ÉCOULEMENT SOUTERRAIN
(5) I={tU,
I désignaat la peule superficielle et jy. un coefficient numérique constant pour chaque nature de terrain. D'après Dupuit, ce coefficient [l vaut environ :
1266 dans du sable grossier,
5760 — fin.
Il varie donc entre les limites très étendues, et il doit, dans chaque cas particulier,étre déterminé avec soin. Il a d'ailleurs une grande valeur, ce qui confirme ce que nous venons de dire dire sur la petitesse de la vitesse U.
Étudions maintenant une couche perméable, aquifère, reposant sur un terrain imperméable, et désignons par : f rinclinaison du fond, q le débit par unité de largeur, h la hauteur de la surface au-dessus du fond, y la hauteur de la surface au-dessus de Thorizoutale menée
par Torigine de la couche imperméable; y=h — is; m le rapport du vide au plein dans le terrain perméable ; la grandeur du vide, dans une section verticale de hauteur h et de largeur égale à l'unité, sera mA,el la vitesse moyenne étant Uy Ton aura :
(6) q=mhl].
Éliminant U entre les deux équations (5) et (6), il vient :
mh ^ h'
en désignant par y! un nouveau coefficient numérique. Lorsque la pente est faible, la pente superficielle vaut à peu
dy près — — et Ton a, en tout cas, dt/=:dh — ids. On déduit
donc de Téquation précédente dont on a éliminé d'abord I, puis y^ la suivante :
- __ Mfe
qui donne, en Finlégranl depuis l'origine 5 = 0, où Ton suppose que la profondeur h élait h^ :
ou bien, en développant le logarithme en série :
Lorsque la penle du fond est assez faible pour que Ton puisse la négliger, c'est-à-dire si le terrain imperméable sur lequel repose la couche aquifëre est sensiblement horizontal, on peut faire i= 0, il reste simplement :
équation d'une parabole à axe horizontal. Telle est alors la forme de la surface libre de la couche aquifëre. Si l'on repréprésente par z la charge A© — A, ou l'abaissement de la surface libre enlre deux profils déterminés, on peut écrire l'équation précédente :
Le débit est alors proportionnel à la charge z et inversement proportionnel à la longueurs du massif; il est donc proportionnel à la charge moyenne par unité de longueur et il est
aussi proportionnel à
h^ho
ou à la profondeur moyenne de la
couche aquifëre. Il est facile de voir que cette formule est celle qui donnerait le débit d'un massif filtrant de même nature, de même épaisseur, mais traversé verticalement au lieu de l'être horizontalement. La formule (8) s'applique en effet à un massif tel que ABCD (fig. 83), reposant sur un fond horizontal imperméable BD et où la surface libre de la couche aquifëre est la parabole EFà axe horizontal interceptant sur les deux ordonnées extrêmes^ dis-
Qoo^^
§ 4. — ÉGOULEMEiNT SOUTERRAIN 337
tantes de BD==5, les hauteurs BE = Ao, DF = A. Si, au lieu de cela, on considère un massif lei que MNPQ (fig. 84) compris entre deux parois MP, NQ imperméables, présentant
une surface horizontale MN = PQ = — r-^, égale à la section
moyenne — ^, du premier et une hauteur MP = NQ = BD
égale à sa longueur s ; si, en outre, la charge qui produira le mouvement dans ce second massif et qui sera la différence des niveaux HK et IL à rintérieur et à p. g- Textéricur des parois verticales, est
égale à la charge z =BE — FD dans
le premier, ce second massif débitera le même volume que le
premier dans Tunité de temps.
Enfin, si Ton appelle H la profondeur qui correspondrait
au régime uniforme , dans lequel la pente superficielle I
serait la même que la pente du fond t, c'est-à-dire si Ton
pose :
on peut éliminer (a' de l'équation (7) et l'écrire :
Ud-h
is = ho — A±HLog
H±Ao
en prenant le signe 4- lorsque i est positif et le signe — lorsqu'il est négatif. L'équation, mise sous celte forme, peut être discutée comme celle du mouvement varié des cours d'eau ; mais cette discussion ne semble pas avoir, jusqu'ici, une grande utilité pratique.
Si, au lieu d'avoir sa surface libre, la couche aquifère est contenue entre deux couches imperméables, comme dans un tuyau de conduite qui serait rempli de sable ou de gravier, des équations analogues seront applicables. L désignant la
longueur totale de cette conduite, H la différence de niveau des
§ 4. ^ ÉGOULEMExNT SOUTERRAIN. 339
qualion de la courbe superficielle :
.y' — V=^g . Log|;
Si, au contraire, on intègre à partir de Taulre limite x = L, où Ton a y=H, on trouve :
équation qui représente aussi la courbe superficielle. On en déduit facilement les trois équations suivantes :
y' — /io Log X — Log R H* — y' Log L — Log x
H«— V~LogL— LogR ' H>— /io« ~ Log L — Log R '
et
27r H- /tp H + fep
^ ~" ]*' ' Log L — Log R * 2
Cette dernière montre que le débit q est proportionnel à la
charge H — /iq, h l'épaisseur moyenne verticale —^^^ de la
couche, mais qu'il n*est plus inversement proportionnel à Tépaisseur moyenne horizontale L — R; il est inversement proportionnel au logarithme de -•
Si Ton considère, dans un même massif, deux puits de rayons différents R et R', les débits g et q\ pour une même charge H — Ao, seront entre eux dans le rapport :
