GÉNÉRALITÉS

191. Equation approchée du mouTement non permanent. — L'élude du mouvement non permanent des liquides est beaucoup plus compliquée que celle du mouvement permanent, et je n'ai pas Tinlention de Taborder ici dans ses détails ; mais je crois qu'il est utile d'indiquer au moins comment doit se modifier l'équalion générale qui a été établie au n* 24, page 47, lorsque la permanence n'existe plus.

Si nous admettons toujours que le mouvement du liquide ait lieu par filets parallèles, nous pourrons, à une première approximation, négliger, comme nous lavons fait à ce n® 24, les composantes v eiw des vitesses devant la composante u dirigée dans le sens du mouvement, ainsi que leurs dérivées v' et w\ Il en résulte que les trois équations générales se réduiront encore à la forme (14). En répétant le même raisonnement, nous arriverons toujours de la même manière à l'équation :

Le premier terme du second membre pourra encore être exprimé par une fonction de la vitesse moyenne U écrite, en général, ^/.<p([J) mais à laquelle nous donnerons, comme nous Tavons fait au n"" 115 pour le mouvement permanent, la forme gyj>'\l*y dans laquelle b' devra, ainsi que A, être considéré comme pouvant représenter une fonction quelconque de U, laquelle pourra être et sera en général différente de celle b, relative au mouvement permanent.

C'est dans Tévaluation de l'intégrale j udi^ que se manifestera surtout la différence des deux hypothèses. Nous avons, en général, en négligeant veiw:

. du du

Nous aurons certainement une valeur approchée de u en remplaçant dans celte expression u par la vitesse moyenne U, et alors nous trouverons, tout simplement, puisque U aura la même valeur en tous les points de la section transversale :

I w rfco == à peu près ^ ( "T + Ll 7" ) •

Et alors, si nous adoptons cette valeur approchée, nous obtiendrons, pour l'équation du mouvement non permanent, en remplaçant, comme au n"* 24^ dx par ds^ et en remarquant que la pression p^ est constante :

w ^ g dt ' ds \^gj

Cette équation suffit le plus souvent.

Par une analyse très compliquée et dont il n'est pas possible de donner ici une idée^ mais que l'on trouvera dans son Essai sur la théorie des eaux courantes^ pages 261 et suivantes, M. Boussinesq a montré qu'abstraction faite de coefficients ai et a, peu différents de Tunilé dont les deux derniers termes doivent

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