Soient {fi g» i

AmB la fibre moyenne d'une pièce prismatique dans son

état d'équilibre naturel; Ox, Oj^, Oz les trois axes coordonnés rectangulaires; T la section normale au point m dont les coordonnées

sont oc^ y^ z\ my^ mJ les deux axes principaux d'inertie de l'aire de

cette section; mj/ la tangente à la fibre moyenne au point m.

Cette tangente forme avec les deux axes précédents un second système de trois axes coordonnés rectangulaires, et il doit être bien entendu que la position relative des parties positives de ces axes est la même que dans le premier système d'axes Ox, Oj", Oz, Lorsque la section T se meut le long de la directrice AmB pour engendrer géométriquement la pièce prismatique, le trièdre ma/y'z'^ supposé invariablement lié avec elle, accomplit un mouvement entièrement déterminé, puisque son sommet m décrit une courbe connue AB et que la figure tourne en même temps autour du point m, de manière à se trouver placée, pour chaque position de ce point, dans une orientation déterminée.

9. Dans ce mouvement cinethmique, c'est-à-dire indépendant du temps, l'abscisse x du point mobile m peut être considérée comme variant arbitrairement avec le temps. Si l'on se donnait la forme de cette fonction arbitraire, on pourrait en déduire j^ et ^, en fonction de t également, à l'aide des deux équations de la fibre moyenne directrice. Les dérivées de x, j^, z par rapport à t seraient les trois

CONSIDÉRÉES DANS l'cSPAGB. 9

composantes de la vitesse de translation du trièdre mod^J^ parallèlement aux axes coordonnés.

Soit T' la section normale au point ni ^ infiniment voisin de m, ayant par conséquent pour abscisse x -h dx. Pour passer de la position T à la position T', la section normale et le trièdre mo(/Yz\ lié avec elle, accomplissent un mouvement qui peut se décomposer en une translation mm! et une rotation autour d'un axe passant par le point m ou le point m',

10. Les deux positions qu'occupe le mobile au commencement et à la fin du mouvement de rotation permettent de déterminer la position de l'axe instantané ainsi que l'amplitude de la rotation angulaire dont il s'agit. Il sufBra pour cela de considérer deux points du mobile situés sur une même surface sphérique décrite autour du centre de rotation m^ de mener les arcs de grand cercle AB, A'B', qui les joignent, dans l'une et l'autre position, et de déterminer un point O sur la sphère, tel que le triangle OAB soit égal au triangle OA'B'; le diamètre passant par le point O sera la position de l'axe cherché, et l'angle AOA', égal à l'angle BOB', sera l'angle de rotation dont il s'agit. Soient «, (3, y les coefficients angulaires de l'axe de rotation ainsi déterminé, du l'angle de rotation. Cet angle du est le produit de la vitesse angulaire de rotation u' par le temps dt. Les trois composantes de cette vitesse angulaire, parallèles aux axes coordonnés, sont égales à clu', j3u', yu. Désignons par dp, d(fy dr les produits de ces trois composantes par le temps dt, en sorte que l'on ait

dp = ccduj dq =z ^du^ dr=. y du.

Les quantités ot, ^, y sont des fonctions connues de la variable indépendante x; du est égal au produit d'une fonc-

tion connue de la même variable par sa difTérentielle dx; par conséquent, les quantités dp, dqj dr sont les différentielles de trois fonctions de x entièrement connues.

H. Soient [fig» i)

w un élément infiniment petit de Taire de la section T; M le centre de cet élément ;

f^, f^' les coordonnées de ce point rapportées aux axes iny y rnz\

Dans le mouvement de la section T, qui engendre géométriquement la pièce prismatique, l'élément « engendre un prisme infiniment petit a^^ant pour axe la courbe décrite par le point M. L'ensemble des molécules de ce prisme peut être considéré comme constituant une fibre de la pièce. La partie comprise entre les deux sections normales infiniment voisines T et T' est un élément de cette fibre. Soit Ai Bi la fibre moyenne de la pièce prismatique dans son second état d'équilibre. Désignons par les mêmes lettres affectées de l'indice i les mêmes choses que dans le premier état d'équilibre. Les sections T et T' sont remplacées par les sections T^ , T'^ . Leurs centres m, m' deviennent TUif m\. Les coordonnées de mt seront égales à celles du point m augmentées de petites quantités inconnues. Nous les désignerons par Sx, Sj, $z , en employant la caractéristique S en usage dans le calcul des variations à cause de l'analogie existant entre les variations considérées dans cette dernière théorie et les déplacements trèspetits qui se produisent ici.

12. Transportons la pièce AB sur le solide A|B|, de manière que la section T coïncide avec la section T| . Le mouvement qu'il faudra imprimer pour cela au solide AB pourra se composer de deux autres : un mouvement de

CONSIDÉRÉES DANS L*ESPACB. Il

translation, dans lequel tous les points décriront des éléments rectilignes égaux et parallèles à m/7i|, et un mouvement de rotation autour d'un axe passant par mi . Les trois composantes de cette rotation parallèlement aux axes O jr, Oj^^, Oz, sont trois nouvelles quantités inconnues que nous désignerons par $p, Sq, $r. La quantité 3/; représente une rotation autour de Taxe des x, $q et Sr des rotations autour des axes Oy^ Oz, Ainsi, tandis que les rotations dp, d{/, dr (n° 10) sont infiniment petites et amènent T dans une position parallèle à T', les rotations ip, Jy, ir sont très-petites et amènent T dans une position parallèle à T<.

Lorsque la section T coïncide avec T|, la base inférieure 0) de l'élément de fibre MM' coïncide avec son égale cit), de la section Ti; mais il n'en est pas de même de la base supérieure &)', dont la position est généralement différente de l'élément w'^ de la section T,. SoitMj (Jig^ a) la position qu'occupe alors le centre M' de l'élément &>'; la droite M'^ M3 sera le déplacement relatif de w et w' dont les projections sur les axes coordonnés ont été désignés précédemment par u, u\ u".

13. Ces trois projections peuvent s'exprimer en fonction des projections ix, ^jy $z delà translation mr/iiy ainsi que des trois composantes du mouvement de rotation qui amène T dans une position parallèle à T|, savoir $p, ${/, îr, des deux coordonnées \^ et p»' du point M, et de la variable indépendante x.

Soient a, b^ c les coefficients angulaires de l'axe mx' par rapport aux axes Ox, Oj, Oz, a\ b', c' ceux de my, et rt", b^\ d^ ceux de mz' par rapport aux mêmes axes. Désignons par ix\ Sy, $z* les projections du déplacement mirii sur les axes mx', my, mz\ Ces quantités

sont liées aux projections $x, dy, $z par les formules suivantes :

Iêjc'=: a è.K -{- h 9r H- c êz,

14-. Les projections du déplacement du point m', infiniment Yoisin du point m, sont égales à celles du point m augmentées de leurs ^différentielles par rapport à x, puisque ce sont les valeurs que prennent les fonctions d' x représentées par ^x\ ^y\ Sz* lorsqu'on y remplace x par X •+- dx.

Les projections de m'm\ sur les axes mx\ mj\ mz' sont donc égales à ôx^ -h dSx'y Sy-hd^j'y Sz'-hdSz',

Dans le mouvement de translation mm^ du solide AB, le point m' décrit un élément droit m!m^ {fiS* ^) ^S^^ ^^ parallèle à mm\ . Les projections de ce déplacement sont donc égales à îx', iy', Sz^ sur les axes mx', my\ mz'.

Dans le mouvement de rotation qui amène T dans une position parallèle à Ti, et dont les composantes parallèlement aux axes Ox, Ojy Oz sont J/7, ^q^ $r, le point m' éprouve un déplacement dont les projections sur les axes ma/, my', mz' seront données par les formules (i) dun° 7 en y mettant pour x^ y^ z^ hpj Sq, Sr les quantités qui conviennent au point m' et à la rotation du solide dans le second système d'axes coordonnés mx'y mj'y mz*. Dans ce système, les composantes 5/?', 5^', 5r' du mouvement de rotation sont liées aux quantités 5/?, 5^, 5r par des équations identiques aux formules ( 2 )

âp' = a âp -{- b $q -hc âr, (3) I V i=r a' jy? + b' ^q -h c' ^7-,

^r'z=a''^p-^b"âq-^c''^r.

GOKSlDJÊRÉfiS DANS L*ESPACE. l3

Les coordonnées du point rri par rapport aux axes ma/, my y mz'j qui doivent être substituées kXyjy z dans les formules (i), sont x = ds, y:=o, z= o. Les quantités dp, dçy dr doivent y être remplacées par $//, 5/, $r\ Ainsi, les projections sur les axes mx', my\ mJ du déplacement m'mo ^fig' 2) du point rri y dû au mouvement de rotation du solide AB, seront (Jj:) = o, (dy^) = — dsir, (^Sz)=z dsâq. Soit m^ {fig* ^) la position du point m! lorsque, les deux mouvements étant accomplis, la section T coïncide avec la section T^ ; le déplacement total m'm^y résultant des deux déplacements in'm^ et rrim^^ a pour projections sur les axes inx* ^ '^y'? ''*^' I21 somme des projections des déplacements composants, savoir :

(4) Uy-ds^r\

Soient T3 la position actuelle de la section T', ayant son centre en J713, et M3 {fig* 2) la position du point M'. La distance M» M'^ est le déplacement relatif des éléments w et Cl)'; et ses projections sur les axes /«a/, my\ m^f sont les quantités m, m', u" proportionnelles aux trois composantes parallèles à ces axes de l'action réciproque développée entre ces deux éléments. Pour déterminer la distance IVI3 M', , nous chercherons la trajectoire décrite par le point M3, lorsque la section T3 accomplit le mouvement nécessaire pour venir s'appliquer sur la section T^. Ce mouvement peut, comme dans le cas précédent, se composer d'un mouvement de translation et d'un mouvement de rotation. Dans le premier mouvement, tous les points de la section T3 décriront des chemins égaux et parallèles à l'élément rectiligne ///sw, , dont les projections sont égales à celles du chemin m' m', diminuées de celles de

l4 CUÀPlTRfi I. — DFS PIÈCES PRISMATIQUES

mfmzf car le chemin n/m\ est la résultante de m'm^ et de mim\. Nous avons vu que les projections de m^m\ étaient égales à Sju'-f- d$x^, ^'+ ^^J^y àz^-hddz^ et que celles de m'frii étaient égales aux expressions (4)- Les projections de la translation 7/I3 m\ sont donc égales à

(S) { d^y-hds$r\

d^z' —dsâq\

Ces quantités sont les projections du chemin MsMi {Jig' 2), que parcourt le point M3 dans le mouvement de translation.

15. Dans le second mouvement de la section T3, qui est une rotation autour du point 7723, le point M3 éprouve un déplacement M3 M {Jig' 2), dont ]es projections sur les axes ma/, ''ij'» mz, transportés parallèlement à euxmêmes en 7W3, s'obtiendront a l'aide des formules (i), en y remplaçante, j^, z par les coordonnées du point M3, rapportées à ces derniers axes, et $p, $q, dr par les composantes, parallèlement aux mêmes axes, de la rotation que doit effectuer la section T3 pour devenir parallèle à la section T', . Si la section T3 était située dans un plan parallèle à celui de la section T, les coordonnées du point M3 par rapport aux axes transportés en m^ seraient (a:)s= o, (j)=v', (2r) = j/. Le plan de T3 faisant un angle trèspetit avec celui de T, les valeurs précédentes diffèrent des coordonnées exactes de M3 de quantités très-petites, qui peuvent être négligées dans la pratique, et nous prendrons ces valeurs pour les véritables coordonnées de M3*

Les composantes de la rotation que doit effectuer la sec* tion T3 pour devenir parallèle à V^ sont égales kd$p\ d$(/^ dir\ parallèlement aux axes ma:\ niy\ niJ% En effet, la

CONSIDÉRÉBS DAMS L*ESPACK. l5

rotation qu'il faut imprimer à T' pour la rendre parallèle à Tj est égale à celle qu'il faut imprimer à T pour la rendre parallèle à Ti augmentée de sa différentielle par rapport à X. Les composantes de la première sont égales de même aux composantes de la seconde, augmentées de leurs différentielles par rapport à la même variable, car les composantes de la première rotation sont les valeurs que prennent les trois fonctions de la variable x, df/y $q\ dr\ lorsqu'on y remplace x par x -4- dx. Ces composantes sont donc dp-\-d^pfy $q^-{-d$q\ ^r'-\'ddr^y et, si l'on en retranche les composantes $p', dq\ $r^ de la rotation qui rend T parallèle à T^ on obtient celles de la rotation qui rend T3 parallèle à T'^, car cette dernière rotation, composée avec celle qui rend T parallèle à T< , a pour résultante celle qui rend ï' parallèle à T', .

Il faut donc remplacer, dans les formules (i), dp, $(/, or par d$p^, d^q\ dSr\ et ces formules donnent pour les projections du déplacement M3M0, dû au mouvement de rotation qui rend T3 parallèle à T, ,

(6) [^f)=zv'dâp\

I {^z).=z ^vd§p\

Ajoutant ces projections à celles de MaM» données par les expressions (5), on obtient, pour les projections dcMsM',,

l u =dlr.' + i'ci^r' — i/d^q\ ( 9 ) ) u'z=d^y -\-ds (?/ -f- pV/(?//,

1 u""— d^z — dsâq' — od^p.

16. Si la température de la pièce prismatique dans le second état d'équilibre n'était pas la même que dans le premier état, le déplacement M3M', serait la résultante des deux déplacements dus à la dilatation et à l'effet des forces

l6 CHAPiTRB I. — DBS PIÈCES PRISMATIQUES

extérieures. Dans ce cas, les projections du déplacement produit par les forces s^obtiendront en retranchant des valeurs précédentes de m, vl^ u!' les projections du déplacement dû à la dilatation. Soit t le produit du coefBcient de dilatation de la matière du corps solide par le nombre positif ou négatif représentant la variation de la température. Les projections de la distance rf/= MM' des éléments w et w' étant représentées par rfj/, dy', dz\ les projections du déplacement relatif de M' par rapport à M dû au changement de température seront rrfx', rdy, rdz^; les projections du déplacement produit par les forces extérieures seront donc

(8) i«'-Trf/,

Pour déterminer les valeurs de dx'y dj', dz', nous chercherons quel est le chemin parcouru par le point M lorsque la section T, dans le mouvement générateur de la pièce, se transporte en T'. Ce mouvement peut se décomposer en une translation égale et parallèle à mm! z= ds, et en une rotation autour du point m dont les composantes sont df/j dq'y dr'. Les coorc^onnées du point M, qui doivent être introduites dans les formules (i), sont (x) = o, (j^) = i^, (z) = ç»'. Les projections du déplacement de M dû au mouvement de rotation seront donc

(9) [^X]=^'àp\

( [§z) = — vdp'.

Les projections du déplacement dû au mouvement de translation, qui est égal à ds^ et parallèle à l'axe mx\ sont

{x) = ds\ (r) = o, (;:;) = o.

go«sid&b£es dans l'espace. 17

La distance MM^ résultant des deux déplacements précédents aura donc pour projections la somme des projections de ces déplacements, savoir

/ d.v? = ds-h vdi^ — v' dq\ (10) dy=s/dp',

\ dz* —^ vdp\

Soient p le rayon de courbure de la fibre moyenne au point m, et doL l'angle de contingence de la courbe au même point,

ds égal à —• Soient m {fig* 3) le centre de gravité de la sec-

lion T, et m! le centre de la section infiniment voisine T'. Soit mn la tangente à la courbe au point m. Prenons mn = mm! et supposons cet élément mn de la tangente invariablement lié avec la section T. Imprimons à cette dernière la rotation autour du point m nécessaire pour qu'elle devienne parallèle à T', et cherchons quel sera le déplacement du point n dans ce mouvement. Les composantes de la rotation qui rend T parallèle à T' sont rf//, dq', (fr\ et les projections du déplacement du point n sur les axes ma/, ^nj', mz' seront

I(^x)=o, (§x)=,^dsdr\ [Sz] =zdsdg'.

Soit n! la nouvelle position du point n {fig* 3). La ligne mn! est devenue perpendiculaire à la section T'; donc l'angle nmn' est égal à celui des deux tangentes en m et m' ou à l'angle de contingence doL. On a donc

nn'

ds Mais, d'après les valeurs précédentes des projections de 7in\

l8 CHAPITRE T. — DBS PlftCIS PRISMATIQURS

on à

d'où

iioL = s/dr'^ -f dq'* et ds = p sjdr'^ + dq'''.

Sî l'on porte cette valeur dans la première équation (lo), et si Ton remarque que, par suite de la petitesse des dimensions transversales et de la faiblesse de la courbure de la pièce, ç* et / sont des quantités très-petites par rapport à jO, on verra que les projections dx', dj\ dz* de ]a distance MM' des centres des éléments plans w et tJ peuvent être considérées, sans grande erreur, comme égales à celle de l'élément miifi=. ds de l'arc de la fibre moyenne, et l'on aura ainsi dj! •=. ds, dy' = o, dz'= o.

Les projections du déplacement produit par les forces extérieures seront donc, en remplaçant rf.r', dj^, rfz'dans les expressions (8),

u — -zdx^,

les quantités m, ni, u" étant données par les équations (7). Si l'on multiplie la première des quantités (la) par

-— et les deux autres par —jy les produits seront, d'après

l'hypothèse du n** 3, égaux aux composantes parallèles aux axes mx', my' , mz* de la force qui est appliquée au centre de l'élément w, c'est-à-dire au point M. Le centre M' de l'élément eu', en vertu de la réciprocité de l'action développée entre les deux éléments » et w', sera sollicité par une force égale et contraire.

CONSIDÉRÉES DAK8 l'eSPAGE. I9

Indépendance des effets des forces extérieures,

17. Supposons que, la pièce n'étant soumise à Faction d'aucune force extérieure, on lui applique un premier système de ces forces. Soient u^y u\ , u\ les projections du déplacement relatif du centre de wf produit par ce système. Supprimons ce premier système. La limite d'élasticité n'ayant pas été dépassée, les molécules reviendront à leur position primitive. Appliquons à la pièce un second système de forces extérieures, et soient u^, u\, u\ les projections du déplacement correspondant du centre dec»)'. Si l'on applique simultanément à la pièce les deux systèmes de forces précédents, les projections du déplacement relatif du point M', centre de w', seront égales à la somme des projections des déplacements produits séparément par chaque système; autrement dit, le déplacement produit par la résultante de plusieurs forces est la résultante des déplacements produits par chacune de ces forces séparément. Ainsi, dans l'exemple qui précède, le déplacement résultant a pour projections sur les axes U\ -I-Mo, w , ■+- «'^ ,

Ce principe, qui complète l'hypothèse du n** 3, suppose comme elle que les déplacements sont toujours très-petits. On peut le démontrer en remarquant que la force développée entre w et 0/ par un déplacement ayant pour projections i/| H- W2, u, -f-ï/j, m", ^-i/j est la résultante des deux forces que font naître séparément le déplacement ayant pour projections «1, m',, u\ et le déplacement dont les projections sont égales à u-î, u\j u"^, puisqu'il suffit de multiplier les projections sur un même axe par une même quantité pour obtenir les forces composantes parallèles à cet axe.

ao CHAPITRE I. — DBS PIÈGES PRISMATIQUES

18. Nous avons admis (n**16) que le déplacement dû à un changement de température et à un système de forces était la résultante des déplacements qui seraient produits séparément par chacune de ces causes. Ce principe est un cas particulier du principe d'indépendance des effets de plusieurs forces que nous venons de démontrer.

Une variation de température correspond à une addition ou soustraction de chaleur qui est entièrement comparable à l'application d'un système de forces.

19. Il résulte du principe précédent que pour déterminer l'effet produit par un système de forces, quelque complexe qu'il soit, il suffît d'ajouter les effets que produit séparément chacune de ces forces.

Réduction de toutes les forces élémentaires à une force

et à un couple.

20. Chacun des éléments de la section T analogues à w est sollicité par une force appliquée à son centre dont les

composantes sont égales a -7-7 [u — xds)^ —j- u , -p- u".

Désignons par R, R', R'' les rapports de ces forces à Taire w. Ces rapports seront, le premier la pression ou traction normale, les deux autres les tensions parallèles ou efforts tranchants par unité de surface de la section normale T. La distance ds^ diffère très-peu de ds (n® 16); on aura donc

ds

R"=iG3r- ^ as

COMSIDÉRÉES DANS l'eSPÀCB. 21

La force. élémentaire appliquée au cenlre de l'élément w a ainsi pour composantes parallèles aux axes maf^my'^ mzf les quantités Ro), R'w, R^'w, que nous désignerons par X', Y', Z'. Les coordonnées du point d'application M de cette force sont d'ailleurs j/=o,j^'=ç', z'=s/. Appliquons à l'ensemble des forces élémentaires analogues à la précédente les règles de la Statique qui s'appliquent à la composition des forces dirigées d'une manière quelconque dans l'espace, et nous composerons toutes ces forces en une résultante passant par le point m, origine des coor-: données, et en un couple unique. Les trois composantes parallèles aux axes ma/ y my\ niz' de cette résultante seront données par les équations

Les trois couples composants du couple résultant unique auront pour moments

(l5) I Mrz:2(Z'.Tr' — X'z'),

La lettre S indique des intégrales doubles qui s'étendent à tous les points de la section T et qui sont de la forme

ffV[vy)dvdvf.

Les fonctions F sont d'ailleurs entières et du premier degré par rapport à ç' et ç'' dans les formules (i4) et du second degré dans les formules (i5). En effet, si Ton remplace z/, «/, u" par leurs valeurs (7) dans les équations (i3),

on a, en multipliant par w= dvds/^

L "■*' ds ds J

L «5 ds J

que nous écrirons, pour abréger,

/ X' = (a -{.lv — eu')dvdi/, (i6) I T = [oL'-^e\'')dvdv,

Si l'on remplace dans les équations (i5) Jc^tj'f z* par leurs valeurs x'=. o^ j' = ç», z* = v\ après y avoir mis les valeurs précédentes de X', Y', Z', on obtient

Si l'on remarque que le point m est le centre de gravité de la section T, et que l'on a, par suite, Jfvdvdv'=o^ ffv'dvds^=o^ les intégrales doubles des équations (i6) se réduiront à

/ X =r «il,

( Z —(i"Ll,

en désignant par Q. Vdxveffdv d^* de la section T.

Les axes my' ^ iut! étant les directions des axes principaux d'inertie de la section T, on a Jfvv'dv dv' = o? et, si Ton représente par I =ff{ v^ -+- v^') dvd{f le moment d'iner-

CONSIDÉRÉES DANS l'eSPACB. a3

lie polaire de la section, c'est-à-dire soa moment d^inertie par rapport à Taxe mod mené par son centre de gravité perpendiculairement à son plan, par 1'= Jf^'^ dsf dv' et \"=Jfv-dv dv' les moments d'inertie de la même surface par rapport aux deux autres axes mjr', mzf, les équations ( 1 7) se réduiront à

(19) L==e'I, Mr=er, N = /F.

Ces trois équations et les équations (18) deviennent, en remplaçant a, a', ol"^ /, e et e'par les quantités que ces lettres représentent dans les équations (16),

(20) / YrizOa^^H-^/'V

as