MOBILITÉ DU UT

« premier abaissement do l'éliage. Ce travail se continuant à (( chaque crue suivante, avec une intensité décroissante, et « jusqu'à ce qu'un nouvel équilibre se soit établi, Tétiago « continue lui-même à s'abaisser pendant un certain nombre « d'années, et s'arrête à un niveau déterminé, inférieur à son

« niveau primitif Entre la limite du département et Por-

« tels, Tétiage s'est abaissé, en moins de quarante ans, de (( 1"*,30 en moyenne. A Baric et h Caudrot, les eaux d*étiage « ont été, en 1870, à 1", 85 en contrebas du niveau auquel elles « coulaient en 1832. »

Cet abaissement de l'étiage est dû évidemment à un abaissement du fond du lit, occasionné par une réduction de la pente. En aval de la partie endiguée, jusqu'à Bordeaux, le fond s'est exhaussé. Il s'est donc passé quelque chose de comparable à ce que M. Dausse a constaté sur l'Arve et que représente la figure 75 ci-dessus.

La loi dont il s'agit n'avait pas échappé à Tesprit sagace des ingénieurs italiens, et déjà, en 1697, Guglielmini (cité par Dausse) avait, dans son grand traité Délia natiira de fiumi, énoncé et développé les propositions suivantes :

« Né fiumi ^ quanto maggiore sarà la forza deW acqiia^ tanto (t le declività degli alvei saranno minori;

c Quanto maggiore sarà la tenacita del terreno che compone « ilfondo del fiume^ tanto esso saràpîù déclive ;

« E quanto maggiore sarà Vacqua ordinaria del fiume, sarà « ancora tanto meno déclive ïalveo, »

Elle parait pourtant avoir été méconnue depuis, car Dausse, dans ses Études d'hydraulique pratique^ produit, pour rétablir, des arguments et des exemples si nombreux et si variés, qu'il semble aller au devant des objections, ce qu'il n'aurait certainement pas fait si elle avait été généralement admise.

On peut s'expliquer, dans une certaine mesure, les motifâ qui auraient pu la faire oublier.

Qoo^^

tSfl. Comparaiafon a^ee l'effet d'an res«errenieiit dans an eanal à fond fixe. — Si l*on rapproche le résultat qui vient d'être trouvé, comme conséquence nécessaire de tout travail de resserrement du lit d'un cours d'eau à fond mobile, de celui que nous avons calculé plus haut (n"" 129), comme conséquence d'un resserrement d'un canal découvert supposé de forme invariable, on reconnaît qu'ils sont opposés. Dans le cas d'un canal découvert à fond fixe, un étranglement continu sur une certaine longueur produit un relèvement du niveau en amont, une augmentation de la pente superficielle dans l'étendue de la partie rétrécie et un abaissement du niveau vers l'aval. Au contraire, dans une rivière à fond mobile, un endiguement continu diminuant la largeur de la section produit vers l'amont un abaissement du fond du lit qui a pour conséquence un abaissement un peu moindre de la surface libre. Vers l'aval, on constate un exhaussement du fond et de la surface libre et une diminution de la pente du fond dans la partie endiguée. Cette comparaison suffit à montrer avec quelle réserve il faut appliquer, aux. cours d'eau naturels, les formules qui ont été trouvées dans le chapitre précédent pour les canaux découverts. La mobilité du fond, les variations de forme qu'il éprouve peuvent renverser complètement les résultats, et en tout cas les fausser au point de leur ôter toute probabilité.

t40. Entrainement de» niatérianiK. da lit. — S'il n'est pas possible d'analyser exactement les efforts qui produisent l'entraînement des matériaux du fond, on peut cependant se rendre un compte sommaire des causes de leur mouvement,

ce qui nous amènera à parler du cas de Téquilibre mobile du lit ou de la marche des alluvions.

Tout le monde sait que les fluides en mouvement peuvent tenir en suspension et entraîner des matières solides beaucoup plus denses qu'eux-mêmes. Ces deux effets, peu différents, sont dus à la même cause, la vitesse relative du fluide et du solide. Nous consacrerons plus loin un dernier chapitre (chap. X) à l'étude de Taclion mutuelle des liquides et des solides en mouvement relatif dans les cas les plus simples, les seuls où lanaiyse puisse donner quelques résultais. Nous pouvons admettre ici, comme étant à peu près démontré, que cette action est proportionnelle au carré de la composante normale de la vitesse relative. Cela étant, un corps solide en repos, frappé par un fluide en mouvement, sera poussé, dans le sens du mouvement^ parmi effort qui pourra être supérieur aux résistances qui s'opposent à son déplacement, et alors il sera entraîné. Par exemple, un corps sphérique A (fig. 76) appuyé en B, au-dessous de son centre, sur un autre corps en saillie, étant soumis, de l'autre côté, à l'action d'un fluide en mouve- Fig. 76 ment dont la résultante F passera par son

centre, sera soulevé et entraîné si le moment de la force F par rapport au point B est supérieur au moment, par rapport au même point, du poids du corps évalué dans le fluide, c'est-à-dire diminué de celui du fluide déplacé. Mais l'entraînement n^est pas le seul phénomène que l'on observe, le corps solide peut être soulevé comme s'il devenait plus léger que le fluide et y être tenu en suspension à une cer* taine hauteur. Cela ne peut se produire (abstraction faite du cas où la vitesse du fluide aurait une composante verticale dirigée de bas en haut) que si les divers filets fluides qui rencontrent le même solide sont animés de vitesses différentes et croissant de bas en haut. Dans cette hypothèse, on arrive à se rendre un compte suffisamment approché du phénomène de suspension.

li concerne Tentrainement, il suffit, pour

le l'cfiFort dû à la vilesse moyenne du fluide

poids du corps. Soit un corps sphérique

i poids spécifique IIi. La section transver-

D* fluide est ^ t et Teffort correspondant à

le U est, comme nous le verrons plus loin,

icient numérique k ayant à peu près, pour

, la valeur 0,53, et II représentant le poids . D'autre part, le poids du solide consi-

e fluide, est réduit à - ^D' (II, — II), et,

puisse commencer à être entraîné, il sufe ces deux forces soit égal ou supérieur à ie levier par rapport aux points d'appui, Bsquels il peut pivoter.

)port des bras de levier qui dépendra de lent des matériaux, l'équation exprimant git et déterminant la vitesse à laquelle îment, sera :

sphérique, 1 équation sera la même, à la

D* , au lieu de ^^ —, la superficie A de la sec-

losée au courant, et au lieu de ^ ttD*, le

et de donner une valeur différente aux le devient ainsi :

e corps sphérique :

L'-?? n/ÎL« i\

Qoo^^

et pour un corps de forme quelconque :

Le rapport - da volume du corps à la surface de sa section

transversale est très variable suivant la forme des matériaux. Ë^al aux deux tiers du diamètre lorsqu'ils sont sphériques, il est plus grand que le diamètre pour des formes très anguleuses ; on peut le prendre, en moyenne, égal au diamètre pour les formes ordinaires des pierres cassées, non arrondies.

Quant au rapport -, il ne peut évidemment êlre donné que

par l'observation. Le coefficient ky qui vaut un peu plus de 0,50 lorsque la surface du corps est sphérique, croît et s'approche de l'unité à mesure que l'irrégularilé de la surface augmente ; le nombre 6, rapport du bras de levier de la force d'entratnement à celui du poids, doit être généralement inférieur à l'unité ; il est d'autant moindre que les matériaux sont plus complètement enchevêtrés les uns dans les autres, et il dépend probablement aussi de la grosseur des matériaux. M. Sainjon (cité par M. Partiot)^, par la discussion de quelques faits d'observation, a cru pouvoir adopler, en moyenne, k = ^ et 6 = 0,80. Avec ces chiffres, la formule précédente qui, pour

le rapport — = 2,50 correspondant à des matériaux pesant

2,500 kilog. par mètre cube, revient à peu près à U'=.25D, lui a donné les valeurs suivantes des vitesses capables d'entraîner les graviers suivant leurs grosseurs :

Grosseur des graviers 0,0025 0,01 0,04 0,10 0,17 0,38 0,67 Vitesses au fond ... . 0,25 0,60 1,00 1,50 2,00 3,00 4,00

Ces résultats sont d'accord avec l'observation. Les seules expériences que l'on ait à ce sujet sont celles de Du Buat et

1. Mémoires sur les sables de la Loire^ par M. Parttol. Annales des ponts et chaussées, i87i, 1er semestre, pages 259 et suivantes.

de Telford. Du Buat a déterminé les vitesaes-1 imites audessous desquelles les matières plongées cessent d'être entraînées et il a constaté les vitesses suivantes :

Indicalion des matières Vitesses

Argile brune propre à la poterie .... 0^,081

Sable déposé par cette argile 0 ,(62

Gros sable jaune anguleux 0 ,216

/ Gros comme un grain danis , . 0 ,108

Graviers 1 . a jon

, , \ — un pois .... 0 ,189

^ . ) — une petite fève de Seine f . '' a oo»

\ marais 0 ,325

Galets de mer arrondis, d'un pouce au plus. 0 ,650

Pierre à fusil anguleuse, du volume d'un

œuf de poule 0 ,975

Telford a observé au contraire les vitesses nécessaires pour corroder le fond d'un cours d'eau, et les résultats sont les suivants :

Nature du Ht Vitesses

— au fond

Terre détrempée 0™,076

Argile tendre 0 ,152

Sable 0 ,305

Gravier 0 ,609

Cailloux 0 ,914

Pierres cassées 1 ,220

Cailloux agglomérés, schiste tondre . . . 1,520

Rocher en couches 1 ,830

Rocher dur 3 ,050

La grosseur des matériaux ni leur forme ne sont aussi bien définies dans ces dernières expériences que dans celtes de Du Buat ; et bien qu'il y ait, entre les chiffres des deux tableaux, une assez grande analogie, on peut remarquer que ceux qui sont donnés par Telford paraissent un peu plus élevés que ceux de Du Buat : par exemple, argile, 0°',152 au lieu de

g 2. -. ENTRAINEMENT ET SUSPENSION. 295

0,081; sable, 0,30S au lieu de 0,162 ou de 0,216; gravier, 0,609 au lieu de 0,325 au plus ; celle diiïérence tient sans doute à ce que le fait observé n*a pas élé le même, Du Buat a mesuré les vitesses au-dessous desquelles des matières, mises en suspension dans Teau, cessent d'èlre entraînées, et il devait trouver, loules choses égales, des chiffres inférieurs à ceuK de Telford qui observait les vitesses capables d'affouil- 1er un fond de nature donnée. Les matériaux observés par Du Buat n'étaient pas appuyés les uns sur les autres, ou bien ne Tétaient que dans des conditions moins complètes que s'ils avaient préalablement formé le lit d'un cours d'eau, ayant subi Faction de vitesses inférieures à celles d'entraînement mais capables néanmoins d'enchevêtrer les sables et les graviers.

L'état d'enchevêtrement des matériaux doit en effet avoir une grande influence sur la vitesse à laquelle ils peuvent résister avant d'être entraînés. Si Ton fait passer un courant d'eau, même assez rapide, sur du sable sec, le premier efifet de l'arrivée de l'eau est de tasser le sable, d'en presser les grains les uns contre les autres et de lui donner une résistance bien supérieure à celle qu'il possédait auparavant. Ce fait est bien connu de tous ceux qui ont fréquenté des plages de sable. Quelque chose d'analogue se passe pour les graviers, galets et matériaux d'une grosseur quelconque, seulement l'effet est beaucoup plus lent. Un tas de graviers ou de galets fraîche, ment remués sera entraîné d'abord par un courant d'une vitesse donnée ; peu à peu, les matériaux qui le composent se tasseront, s'inséreront les uns entre les autres et constitueront un fond notablement plus résistant qui ne pourra être attaqué que par un courant beaucoup plus rapide.

Dans des expériences faites dans l'isthme de Panama, du 4 au 12 juillet 1890, il a été constaté que dans une conduite demi-circulaire de 0*50 de diamètre, en pente do 0,17, un courant d'eau de 0,23 de profondeur au milieu ayant une vitesse moyenne de 2"40 environ par seconde, ou un débit de 210

3i9« GHAP. VI. — COURS D'EAU NATURELS.

litres, cnlratnait, avec une vitesse supérieure à deux mètres, une pierre de 0,20 X 0,10X0,10. Mais lorsqu'on mettait dans ce même courant un certain nombre de pierres de dimensions inférieures h colles de la précédente, et même de la pierre cassée, ces pierres se coinçaient et n'étaient pas entraînées*.

Tous ces phénomènes sont encore peu connus dans leurs détails, et les effets sont très différents, d'une rivière à une autre, suivant la forme et la densité des matériaux. Mais Tentraînement du fond se produit toujours à partir d'une certaine vitesse et c'est dans cet effet et dans la modification correspondante de la pente du lit qu'il faut chercher l'explication de ce fait que, nulle part, la vitesse des grands cours d'eau ne dépasse guère cinq à six mètres par seconde. Aucun fond ne résiste à des vitesses supérieures et s'il s'en produit exception- ' nellement quelque part, par suite d'un accident, rupture de digue ou autre, cette grande vitesse a pour conséquence presque immédiate une diminution de la pente du cours d'eau, ce • qui modère la vitesse.

141. lila(ière« tenues en «uspension. — Lorsque les matériaux entraînés par un courant sont assez légers et d'un volume assez petit, ils prennent la vitesse du courant et se mettent en suspension. Le phénomène de la suspension, qui est souvent la conséquence de Tentraînemenl, en diffère en ce que celui-ci est produit par le choc du courant contre des solides qui vont moins vite que lui, tandis que les matières en suspension ont à très peu près la même vitesse que le liquide luimême. Elles sont, dans une certaine mesure, assimilables aux corps flottants à la surface qui participent h la vitesse du courant, qui sont, en fait, entraînés par lui, mais dans des conditions différentes de ceux qui roulent sur le fond, pour lesquels le courant doit vaincre avant de les mettre en mouvement une résistance extérieure spéciale qui n'existe pas dans les corps flottants.

1. Rapport de mission en Colombie, pnr M. Lucien N. B. Wyse, 1891.

§ 2. — ExNTRAINEMENT ET SUSPENSION. 297

t4t. ViteMe d'an flotteur sur un courant- — Beaucoup d'ingénieurs, en particulier Du Buat et Dupuit, ont remarqué qu'un corps flottant à la surface d'un courant prenait une vitesse plus grande que celle du liquide ; l'explication qu'ils ont donnée de ce fait peut se résumer dans les termes suivants employés par Dupuit :

« Considérons un corps flottant sur la surface d'un cours i( d^eau... Il est clair qu'en vertu de la composante Ptsuivant « l'inclinaison du courant, ce solide tend à prendre une vi- « tesse accélérée mais qui devient uniforme par suite de la (( résistance que lui oppose le liquide. Cette vitesse sera plus « grande que la vitesse moyenne des filets qui entourent le <( flotteur, car il faudra que le flotteur trouve en avant une c résistance capable de faire équilibre à la pression des filets « qui vont plus vite que lui et à la quantité Pi. »

Sous cette forme, l'explication estinsuffisante, car si le poids F du corps flottant est le même que celui du liquide dont il tient la place, la pesanteur ne lui imprime pas une accélération plus grande. Aussi le fait a-t-il été nié par un certain nombre d'ingénieurs qui le considèrent comme une illusion. M.Bérardamème renducompte S d'expériences danslesquelles il a constaté qu'un flotteur marche avec une vitesse égale à la vitesse moyenne des filets fluides qu'il rencontre et que s'il paraît marcher plus vite que le courant, cela tient à ce que la vitesse maximum se trouve un peu au-dessous de la surface.

M. du Boys avait cependant, un peu auparavant ', rectifié et complété dans une certaine mesure l'explication du phénomène. Si l'on considère le volume liquide dont le corps flottant tient la place, il est bien, comme ce dernier, soumis à la force accélératrice de la pesanteur due à son poids? qui est le même que celui du liquide, mais la résistance est différente. Alors que pour le solide elle est constituée simplement par le

i. Annales des ponts et chaussées, 1886, ^* semestre, page 830. 2. Annales des ponts et chaussées^ 1886, 1er semestre, page 199.

Qoo^^

frollement des parois de celui-ci sur le liquide qui Tentoure, elle comprend en outre, pour le liquide, Tagitation intérieure qui dépense une partie de Ténergie transmise par la force motrice. Il y aurait identité entre le solide flottant et le liquide déplacé si Técoulemeni s'effectuait exactement par filets parallèles et s'il n'existait aucune composante verticale ou transversale de la vitesse des molécules liquides ; mais il est loin d*en être ainsi. Dans le volume liquide qui tiendrait la place du corps flottant, ces vitesses transversales ou verticales correspondent à une certaine force vive qui ne contribue pas à Técoulement, elles donnent lieu à des frottements ou à une perle d'énergie plus grande que si les filets étaient rigoureusement parallèles. C'est la somme de toutes ces forces vives, de tous ces frottements, perdus pour l'écoulement, qui égale la force accélératrice de la pesanteur. Tout cela est remplacé, dans le cas du corps flottant, par le frottement superficiel et par une résistance supplémentaire due à ce que ce corps prend une vitesse plus grande et qu'il presse davantage sur le liquide qui se trouve devant lui. Il convient d'ajouter, ce me semble, qu'il n'est nullement démontré que le volume déplacé par un corps flottant à la surface d'un liquide en mouvement soit le même que celui qui est déplacédansle même liquide en repos. Bien que je ne connaisse aucune expérience sur ce sujet, il me paraît y avoir de fortes raisons de penser que le corps flottant plonge moins dans le liquide en mouvement, et d'autant moins que Tagitation est plus grande. Alors, la force qui lui donnerait une vitesse égale à celle du liquide est la composante d'un poids de liquide inférieur au sien. Il reste donc disponible une portion de son poids qui lui procure une accélération nouvelle, et une vitesse plus grande que celle du liquide. De l'explication qui précède résulte que ladifférence de vitesse, entre un corps flottant et le courant liquide, croit avec les dimensions du corps flottant et avec l'agitation du liquide. Il n'est donc pas surprenant que M. Bérard, opérant sur un courant très régulier, à vitesse relativement faible et avec un

flotteur de petite dimension, ait trouvé une concordance à peu près complète entre les deux vitesses ; mais il n*en aurait pas été de même si le fond du canal sur lequel il opérait avait été irrégulier et surtout si le flotteur avait eu des dimensions plus grandes.

M. du Boys a constaté qu'un bateau (dont il ne donne pas les dimensions) avait pris une vitesse moyenne de iH6 dans un courant dont la vitesse superficielle n'était que de 2"7S. Même en faisant une large part aux erreurs d'observations, on voit que la différence est loin d'être négligeable.

148. Effet de la différence de irUeMse des fliets liquides. — Une dos premières conséquences de la différence de vitesse des divers filets liquides, c'est que si un corps flottant est placé à la surface d'un courant, il tendra toujours à venir se placer sur l'axe, ou sur la ligne où les vitesses superficielles sont les plus grandes. Si, en effet, on le suppose dans une position excentrique, il rencontrera une moindre résistance en se dirigeant obliquement vers les filets les plus rapides qu'en continuant à se mouvoir au milieu de ceux qui ont une vitesse moyenne inférieure à la sienne.

Ce fait de l'entraînement d'un corps flottant vers les filets qui ont la plus grande vitesse s'observe partout, et l'on peut l'expliquer en supposant, par exemple, le corps sphérique et placé dans un courant dont les filets AA, BB, CC ont des vitesses croissantes (fig. 77). Les filets les plus rapides CC exerceront

ç g sur le solide, du côté C, un frottement qui

p /^ ^ tendra aie faire tourner dans le sens de la

^ ^^^'-^ flèche. De l'autre côté AA, les filets li-

Fig. 77. quides, allant moins vite que le solide,

exerceront un frottement en sensinverse qui tendra à produire une rotation dans le même sens, et le solide étant, par rapport au liquide, en repos relatif au point B, ou plutôt étant pressé sur ce point par l'excès de vilesse qu'il tend à prendre, ne peut subir ce mouvement de rotation sans pivoter autour du

point B et rouler en se dirigeant du côté des vitesses les plus grandes.

Od doit donc regarder comme démontré qu'un corps solide, lorsqu'il se trouve dans un fluide dont les iilets ont des vitesses différentes, se trouve, par suite même de la différence de ces vitesses, entraîné du côté des filets les plus rapides. La vitesse, dans l'étendue d'une même section transversale d'un cours d'eau, ou sur une même verticale, allant en croissant à mesure que Ton s'élève, les corps solides arrachés du fond et d'abord entraînés par le courant peuvent s'élever, s'ils sont assez menus et assez légers, et être maintenus en suspension.

Il est d'ailleurs à remarquer que Teffortà exercer,pour maintenir un solide en suspension^ se réduit à assez peu de chose lorsque ses dimensions sont faibles et que son poids spécifique ne dépasse pas beaucoup celui du liquide. Si l'on considère, comme plus haut, un corps sphériquede diamètre D et de poids spécifique IIi, la force accélératrice qui tendra à le faire descendre dans un liquide sera, en appelant v sa vitesse verticale à un instant quelconque:

et si l'on met pour k la valeur 0,53, applicable aux corps sphériques, celte force accélératrice est nulle lorsque, IIi étant égal à 2700 kil. par mètre cube, onaD = 0"001etî?=0«17. Si l'on appelle », 'a vitesse que l'on pourrait appeler d'équilibre, pour laquelle l'expression précédente est nulle, ce qui revient à poser :

"=^\/li.H-i-')-

on pourra écrire de la manière suivante l'équation du mouvement vertical du corps solide tombant librement dans le liquide supposé immobile, en égalantsimplement la force accélératrice,

§ i. — ENTRALNEMENT ET SUSPENSION. 30i

dont la valeur vient d*être donnée, au produit de la masse du corps solide par son accélération égale alors à -- :

OU bien en tenant compte de la signification attribuée à Vi :

Cette équation donne d'abord en séparant les variables :

3kdt dv

et, en intégrant depuis v = 0, et ^ = 0:

en désignant par lah la tangenle hyperbolique.

Quant à l'espace parcouru pendant le temps /, si on le désigne parz, on obtient, en remarquant que v= ~ et que ^=0 pour t=0:

r=- s -=r-Vlt - -=- Vit

La vitesse du corps qui tombe librement croit en s*approchant asymptotiquement de la vitesse-limite Vy^ dont elle ne diffère plus sensiblement après un temps très court, une ou deux secondes au plus. Si le corps tombe dans un liquide en mouvement, dont tous les filets peuvent être considérés comme ayant la même vitesse moyenne U, sa trajectoire ne difiPèrera pas sensiblement d'une ligne droite inclinée à raison de U de base pour Vj de hauteur. Il parcourra horizontalement,

pour tomber d*une hauteur h, une distance h - qui pourra

QiOo^z

m chap. VI. — COURS d'eau naturels.

être grande si le rapport — est grand ; et pour peu que, dans

ce trajet, il rencontre des molécules dont la vitesse ait une composante verticale dirigée de bas en haut, il sera relevé et ramené vers les couches supérieures.

Mais c'est surtout, comme nous Tavons dil, la différence de vitesse des filets fluides qui produira, sur le corps solide, Tcffort très petit nécessaire pour cela. Dans les cours d'eau naturels, en effet, comme dans les canaux découverts que nous avons étudiés, la vitesse va en augmentant depuis le fond jusque vers la surface, et cette augmentation proportionnelle, me-

surée par le rapport —, est en raison de la profondeur ; elle

diminue donc elle-même lorsque Ton s'approche de la surface libre.

Si Ton admet, ce qui semble assez naturel, la proportionnalité de l'effet à la cause, la force qui entraînera vers le haut

les corps solides roulés par l'eau sera proportionnelle à y,

c'est-à-dire d'autant plus grande que Ton sera plus près du fond. Si donc l'on imagine un courant d'une profondeur donnée et des solides d'une densité déterminée et de volumes croissant par degrés insensibles, ces solides se distribueront dans les couches de haut en bas, suivant l'ordre de leur volume ; les couches supérieures ne porteront que les matières les plus ténues, parce que les filets y ont des vitesses sensiblement égales et les couches inférieures porteront des solides de plus en plus gros\

1. Un phénomène analogue, dû à la môme cause, peut s'observer lorsque l'on met en suspension, dans un liquide, des corps solides de petite dimension, plus lourds que lui, et que l'on imprime au liquide un mouvement de rotation autour d'un axe vertical, comme par exemple lorsque Ton remue avec une cuillère un verre d'eau contenant des grains de sucre non encore dissous. Dans le mouvement giratoire imprimé au liquide, les vitesses les plus grandes sont au centre et c'est vers oe point que toni entraînés les petits corps solides en suspension*

§ 2. - ENTRAINEMENT Et SUSPENSION. 303