Emploi ûem fformales et usa^e des table
Je vais montrer, par quelques exemples numériques, comment on peut employer les formules qui ont été données plus haut en se servant des tables numériques placées à la fin du volume.
1° Calculer le débit d'un canal de section transversale et de pente données.
Ce problème, le plus simple de tous, se résout immédiatement de la manière suivante. La section transversale est généralement en forme de trapèze et on en définit la forme en donnant l'inclinaison des talus m, la largeur au plafond / et la profondeur d'eau h. On peut donc calculer immédiatement le
rapport -. En cherchant ce rapport danç la première colonne
de la table XII, on trouvera, sur la ligne correspondante et dans la colonne applicable à la valeur donnée de m les deux
valeurs — ei - qui feront connaître immédiatement co et R.
Si Ton ne veut pas se servir de cette table on pourra calculer u) et R par leurs expressions :
(0= A (/ + mA) , R =
Ces deux quantités étant ainsi obtenues, on cherchera, soit dans la lable IX de M. Bazin, soit dans celle XI de Kutter, soit dans celle X de Robert Manning, la valeur du coefficient C correspondant à la nalure des parois du Canal, à sa pente donnée et à son rayon moyen R. Alors, la vitesse moyenne U se dé-
g 3. -^ APPLICATIONS. 223
duira de la formule U=C v'HÎ dans laquelle tout est connu, et le débit cherché Q sera :
Q r= wU = C(D v/RL
Exemple, — Calculer le débit d'un canal dont les parois, en terre, sont inclinées à deux de base pour un de hauteur dont la largeur au plafond est de deux mètres, dans lequel la profondeur est de quatre-vingt centimètres et la pente de vingt centimètres par kilomètre.
On a alors :
/=2»,00, A = 0»,80, m = 2, ^-=2.50, 1=0,0002. La table XII donne, pour - = 2.50 et pour m == 2 :
D'où, en mettant pour h sa valeur 0,80 et pour li\ QM' ^ 0,64 :
Pour R = 0,52 et des parois en Icrre, la table de M. Bazin (table IX} donne C = 32 environ et celle de M. Manning (table X) : C == 36. Pour les mêmes données et la pente de 0,0002, la table de Kulter (lable n' XI) donne C = 34. On peut prendre, suivant que Ton veut appliquer Tune ou l'autre formule, Tun de ces trois chiffres ; ou bien un chiffre intermédiaire, comme C — 33.
Alors le débit cherché Q sera :
Q = Co) y/RÎ = 33 X 2.88 X V0,52 X 0,0002 == 0»,96,
soit de 960 litres par seconde. La vitesse moyenne, qu'il peut être intéressant de connaître aussi, sera :
U = C vRI = 33 X V 0)52 x 0,0002 = 0»,33. On peut en déduire approximativeaienl la vitesse maxi«
iU CHAl>. V. — CANAUX DÉCOUVERTS.
mum à la surface et la vitesse au fond, d*aprèslcs indications qui ont été développées plus haut. Le canal en question élant de dimensions restreintes, la vitesse maximum Y devrait,
d'après M, Bazin, être prise égale à U + 14 V'RÏ = 0,33 +
0,14 = 0™,47, ce qui donnerait, pour le rapport- le rapport
peu vraisemblable : -, = 1.45. Le rapport simple admis sou-
vent comme approximation : - — 1.2S, donnerait V = 0"*,41.
Quant a la vitesse w au fond, elle serait sans doute voisine de 0,75U c'est-à-dire de 0",25.
2* Etant données la section transversale d'un canal et sa pente i calculer la prof ondet^r d'eau correspondant à un débit don7ié.
Ce problème est un peu plus compliqué que le précédent et si l'on tient compte, comme on doit le faire, de la variation du coefficient 6 ou C avec le rayon moyen, il ne peut se résoudre que par tâtonnements ou approximations successives. Pour le mettre en équation, adoptons la forme du coefficient h proposée par M. Bazin, 6 = a + -, nous aurons, en mettant pour
co et R leurs valeurs dans la formule RI = 611* = 6 —, Téquation :
/ + 2h >/r+ir* V ^ h (l + mk) ) h^ (l+mhf
dans laquelle il n'entre qu'une seule inconnue A, mais qui est de degré supérieur et ne peut être résolue autrement que par approximations successives. Il sera évidemment plus simple de se servir des tables et de conserver les trois inconnues h, <«> et R dont les deux dernières dépendent de A. La manière d'opérer se montrera clairement par un exemple numérique.
Exemple. — Une rigole d'un mètre de largeur au plafond»
§ 3. - APPLICATIOiNS. 223
avec dos talus en terre à trois de base pour deux de tiautcur et une penle de 0",13 par kilomètre doit débiter 300 litres par seconde, quelle devra y être la profondeur de Teau?
Eu égard au chiffre peu élevé du débit, on voit tout de suite que la profondeur n'atteindra sans doute pas et en tout cas ne dépassera pas beaucoup un mètre ; le rayon moyen sera donc probablement inférieur à 1™. Alors le coefficient C sera inférieur à 40 et la vitesse moyenne U =:= C \'Rl inférieure à 0'",30 ; ce chiffre conduirait, pour la section transversale w à
la valeur <»>=-= —— = 1 mètre carre laquelle est proba-
blement trop faible.
La profondeur h — 0",80, qui correspond au rapport
j^ = 1,25 donne, d'après la table XII, w = 2,75A* = 2,75 X
0,64 — I™*ï.76 valeur qui sera sans doute trop forte, mais prenons-la néanmoins comme première approximation. La même table donne R— 0,56A=:0,56xO,8 = 0,45. A ce rayon moyen et aux parois en terre correspond une valeur du coefficient C qui est, d'après la table de Bazin, voisine de 30 et d'après celle de Kutter, de 32. Prenons la valeur moyenne 31. Alors,
la formule - = Cv/RT donnera :
C vTTl 31 v'0,45 X 0,00015
valeur très différente de celle 1,76, admise plus haut. Celle-cî est donc trop ^rte et la valeur de <o devra être prise intermédiaire entre 1,17 et 1,76, mais bien plus près de la première.
Prenons alors <>> = 1™^,30 ce qui correspond à /i = 0°*,66 environ, ou ^ = 1,80. On a alors R ^ 0,59/i == 0",39. La valeur
du. coefficient C n'est plus guère que de 30 d'après Kutter et 29 d'après Bazin ; soit C = 29. Alors :
Ci) = — 1= = ■ . = 1,30,
G vRI 29 v0,39 X 0,00015
226 GHAP. V. - CANAUX DÉCOUVERTS.
ce qui vérifie celle seconde hypothèse. La profondeur cherchée sera donc 0™,66.
3** Etant donnés le débit d'un cmial et la vitesse moyenne de teau, déterminer les dimensions de la section transversale^ ainsi que la pente du canal.
Ce problème est celui qui se pose loi^qu'il s*agit d'ouvrir un canal pour une deslinalion donnée. La vitesse moyenne est limitée par la condition de ne pas produire d afTouillement, ni de dépôls, et le débit correspond à Tulilisation qui doit être faite des eaux. Il s*agit de calculer les dimensions que Ton donnera au profil transversal. L'inclinaison des talus de la eunette doit être considérée également comme donnée, elle est une conséquence de la nature des terrains dans lesquels doit être ouvert le canal.
Alors, si aucune autre considération ne s'y oppose, on devra adopter, pour le profil, celui qui a le plus petit périmètre ou le plus grand rayon moyen, d'après ce qui a été dît au n^m. Le débit Q et la vitesse moyenne U étant donnés,
Taire <o de la section transversale, ^ = rji sera connue. La
profondeur h se calculera par la formule (14) :
V 2vl-hn
i l-|-w*— m et la largeur au plafond sera :
On déterminera la pente I par l'équation U = C yRl, que
l'on mettra sous la forme I= — et dans laquelle on fera R = -«
Exemple. — Un canal doit porter 800 litres avec une vitesse moyenne de 0'",50 par seconde dans des terrains oîi les talus peuvent être inclinés à 45 degrés. Quelles doivent être sa largeur au plafond, sa profondeur et sa pente?
Nous avons Q = 0,800, U == 0,50, donc ^ = q = i"'S6.
A =i/-i^=0",935;/ = 2/i(vT— 1)==0'",77.
La valeur 0,47 de R correspond, dans les parois assez rugueuses ou peu unies, comme celles que Ton peut maintenir sous des inclinaisons de 45 degrés, à une valeur de C=:= 53 environ d'après Bazin. Celte valeur C =53 donne, d'après la table
VlII,fr= 0,00036. Alors 1= 5i222^^^ =0,000i9soil0«,i9
par kilomètre. La table de Kutter,pour celte valeur de I, donnerait C=51, d'où 6 = 0,00039, ce qui correspondrait à 1 1=0,00021. On pourra prendre la valeur moyenne 1 = 0,0002 ou 0°*,20 par kilomètre.
Si, par suite de circonstances spéciales, on ne peut adopter le profil transversal qui donne le plus grand rayon moyen, ces circonstances se traduisent par une relation entre la profondeur et la largeur du canal au plafond. Et celte relation, avec Féquation a> = A (/+ mh) permet de calculer ces deux dimensions, puisque la est supposé connu.
Par exemple, dans le problème numérique précédent, supposons que la largeur au plafond ne puisse, pour des raisons spéciales, descendre au-dessous de2"',00. La valeur /= 2"*,00, jointe à celle co =1,60 donne pour hy d'après Téquation
1 ,60 = A (2 -h h) la valeur h = 0,61 . Il en résulte 7 = 3,3 et,
d'après la table XII, R = 0,70A = 0,43. La valeur correspondante de C, d'après Bazin, pour des parois peu unies, est C = 51 environ ce qui donne 6 = 0,00039 et par suite
I = ^'^^^l X Q>50^ ^ 0,00020. La lable de Kutter donnerait
C=49, ou 6 = 0,00042, et par suite I = «i°20i|XM = 0,00024.
clifférence des rdsuUals donnés par les deux tables est ici grande. On adoptera l'un ou Taulre, ou la moyenne des Si le chiffre que Ton aura choisi est trop fort, la vitesse me sera un peu supérieure à la donnée 0,50 et la profon- ;era un peu plus faible que celle que Ton a calculée. Le ire se produira si Ton adopte un chiffre trop faible pour le; mais les différences seront, en général, sans imporm point de vue pratique.
tant donnés le débit diin canal et sa pente, trouver les nom de son profil transversal et la vitesse moyenne de
problème, comme le précédent, se pose lorsque Ton ivrir un canal de dérivation. 11 doit également être conà deux points de vue suivant que Ton peut adopter e profil transversal la section la plus économique, ou uo des circonstances spéciales s'y opposent, sque Ton peut adopter la section à ray on moyen maxion a la relation :
inte à
t de calculer les deux inconnues co et R, en adoptant 5 coefficient b une valeur provisoire que l'on rectifiera me nouvelle approximation d'après la valeur trouvée [, On voit que, pour une valeur donnée de 6, Féquation idre sera du cinquième degré en o ou en R et pourra §solue par Texlraction d'une racine cinquième, c'estpar logarithmes.
nple, — Un canal doit porter dix mètres cubes d*eau îondc, avec une pente de dix centimètres par kilomètre, oit être son profil transversal dans la terre avec des talinés à deux de base pour un de hauteur ?
Qoo^^
On al = 0,0001,0:= 10, m = 2.
On en déduit : 2 y^i + m' — m = 2v^ — 2 = 2,47 et par suite les équations à résoudre seront, en prenant pour b la valeur provisoire 0,0004 ;
soit 0) = 9,88R*, oj'R = 400 ; ou bien, en dliminanl w,
