ONDES DE TRANSLATION
prendrons la question sous une forme plus générale et nous aurons recours au calcul analytique, en suivant la marche indiquée par M. Boussinesq.
!••. Formale pla« approehée de eette Tltesse, tenant compte de la forme de l'onde. — Considérons une masse liquide indéfinie dans tous les sens horizontaux, reposant sur un fond horizontal placé à une profondeur H au-dessous de sa surface libre supposée d'abord immobile. Nous étu* dierons simplement les ondes cylindriques^ c'est-à-dire celles dont la surface libre est limitée par des cylindres à génératrices horizontales, et nous admettrons que toutes les molécules liquides qui se trouvent sur une même horizontale parallèle à ces génératrices ont, à chaque instant, le même mouvement, de sorte qu'il nous suffira d*étudier le mouvement de celles qui se trouvent dans un même plan vertical.
Nous prendrons, dans ce plan,pour axe des x^ son instersection avec le fond horizontal, et pour axe des z, une verticale quelconque dirigée de bas en haut. Nous pourrons, en limitant fictivement la masse liquide à deux plans verticaux parallèles & celui des coordonnées, la regarder comme faisant partie d'un canal rectangulaire dont l'axe longitudinal serait l'axe des X,
Nous étudierons Tonde ou intumescence formée, dans ce canal, par la projection brusque, en un point quelconque de sa longueur, d'un certain volume liquide, et nous compterons les abscisses positivement dans le sens de la propagation de cette onde.
La surélévation h, positive ou négative, du niveau primitif, sera alors variable avec l'abscisse x et le temps t ; mais elle sera nulle, quel que soit /,pour x = oo .
Si nous appelons w, w les composantes horizontale et verticale de la vitesse d'une molécule liquide de coordonnées a:, z^ p la pression en ce point, p la densité du liquide,^ la gravité, les équations générales du mouvement sont (n* 16, page 28):
'fti\ idp , i dp
^ p dx p dz ^
Il faul y joindre Téquation de continuité ou de conservation des volumes (7), page 32, qui se réduit à :
Si noua appelons U la vitesse moyenne dans une section transversale dont Taire est ici (H + h)^ le volume qui traverse cette section dans Tunité de temps est (H + h) U, son accrois-
sement.entre deux sections distantes de dx est T dx.
dx '
et ce même accroissement a pour expression — dx. En égalant
ces deux expressions, on obtient la forme suivante de Téqua* tion de continuité que nous aurions pu déduire de Téquation (8) page 32 :
^ ^ dt ^ dx
Eliminons jE> entre les deux équations (11) et pour cela, mul-tiplions la seconde par — dz et intégrons depuis z=iz jusqu'à 21 = IIH- /i, où /> = 0, il viendra :
(14) l = g(H-{-h — z)+ Iw'dz.
P Jz
Il s'agit d'exprimer v)\ L'équation de continuité (12) peut être écrite rfw? = — j- àz^ et si, approximativement, nous supposons que toutes les composantes horizontales u des vitesses des molécules sont égales à leur moyenne U, nous pourrons remplacer u par U qui est alors indépendant de z et nous obtiendrons, à fort peu près :
dU
QiOo^z
I i. — ONDES DE TRANSLATION. «i
D'un autre côté, Téquation (13), en y négligeant h devant H, donne -- + H — = 0, ce qui permet d éliminer -~ de la précédente et d'écrire
/JK\ * ^^
^ ^ H di •
j- est la composante verticale de la vitesse d'une molécule de
la surface libre, et cette équation revient à dire que les composantes verticales des diverses molécules liquides sont en raison de leur distance au fond du canal. Il en résulte :
Substituant dans la valeur (14) de ~, effectuant l'intégration et
remplaçant la limite H + A de Tintégrale par H, il vient, à ce degré d'approximation :
Différentions par rapport a x pour retrouver le premier membre de la première (H) et éliminons ce premier membre qui contient p, nous obtenons :
dh d^h H» -a' ^ dx dxdi* 2H
Cherchons maintenant la valeur moyenne de ii' sur une ver-
dz ticale; pour cela multiplions celte expression par n t l ^^ ^i^lé-
grons de 0 à 11+ A, cela nous donnera :
, , , dh E d^h
valeur moyenne de m = — ^ ; --.
^ ^ dx d dxdi^
D'un autre côté, la valeur générale de t/', dérivée totale de Uy a pour expression
Qoo^^
m CHAP. VIII. — MOUVEMENTS ONDULATOIRES.
, du du du
dt dx dz
Si nous y remplaçons u par sa valeur moyenne U, nous pourrons considérer le résultat comme étant la valeur moyenne de u'; il nous viendra ainsi, le dernier terme étant nul puisque U est indépendant de z :
valeur moyenne de w = 3~ + U — .
Égalons ces deux expressions, nous obtiendrons enfin :
A cette équation, nous joindrons Téquation de continuité (13) que nous écrirons :
dh „rfU d.h\]
Ce qui caractérise et définit la vitesse V de propagation de Tune des tranches verticales de l'intumescence, c'est que, lorsque t croît de dt et x de Ydt, la surélévation h et la vitesse moyenne U dans la section correspondante se retrouvent les mêmes, ou que ces deux quantités h ei\] sont des fonctions inconnues de la quantité {x — \7) ; cela veut dire que leurs dérivées par rapport à / sont égales au produit par — V de leurs dérivées par rapport h x. Dans les deux équations (16)
et (17), mettons alors au lieu des dérivées j par rapport à /,
les dérivées -r- par rapport à x multipliées par — V, nous obtiendrons respectivement :
Les deux polynômes entre parenthèses sont donc îndépen-
§ i. — ONDES DE TRANSLATION. 413
dants de x ou constants quel que soit x\ et comme tous leurs termes sont nuls pour a: = oo , ils sont tous deux égaux à zéro. Cela nous donne les deux équations :
VÎT * ÎT2 i / L "^'" ^'^
