I 1. — GÉNÉRALITÉS

être affectés, il était plus exact d'ajouter un très petit terme de la forme 8 - r-, le coefficient S étant une très petite fraclion de Tunité et d'écrire Téquation :

' o> g dt d$ \^g/ (o dt

Nous ne l'appliquerons que sous sa forme approximative (1).

A cette équation générale, nous joindrons celle qui exprime la continuité ou la conservation du volume des éléments liquides et que nous prendrons sous la forme (8)n** 17, page 32.

dt^ds ' ou bien, puisque le débit y = wU :

fn\ dfa rr doi dU ^

Nous ne conserverons pas au problème loule sa généralité, ce qui n'aurait d'autre effet que de compliquer inutilement les équations et les calculs ; mais nous appliquerons ces équations générales au cas particulier d'un canal horizontal de largeur indéfinie, dont nous considérerons Tunité de largeur.

Si nous appelons H la profondeur du canal en un point où la vitesse moyenne U soit nulle et H + A cette profondeur en un autre point quelconque, nous aurons :

o> = H + A et d<ùz=zdh.

Soit i la pente du fond du canal ; cette pente est liée à la pente superficielle I et à la profondeur parla relation I==t — — et supposons encore, pour simplifier, que la pente de fond i et le frottement— ô'U* sont assez petits pour être négligeables ou plutôt pour que Tonpuisse admettre qu'il y a toujours compensation entre cette pente et les frottemeuts extérieurs» de

366 GHAP. Vil. — MOUVEMEM NON PERMANENT.

telle sorte que la différence f — -A'U* puisse être toujours

regardée comme nulle.

Enfin, notre dernière hypothèse, qui est d*une applicaiioa fréquente, sera que la vitesse moyenne U ne soit fonction que de la profondeur H + A ou de sa partie variable h ; les dérivées de U s'exprimeront en fonction de celles de h par les formules :

di^dk dt ^ ds'^dh di'

Dans ces hypothèses simpliiicatives, les équations générales (1) et (3) deviennent respectivement :

Portant, dans la première, la valeur de — donnée par la seconde, il vient, après réduction et suppression du facteur commun •— qui, égalé à zéro, correspond à une profondeur constante :

OU bien

dh Y H

Cette dérivée ne peut évidemment s'annuler ni par suite changer de signe, et il suffit pour conserver toute la généralité d'adopter l'un des deux signes du second membre. En intégrant, et remarquant que, par hypothèse, U = 0 pour A = 0, il vient :

Googl(

§ i. — CRUES DES COURS DEAU. 367

(6) U = 2V<^(H + A)-2vP

dU Substituant cette valeur de U et celle qui précède, de —

dans réquation (5)> on trouve :

L'intégrale de cette équation aux dérivées partielles est, en désignant par f une fonction arbitraire :

Cette équation fournit la forme de la surface de Teau dans le canal considéré à une époque t quelconque, lorsque Ton connaît sa forme :

à une époque antérieure à partir de laquelle on comptera le temps t^ ou pour laquelle / = 0. Elle montre que la surface se propage en se déformant comme si chacune de ses courbes horizontales, élevée de H + A au-dessus du fond, marchait avec une vitesse [3 vy(H+/j) — 2 v/^H]- Toutefois, cette équation cesse évidemment de s'appliquer si t augmentant, on arrive à en pouvoir tirer deux valeurs de h pour une même valeur de 5. C'est qu'il y a dès lors un déferlement ou un mascaret qui vient de ce que les couches supérieures, comme l'a remarquéM. Partiot, ont gagné de vitesse et dépassé les couches inférieures. Nous retrouverons plus loin ces équations comme conséquence de celles qui régissent la propagation des ondes.