II=EI

fis

Toutes les forces qui sollicitent la section T se trouvent ainsi ramenées à une résultante et à un couple uniques.

21 . Composons de même en une seule force passant par le point m et en un seul couple le système des forces extérieures appliquées à la pièce entre la section T et l'extrémité B {fig' i); appelons cette force P et ce couple H. La partie de la pièce mB est en équilibre sous Taction : 1® des forces moléculaires intérieures; 2? d'une force et

d'un couple appliqués à la section T', égaux et contraires à la force (X, Y, Z) et au couple (L, M, N) appliqués à la section T; 3" de la force P et du couple H. Les forces moléculaires intérieures se détruisent comme étant égales deux à deux et de signes contraires ; donc les deux forces et les deux couples dont nous venons de parler doivent se faire équilibre, donc la force P est égale à la force (X, Y, Z) et le couple H au couple (L, M, N). Ainsi les équations (19) et (20), dans lesquelles X, Y, Z, L, M, N seront remplacés par leurs valeurs en fonction des données relatives aux forces extérieures, représenteront les six équations de l'équilibre des pièces prismatiques.

Si l'on différentie les équations (2) et (3) (n®* 13 et 14), et qu'on les divise par ds, en combinant les trois dernières avec (21), on obtiendra les différentielles des trois inconnues J/7, 5^, 5r sous la forme

(22) I d^q=/i[x)dr,

( dâr=f,{x)dx.

On obtiendra donc ces trois inconnues par des quadratures. On remplacera dans les équations (20) 5//, di^ par leurs valeurs en J/;, ^q, Sr, tirées de (3), puis ces dernières par leurs valeurs données par les intégrales de ( 22 ), et l'on pourra tirer des équations (20), combinées avec les différentielles de (2), les valeurs des différentielles des trois inconnues Sx, Sj, Sz, savoir

d^x =zF{j:]d.r, d§j = F^ [j:)djc, dâz = Fj [x]d,r,

ce qui fera connaître ces inconnues au moyen de trois nouvelles quadratures.

Si l'on divise les deux membres des équations (16) par

CONSlDÉRftES DASfS LESPACB. 2$

dvds/j les premiers membres seront égaux à R, R', R", el l'on aura

R =r a -\- Iv — ev\

Mais on tire des équations (i8) et (19)

on aura donc

X Ne; Mi»' R = —

Lorsque les forces extérieures sont toutes connues, les quantités X, Y, Z, L, M, N sont aussi connues, et les seconds membres des équations précédentes, ne contenant que des quantités données R, R', R'', sont entièrement déterminées, sans qu'il soit nécessaire de recourir aux équations (20) et (21). Mais, quand la pièce s'appuie par les sections extrêmes sur des plans inébranlables, elle en éprouve des réactions inconnues.

Dans ce cas, il faut recourir aux équations (ao) et (ai) pour déterminer les forces inconnues. Les forces extérieures seront alors toutes connues, et les équations (aS) donneront les valeurs de R, R', R"^, ce qui est le but final du problème de la résistance des matériaux. Ces quantités devront toujours être inférieures aux valeurs qui correspondent à la limite d'élasticité.

a6 CHAPITRE 1. — DES PIÈGES PRISMATIQUES

ARTICLE II

CAS OU LES FORGES EXTÉRIEUHES SONT SITUÉES DANS UN PLAN QUI CONTIENT LA FIBRE MOYENNE ET PARTAGE LES SECTIONS NORMALES EN DEUX PARTIES SYMÉTRIQUES.

§ I. — Formules simplifiées déduites des précédentes.

22. Prenons ce plan pour celui des xz. La composante Y de la résultante des forces extérieures sera nulle, car toutes les forces sont situées dans un plan normal à Taxe Oj. Le couple résultant de la composition de ces forces étant situé dans ce même plan, l'axe de ce couple est dirigé suivant l'axe desj^, et les deux autres sont nuls. On a donc L= o, N= o. La droite d'intersection du plan xz et de la section T, divisant celle-ci en deux parties symétriques, est un des axes principaux d'inertie de cette section normale . Donc les deux axes mod^ mz' sont situés dans le plan des xzy et l'axe my* est parallèle à Oy.

La première et la troisième des équations (21) se réduisent kd5p^=oetdS/^= o. Les composantes de la rotation de T parallèlement aux axes mx^^ mz' étant nulles, on en conclut que l'axe de cette rotation est dirigé suivant mj\ parallèle à Ojr. Ainsi le déplacement de la section T par rapport à la section infiniment voisine est composé d'une rotation autour d'un axe parallèle à Oj^, plus un mouvement de translation. Ce dernier est parallèle au plan xz. En effet, Y' étant nul, la seconde des équations (20) donne

as

Pour déterminer la valeur de 5/', introduisons dans les formules (3) les valeurs des coefficients angulaires qui