calculer, ne peut être trouvé que par tâtonnement.

La table de Darcy est à double entrée ; elle donne, pour une valeur de U comprise entre 0"*10 et 3'"00 et pour un diamètre D compris entre 0,01 et 1"*00, le débit Q et la charge J. La table de Mary est également à double entrée ; elle donne, pour les diamètres usuels compris entre O^OS et 0"60 et pour un débit Q compris entre 0 lit. 022 et 266 lit. 6 par seconde, la vitesse moyenne U et la charge J. Elle est déduite de la formule de Prony *.

On peut, dans la formule 7 DJ = A, U", remplacer U par sa

r Les débits qui figurent à la première colonne de la table de Mary sont des multiples ou des sous-multiples du pouce de fontainier. Un pouce de foutainier représente un débit de 0 lit. 22217 par seconde. Cette mesure n*est plus usitée.

ir>2 CWAP. IV. — TUYAUX DE CONDl'ITE.

valeur en fonclion du débit U— -— — r.» co qui donne :

irR« ttU* *

~ tt'D» * ^" Q«"~"7r»D» '

M. Bresse a dressé une table qui donne, pour une valeur du

diamètre D, comprise entre 0 m. 01 et 1 m. 20, la valeur cor-

j respondante de — et de son logarithme. Cette table est calculée

d'après la formule et les coefficients de Darcy ; un extrait en est donné dans la table III, à la fin du présent volume. La formule précédente peut se mettre sous la forme :

et M. Gay, professeur à Tuniversité de Lausanne, a donné une table où Ton trouve, pour les valeurs du rayon R comprises entre 0 m. 01 et 0 m. 50 la valeur du logarithme du coeffi-

ttR»

cient , .

\/26jR

Enfin, on peut, de la formule de Prony, -j = aU+ôU*, éliminer le diamètre D en fonclion du débit : D* = — • on trouve

jrU

M. Fourneyron a calculé une table qui pour une valeur donnée de J*Q, fournit immédiatement la valeur correspondante deU.

Ces dernières tables sont, croyons-nous, peu employées.

Toutes ces tables ne sont d*ailleurs que la traduction des formules de Prony ou de Darcy. Celles qui portent les numéros V, VI et Vn à la fin de ce volume, ont été au contraire calculées d'après la formule (4) proposée à la page l.Sl. Elles permettent de résoudre immédiatement tous les problèmes relatifs aux conduites.

s 1. — FORMULES ET TABLES. 153

84. Usages de ee» tables. — Exemples : T Etant donnés le diamètre D d'une conduite et la perte de charge par mètre J, calculer son débit Q.

La formule :

devient, en y mettant pour U sa valeur U = — ,

d'où Ton tire :

— =ja y [^j — •

La table Y donne, pour toutes les valeurs de D comprises

entre 0 m. 01 et 1 m. 40, la valeur de a \/ (^\ r= qui y est

désignée, pour abréger^ parla lettre y. On divisera donc, par la perle de charge donnée J, le nombre de cette table correspondant au diamètre donné D et Ton cherchera, dans la table

VI qui donne les valeurs de 4^ = j le nombre qui se rapproche le plus du produit obtenu ; on trouvera, en regard, le débit cherché Q.

Exemple : Quel est le débit d'une conduite de 0 m, 35 de diamètre^ sous une charge de 0 m. 00013 par mètre.

Le nombre y de la table V, correspondant au diamètre

0,35, est 0,205. La charge J étant 0,00013, le quotient ^

est 1577.

La table VI donne en regard du débit Q =r 0 m. 015 le nombre 1560, et en regard du débit Q = 0,014, le nombre 1755. Le débit cherché sera donc, à très peu près de 15 litres par seconde.

2** Etant donnés le débit Q et la charge J, calculer le diamètre D.

On multipliera la charge donnée J par la valeur de ^ ins-

crile dans la table VI, en face du débit donné Q et Ton aura ainsi la valeur de y; il suffira de chercher, dans la lable V, la valeur de D correspondanle.

Exemple: Quel diamdtre faudra t- il donner à tme conduite pottr quelle puisse débiter cent dix litres par seconde sous une charge de 0 m. 00021 par mdtre.

Le nombre ^ de la table VI correspondant au débit de HO

litres est 48. Le produit de ce nombre par la charge donnée 0,00021 est 0,01008, lequel est compris entre ceux qui sont, dans la table V, en regard des diamètres 0,65 et 0,70. Une interpolation, faite à la manière ordinaire, conduirait à la valeur D — 0,662 ; mais il sera en général suffisant et préférable, en pratique, d'adopter le chiffre le plus élevé 0,70.

3' Etant donnés le débit Q et le diamètre D, calculer laperte de charge par mètre J.

On prendra, dans la table VI le nombre correspondant au débit donné Q ; dans la table V celui qui correspond au diamètre

donné D; le premier est j , le second est y, il suffira donc

de diviser le second par le premier pour avoir J.

Exemple : Une conduite de 0 m. M de diamètre débite 55 litres par seconde : qtielle est la perte de charge par mètre.

La lable VI donne, pour Q = 0,053, ^ :=:: 160 ; la table VI,

pour D — 0,40, Y = 0.107. En divisant ce nombre par le précédent, on trouve J =: 0,000669.

L'emploi de ces tables, bien que très simple, exige encore un petit calcul, multiplication ou division; pour l'éviter, on peut se servir de la table VII où l'on trouvera les résultats de ce calcul pour un certain nombre de diamètres usuels et pour

g 4. — FORMULES ET TABLES. 455

des débits variables. Celle table, à double entrée, fait connat- Ire la perte de charge J pour un débit el un diamètre donnés, ou inversemenl. L'usage de celte table n'a besoin d'aucune explication.

Les tables IV el IV ^'^ donnent les débits en fonclion de la vitesse ou inversement, dans les conduites ayant les diamètres les plus usuels. Ces tables ne sont que la traduction en chiffres de Tune des formules :

Q = ~-V ou U=4;.Q

Elles sont limitées, pour chaque série de diamètres aux neuf chiffres significatifs; elles permettent d'obtenir tous les débits correspondant à toutes les vitesses, ou inversement, par un simple déplacement de la virgule el une addition.

Exemple: Qijtelle est la vitesse moyenne correspondant à un débit de 233 litres par seconde, dans une conduite de 0 m. 80 de diamètre.

La table IV**'* donne, dans une conduite de 0, 80:

pour un débit de 200 litres une vitesse de 0", 39789

— 50 litres — 0",099i7

— 3 litres — 0»,00S97

Et par suite pour un débit de 253 litres une vitesse de 0", 50333

Quel est le débit correspondant à une vitesse de 0 m. 68 dans

une conduite rfe 0 m. 25.

La table IV domie, pour la conduite de 0,25 :

Débit correspondant à une vitesse de 0,60 29''*.45

Débit correspondant à une vitesse de 0,68 33"^38