CKUES DES COURS D'EAU. S
Prenons Téqualion (U) dans une localité donnée et différentions-la par rapport au temps, nous aurons :
dq
« et 0) élant nécessairement positifs, il faut que, lorsque j-
s'annule, les deux dérivées r et - s'annulent en même temps,
dt dt
OU soient de signes contraires. Or, nous venons do voir que,
dq quand t = 0 dans pne localité, c'est-à-dire quand le débit y
est maximum, la hauteur croît encore et n'a pas encore atteint sa plus grande valeur ; ~ est donc alors positif et par
du suite — est négatif; la vitesse décroît. Et comme il s'agit d'une
crue simple^ dans laquelle la vitesse, le débit et la hauteur ne passent chacun que par un seul maximum, si la vitesse décroît, c'est qu'à l'époque considérée du débit maximum, elle a déjà passé par sa plus grande valeur ou que son maximum a précédé celui du débit. Nous trouvons ainsi que ces trois maximums ne se produisent pas simultanément. Dans une crue simple, on observera donc d'abord :
le maximum de la vitesse moyenne u, puis le maximum du débit ^,
et enfin le maximum de la hauteur alteinle par les eaux, lequel correspond au maximum de la section transversale co.
On voit ainsi que le débit du cours d'eau, pour une même profondeur, ou pour une même valeur de la section transversale, n'est pas le même pendant la période ascendante et pendant la période descendante de la crue. La vitesse moyenne diminue déjà depuis longtemps, que le niveau s'élève encore ; et le niveau continue encore à monter lorsque le débit commence à décroître, ce qui montre qu'au moment de la plus grande hauteur, la vitesse moyenne doit êlro bien inférieure au maximum. Les formules qui on( été données plus haut, et
CHAP. VII. — MOUVEMExXT NON PERMANENT.
priment le débit d'un cours d'eau en fonction de sa proir ne sont donc applicables qu'en cas de mouvement nent, puisque, en temps de crue, le débit, pour une hauteur observée à une échelle, a deux valeurs très ntes suivant que le niveau monte ou descend. On ne lors les appliquer que sous réserve et simplement à titre oximalion.
i. Titei!ise de propagation de la erue. — H est in-
mt de chercher la vitesse de propagation de la crue le u cours d'eau. Supposons que nous ayons construit la D représentée par Téquatioti :
nant deux axes rectangulaires pour les 5 et les t (fig. 9\)
supposant les débits q portés en ordonnées perpendiculaires au plan de la figure :1a surface peut alors être représentée par ses courbes de niveau, ou lignes d'égal débit y, y,, y,, ^8,... Un même débit g,
^^^^'/^r^ ^7« par exemple, se propage entre les
g^;*'^ ^' points définis par les abscisses s et«'
dans un intervalle de temps que l'on
' T» obtient en menant, par s et s\ des pa-
Fig. 91. rallèles à l'axe OT jusqu'en m, m\
puis, par ces points mm', des paral-
L Taxe OS; l'intervalle de temps en question est //'. Or,
tion de la courbe d'égal débit étant :
y = constante, uation différentielle est :
îtesse de propagation du débit y sera exprimée par - , ou
g î. - CRUES DES COURS D'EAU. 375
bien, si on la désigne par Vg, par :
dq ds dt
di ou bien, en vertu des équations (10) et (12) :
dq du
dt dit
La vitesse Vq de propagation d*un débit quelconque y, est plus grande que la vitesse moyenne u du courant liquide dans la première période de la crue où ti et w sont toutes deux croissantes ; elle devient égale à u lorsque cette vitesse atteint
du dàà
son maximum ; et ensuite, -- étant négatif alors que — est encore positif, Vq devient plus petit que u et s'annule lorsque, ~ étant nul, q est maximum. Cette vitesse nulle indique que
le débit maximum g, qui se produit alors, n'a pas son égal dans la section infiniment voisine, ou qu'il ne se propage pas
du côté d'aval. Dans la période comprise entre /=0 et ^=0»
ou entre le maximum du débit et le maximum de la hauteur^ la vitesse de propagation est négative, ce qui signifie (comme le montre la fig. 90 entre les points MM' supposés infiniment voisins et le point I) que les débits qui se produisent pendant cet intervalle de temps dans la section d'amont s'étaient déjà produits dans celle d*aval. Au moment du maximum de (o, la vitesse de propagation Vq devient infinie, ce qui veut dire que le même débit se produit simultanément dans les deux sections voisines. Enfin, plus lard, -^ et -^ étant tous deux néut a^
galifs, la vitesse Vq redevient positive et tend de nouveau vers la valeur w.
En général, dans les cours d'eau ordinaices où la section
transversale esta peu près rectangulaire ou trapézoïdale, tant que le débordement n a pas commencé, le rapport ^^ "[T à — .
qui mesure la vitesse r, de propagation d'un débit y, sera, en chaque point du cours d*eau, d^autant plus grand que Je débit q lui-même sera plus grand. En effet, bien que d'après ce qui vient d'être dit, le débit q correspondant à une hauteur donnée du niveau soit différent suivant que le cours d'eau est en croissance ou en décroissance, et ne soit pas le même par conséquent que dans l'état de régime permanent^ on peut, à titre de première approximation, admettre que le débit est lié à la profondeur par une des relations que nous avons données plus haut (n* 157, page 340), par exemple par celle-ci dont nous avons justifié la forme :
en substituant la profondeur h du cours d'eau à la hauteur H menée à une échelle fixe, dont le zéro peut ne pas correspondre au fond du lit. On aurait alors :
Si, d'autre part, la section est rectangulaire ou à peu près rectangulaire, et si l'on désigne par / la largeur à la ligne d'eau , on pourra écrire à peu près :
. dfii) dh .dl
(ù = ih et -- = /--+At:
dt dt dt
Tant que le cours d'eau ne déborde pas, la largeur / est peu
variable et - est nul ou négligeable ; on a donc simplement :
d« jdk
Jt ~ dt
et par suite, avec l'approximation que nous avons admise :
