CRUES DES COURS DEAU

«99. DifffleuUé du problème. — La question des crues des cours d'eau est une de celles qui intéressent le plus les

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ingénieurs : ils ont à étudier les moyens de garantir les vallées contre les inondations, ou tout au moins ceux de prévoir les surélévations exceptionnelles du niveau des eaux, et d'en avertir les intéressés. Dans Tétat actuel de la science^ il est impossible de donner une théorie complète des crues ; d*ailleurs, les cours d'eau présentent dans leurs allures une si grande diversité que la théorie, fût-elle parfaite, devrait en tout cas être appropriée aux circonstances spéciales relatives à chaque rivière et ne pourrait se traduire en formules pratiques que moyennant Tintroduction d'un certain nombre de coefficients ou de termes empiriques dépendant de ces circonstances. Les crues constituent, en réalité, une forme de mouvement non permanent des cours d*eau et leur étude théorique devrait, rationnellement,ètre déduite de celle de Féquation du mouvement non permanent qui vient d'être établie. Mais dans Tétat actuel de la science, cette équation générale ne peut donner, sur le phénomène des crues, que des indications vagues et sans utilité pratique. C'est pourquoi je n'en ferai pas usage dans celte étude et je vais me contenter d'indiquer ce que peut apprendre, sur la question de la propagation des crues, une théorie sommaire que j'emprunterai pour la plus grande partie à une note de M. Kleitz *, dans laquelle cet ingénieur, à propos des crues du Rhône, a traité la question d'une manière tout à fait générale.

198. Hypothèse simplifleatlire. — J'examinerai seulement le cas le plus simple d'une crue se propageant dans un cours d'eau sans affluent. Je ferai abstraction des complications qui résulteraient de la division de la rivière en plusieurs bras, ou de ses débordements sur de larges plaines et je supposerai que la crue, dans chaque localité, s'élève graduellement jusqu'à un maximum unique, pour s'abaisser en-

1. Note sur la théorie du mouvement non permanent des liquides, par M« Kieilz. Annales des Ponts et Chaussées, 1877» 2« semestre» page 135»

s 2. — GRUES DES COURS D'EAU. 369

suite jusqu'à ce que la rivière soit revenue à son étal initial. Au commencement et à la fin de la crue, la rivière est censée èlre en régime permanent et avoir le même débit dans toutes les sections transversales.

Alors le débit q^ dans une localité quelconque définie par son abscisse s^ variera avec le temps t pondant la durée de la crue ; à une même époque /, au contraire, le débit variera suivant les localités, ou avec l'abscisse 5 qui les définit ; il sera donc à la fois fonction de ces deux variables et nous pourrons écrire :

D*autrepart, si nous désignons par <i> l'étendue de la section transversale, nous pourrons répéter le même raisonnement et écrire :

Nous avons démontré plus haut (n* 17, page 32), que léquation de continuité pouvait se mettre sous la forme :

et enfin, en appelant u la vitesse moyenne, à une époque quelconque et dans une section quelconque, nous aurons, par définition :

(il) tt=- ou 5r=:(oW,

tlTA. courbe des débits. — Un fait bien constaté par l'expérience, c'est que le flot produit par une crue simple s'affaisse de plus en plus, en s'allongeant, lorsqu'il se propage

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sur une partie de cours d'eau qui ue reçoit aucun affluent ^ Si ]*on a construit, pour une localité donnée, la courbe des débits locaux, c'est -à-dire une courbe telle que OMN (fig. 89), dont les abscisses sont les temps t et les ordonnées les débits q à cbaque instant ; la courbe analogue, pour une autre localité située en aval de la première, aura une forme telle que O'M'N ' plus longue et moins haute que la précédente; la ligne horizontale 00' NN' correspondant au débit permanent qui, par hypothèse, suit et précède la crue. Le volume du flot qui cons-

Fig. 89

litue la crue dans toute son étendue est le même pour toutes les localités, puisque, par hypothèse, le cours d'eau ne reçoit aucun affluent. Or, ce volume, dans la première localité, est représenté par la surface OMNO, dans la seconde, par la surface O'M'N'O'. II faut donc que ces deux surfaces soient équivalentes. Il en est de même aussi, par conséquent, des deux surfaces OMIO'O et NIM'N'N. La première est Texcès de la surface OMIKO, représentant le volume d'eau passé à la première localité avant l'époque t. sur la surface OIKO', qui représente celui qui est passé à la seconde avant la même époque. Cette surface OMIO'O représente ainsi Taccroissement que le volume du cours d'eau a pris entre les deux localités avant l'époque t. ; c'est ce qu'on appelle Temmagasinement maxi-

I. Je renvoie le lecteur à la note citée de M. Kleit2, pages 158 à i66, pour la démonstration théorique de ce fait, qu'il déduit de l'équation générale du mouvement du liquide.

§ î. -^ CRUES DES COURS D'EAU. 3H

mum, entre les deux localités considérées. Pour une crue donnée OMNO qui passe devant la première, cet emmagasinement sera d'autant plus grand que le point I sera plus bas sur la branche de courbe MN ; et plus le point I sera abaissé, plus la forme de la seconde courbe, qui doit être telle que la surface IM'N'NI soit égale OMIO'O, sera aplatie et allongée. On voit que le débit maximum, dans la localité d'aval, sera d'autant moindre que Temmagasinement, en amont, aura été plus considérable. Si donc on diminue cet emmagasinement par des travaux d'endiguement, on augmente nécessairement le débit maximum dans les localités d'aval. « Cette conséquence si évidente, dit M. Kleitz, parait avoir passé longtemps inaperçue; car c'est lors des inondations de 1856 seulement que le danger des digues insubmersibles a été signalé. »

iVft. MamimuiMS sneeessirs de la vitesse, du débit et de la hauteur. — Dès qu'il est admis que le point culminant M de la courbe des débits s'abaisse progressivement, en passant d'une localité à une autre située en aval, il s'en suit que si l'on imagine tracées, sur une même épure, toutes les courbes

analogues aux deux précédentes, pour

Pki^ u toutes les localités successives, le lieu

y'^^'^^^^S^^^^^^^^l'^ d^s sommets tels que M,M'... (fig. 90) Y\g 90. de ces courbes sera une nouvelle courbe

dont la tangente, en un point quelconque, fera un angle fini avec Thorizontale. Si, alors, nous considérons les sommets M, M' de deux courbes infiniment voisines, la ligne MM', qui les joint, fera, d'après cela, un angle fini avec Thorizontale MH, et le point M', infiniment voisin du point M, se trouvera au-dessous de la courbe M qui ne s'écarte de sa tangente que d'un angle infiniment petit. Le point d'intersection I des deux courbes se trouvera donc au-delà des deux sommets M et M". Or, à l'instant t^ marqué par l'abscisse de ce point I, le débit q est le même dans les deux localités

, dq intinimcnt voisines considérées, ou bien -^ =0. Mais d'après

as *■

Téqualion (9), cela entraîne comme conséquence :

dt

Cela veut dire qu'à l'époque t^ la section transversale atteint son maximum dans cette localité, ou que la crue y atteint son maximum de hauteur. Ce maximum de hauteur est^ comme on voit, postérieur au débit maximum, dont Tépoque est représentée par Tabscisse du point M \

i. Voici comment on peut calculer, dans une localité donnée, le temps qui s*écoule entre ces deux maximums. Si l'on suppose que, dans ceUe localité, le lit du cours d*eau soit à peu près rectangulaire, de largeur /, de manière que la section w soit proportionnelle à la profondeur h, ou que w z= Ih, la largeur l étant constante, et si Ton a observé les hauteurs de la crue et construit une courbe de ces hauteurs en fonction du temps, comme on a toujours

do) dq

-— =: — -7 , il suffira, pour avoir Tépoque du maximum de g, de déterminer

dt as

dh i dài sur cette courbe le point où le coefficient angulaire de sa tangente t ^^ 7 3"

dt l dt dq est égal en valeur absolue à la valeur de -- , pour le maximum de g, multi-

ds

pliée par - .

On peut assimiler, sans erreur sensible, la courbe des hauteurs, dans la partie dont il s'agit, à un arc de cercle, et il suffira, pour avoir son rayon, d'en mesurer la flèche /*pour une corde déterminée correspondant à un inter-

valle de temps 2Ô. Le rayon de courbure est alors — - et l'angle avec l'hori-

zontale formé par la tangente à ceUe courbe à une distance x du sommet sera

* 2/a; ^ , ., , ^ dh 1 dw , . , ». ,

yôiT == 77 • ^^^ angle, sensiblement égal à -r ou à y — doit être égale à

^ û^ .. t. , . ^^ àq

- -- et 1 on en déduira : a? =-—--- • / ds 2fl ds

Si, par exemple, dans la localité considérée, le sommet de la courbe des

hauteurs a une flèche de QmîO pour vingt-quatre heures, f = 0^20, et

0 m i2 h. X 3600"; si de plus, le débit maximum du cours d*eau décroît de

5 mètres cubes par kilomètre [le débit maximum étant inférieur de 1000

mètres cubes dans une localité située à 200 kilomètres en aval], on a

dq

^ = 0,005 ; ce qui donne avec l = 300"^, « = 21 h. 36 m.

ds

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