CONSIDÉRÉES DANS LE PLAN
résultent de la situation actuelle des axes ma/, mj\ mz'. Ces valeurs sont
et les équations ( 3 ) deviennent ou, en dififérentiant,
d^'=id^q, de/=:a''d$p-hc''der.
Les premiers membres de la première et de la troisième étant égaux à zéro, on en conclut ddp = o^ddr =-o. Ainsi Sp et dr sont des quantités constantes, et, comme nous admettons que la section normale au point A, origine de la pièce, ne peut tourner qu'autour d'un axe parallèle à Oy, ces constantes sont nulles, et Ton a Sp= o^ dr = o.
La première et la troisième des équations (24) donnent alors $p^=Oy âr^= o. Par suite de cette valeur de Sr\ celle de dây est égale à zéro. Mais, si l'on introduit dans les formules (2) les valeurs des coefficients angulaires, ft = o, a'= o, . . . , ces formules deviennent
et, en différentiant,
d^.K'= a d^x -h cd$Zy
[in) {d^y-^d^x,
dâz' — a^'d^jc -h c^dâz.
a8 CHAPITRE I. — DES PIÈCES PBISXATIQUES
La seconde des équations précédentes, qui se réduit à ddj =^o^ montre que $y est une constante, et, si Ton suppose que le point A ne puisse se déplacer que dans le plan a:z, cette constante sera nulle, et Ton aura $j = o.
Ainsi, des six inconnues 3x, dy, dz, Sp, $q, Jr, trois sont constamment nulles, savoir $j^ dp et h\ Les trois autres seront données par la première et la troisième des équations (20) et la seconde des équations (21), combinées avec la première et la troisième des équations (27) et la seconde des équations (aS). Les coefficients angulaires a, c, a", d^ peuvent s'exprimer en fonction de Tinclinaison de la tangente mod sur les axes Ox, Oz. En effet, a est le
cosinus de Tangle de mad avec Ox, ou — ; c est le cosinus
de l'angle de maf avec O^, ou — ; a" est le cosinus de l'angle que fait la normale m z' avec l'axe des j:, c'est-à-dire le sinus de {ma/y Ox), pris négativement : c'est — — ;
enfin, cf\ cosinus de l'angle de mz' avec Oz, est égal à y
Remplaçant les quatre coefficients par leurs valeurs, on obtient, pour les deux inconnues d$x^^ d$zf^
d^x' = — d§x -^— d§Zy ds ds
dâd = 1 d§x-\- -^d^z,
ds ds
qui, résolues par rapport k dâx eidSz^ donnent
d§xz=z — d§x' d§z\
{a8) ,dsds
d^z— — d§z' -h -- d^x', ds ds
GONSlBÉRfiES DAMS LE PLAN. 29
La première et la troisième des équations (ao) donnent ddxf etdSzf^ savoir
, ds' ^ "~ En*
la quantité dq est mise à la place de $q', à cause de la seconde des équations (24). La seconde des équations (ai), en remplaçant ddq* par d$q et supprimant Taccent de I', puisqu'il n'y a qu'un seul moment d'inertie à considérer dans la question actuelle, donne
^ ^ ds El
Les valeurs de R, R', R'' données par les équations (aS) deviennent, en y faisant Y = o, L = o, N = o,
"" a "~ I ' (3i) iR'=o,
§ II. — Démonstration directe des équations (29), (30) et (31), correspondant au cas où la fibre moyenne est située dans nn plan partageant les sections normales en deux parties symétriques et contenant les forces extérieures.
23. Soient AmB {Jîg- 4) l^i fibre moyenne, O JC, Oz deux axes coordonnés rectangulaires situés dans son plan ; soient CD, CD' les traces des plans de deux sections normales infiniment voisines, T, T'; m et m' les centres de gravité de ces sections, situés sur la fibre moyenne AB. Partageons
3o CDàPITRB I. — DBS FiftCES PRISMATIQUES
ces sections en trapèzes par des perpendiculaires infiniment rapprochées, menées sur les droites CD, CD'.
Soient M le centre de gravité de Tun de ces trapèzes dans la section 1\ v la distance de ce point au centre m de la section, et X la demi-somme des bases du trapèze. L'aire tù de ce trapèze sera co = \dv^ en négligeant un infiniment petit du second ordre.
Désignons par les mêmes lettres affectées de l'indice i , pour le second état d'équilibre, les mêmes choses que dans le premier état d'équilibre représenté {fig^ 4)- Cherchons les projections u et u' sur les axes mx', mz* du déplacement qu'éprouve le point M' par rapport à ces axes, supposés liés invariablement à la section T, sous l'action des forces extérieures. Tout étant symétrique par rapport au plan xZy le déplacement d'une section quelconque peut se décomposer en une translation parallèle à ce plan et en une rotation autour d'un axe perpendiculaire au même plan.
Transportons le solide AB sur le solide AjBi, de manière à faire coïncider la section T avec la section Tj . D'après ce que nous venons de dire, on obtiendra ce résultat en imprimant au solide AB un mouvement composé d'une translation égale et parallèle à mmi (y^g'-S), et d'une rotation autour d'un axe mené par le point m, perpendiculairement au plan xz. Soit iq l'angle très-petit qui mesure cette rotation; soit a l'angle que fait la tangente ms^ à la courbe mB avec l'axe Ox, Les projections de la translation Tmn\ sur les axes ma/, niz' étant désignées par Jx', ^z\ on aura
. . ( ^.r' -=: ^x CCS a -h ^z sina,
( (Î3' = — ^x sina -A- $z ces a,
les projections du même déplacement mm\ sur les axes O j", Oz étant représentées par àx^ dz. Les projections de m'm\ ,
C0> SIDÉRÉES DANS LB PLAN. 3l
du déplacement du centre de la section T', infiniment voisine de la section T, sur les axes ma/, mz sont égales à Jj/-t- d $a/^ Js'-f- d $z\ car ce sont les valeurs que prennent les fonctions âx\ Sz\ lorsqu'on y remplace x par x -h dx. Soit 7^3 ( fig. 5) la position que vient occuper le point m' lorsque la section T du solide AB coïncide avec la section T, du solide A|B,. Les projections du chemin m' /w, sur les axes mx\ mz' seront égales à la somme des projections des deux chemins parcourus par le point m' dans les mouvements de translation et de rotation dont nous venons de parler. Le premier de ces deux chemins est m'/Wj, égal et parallèle à mm^y et ses projections sur les axes mj/, mzf sont égales à Sx\ Sz\ Dans le mouvement de rotation, la droite mm! décrit un angle cJy, égal à l'angle des plans des deux sections T et T<, et l'arc 7n'm« décrit par le point w' dans ce mouvement est égal à dq ds, ds désignant la longueur wm' de l'élément infiniment petit de l'arc de la courbe AmB. Ce chemin, étant perpendiculaire à mj/, se projette en vraie grandeur sur l'axe m,zfy tandis que sa projection sur mx' est égale à zéro. Les projections de m'm^i seront donc égales à ^x' et dz'-i-Sq ds.
Nous venons de voir que la distance des points m' et m\ {fig- 5) avait pour projections 5x'-hrfJx', àz-^ddz' Or cette distance est la résultante du côté m'ma et du côté in^m^\ on aura donc les projections de ce dernier en retranchant de celles de m!m^ celles dem'/îia, et il restera ainsi, pour ces projections,
^ ^ \ d§z'—fîs^.
Soit M3 [fig. 5) la position du point M^ lorsque T coïncide avec T| . Le point M coïncide alors avec M| , et la distance M3 M', est le déplacement relatif cherché dont les
projections ont été désignées par u et uf. Pour avoir cette distance, nous chercherons le chemin parcouru par le point M3 lorsque la section T3 qui le contient, et dont le centre est en ma, vient coïncider avec T^ .
Le mouvement de la section T3 qui l'amènera en T, peut se composer d'une translation M3M4 {Jig' 5 ), égale et parallèle à m^ 7n\ , et d'une rotation autour d'un axe mené par le point m^, perpendiculairement au plan xz. L'angle de cette rotation doit être égal k dâ/f, car l'angle des plans T' et T^\ est égal kâq-hdâq, et, en amenant T sur T< , on a fait tourner le plan T' d'un angle égal à S(j et on l'a amené dans le plan ïg. Donc ce dernier ne fait plus qu'un Single d$(f avec T, . Dans ce mouvement de rotation, la droite msMs, dont la longueur est égale à t^, décrit un angle égal à rf cî^, et le point M3 un arc M3 Mo égal kvd^q. Les projections de ce déplacement sur les axes mxf^ inz'de la^ig". 4 diffèrent de quantités très-petites des projections du même déplacement sur deux axes rectangulaires, dont l'un, situé suivant 7n3M3, serait pris pour axe des z\ et l'autre, perpendiculaire au précédent, serait pris pour axe des X''. N'oublions pas que les parties positives des nouveaux axes doivent toujours conserver la même position relative. Nous prendrons, sans erreur sensible pour la pratique, les secondes projections pour les premières, et nous obtiendrons ainsi une valeur égale à — vdâ(/ sur l'axe des j/ et à zéro sur l'axe des z'. Ajoutant ces valeurs aux projections (2) du déplacement M3M4 dû au mouvement de translation, on obtient, pour les projections m, z// du déplacement résultant M3M'^ iJ^S' ^)>
Si la température n'était pas la même dans le second état
GOKSIDÉRÉES DAKS LE PLAN. 33
d'équilibre que dans le premier, le déjplacement M3M', serait la résultante des deux déplacements dus à la température et à TefFet des forces extérieures ; les projections du déplacement dû à l'effet des forces seraient donc égales aux projections du déplacement M3M', , diminuées de celles du déplacement dû à la température.
Or, la distance MM' diffère peu de ds; la variation de cette distance, dû à un changement de température, peut donc être prise égale à rds, r étant le produit du coefficient de dilatation par le nombre de degrés dont la température a varié. La direction de la droite MM' étant parallèle à l'axe ma/, les projections du déplacement zds seront égales, la première k zds sur l'axe ma/ et la seconde à zéro, sur l'axe des z\ Les projections du déplacement dû à l'effet des forces extérieures seront donc
les quantités u et u' étant données par les équations (3).
Réduction de toutes les forces intérieures à une force
et à un couple.
24. Le trapèze w est sollicité par une force appliquée à son centre M, dont les composantes parallèles aux axes mx*,
Désignons par R, R' les rapports de ces forces à l'aire w du trapèze, base du prisme infiniment mince, ayant pour base supérieure le trapèze w' de la section infiniment voisine. Le premier rapport R sera la pression ou traction normale, le second l'effort tranchant par unité de surface de la section normale T. On aura, pour ces deux quantités,
en remplaçant ds^ par ds,
La force qui sollicite le point M a donc pour composantes parallèles aux axes ma/, mzf les produits Ro), R'co, que nous désignerons par X' et Z'. Les coordonnées de son point d'application M sont a'= o, z' = v. Appliquons à toutes les forces analogues appliquées aux éléments de la section T les règles de la composition des forces situées dans un même plan et rapportées à deux axes rectangulaires mx', mz', et nous les composerons en une résultante unique passant par le point m et en un couple situé dans le plan. Les deux composantes de la résultante unique seront données par les deux équations
(6) X=2X', ZzrrSZ'.
Le moment du couple sera
La lettre 2 indique une intégrale qui s'étend du point G jusqu'au point D [fig* 4)> et qui est de la forme fV[if)dv, Remplaçons u et u' par leurs valeurs ( 3 ) dans les équations (5 ), après avoir multiplié ces dernières par c«)= Xrfv' ; nous aurons, pour les composantes X', TJ de la force appliquée au point M,
as
