CONSIDÉRÉES DANS LK PLAN
y remplace a, a! et / par leurs valeurs tirées des équa-
tîons fii), savoir «=--? a=r=-, / = --, on obtient
^ ^' il 11 I
X Mr
Nous avons retrouvé ainsi les sept équations (28), (29), (3o) et (3i) clun"22, savoir les équations (la), (i3) et (i4), dans lesquelles R' représente la quantité désignée par R" dans les équations (3i).
Les équations (20) peuvent recevoir une importante simplification dans plusieurs cas de la pratique. Elle consiste à négliger les quantités ^1 -— ^ r^—j généralement
Ea Gu Gii
. , €/Jx' dh' r/oV tres-petites par rapport aux quantités — 1— ï —f-y —y-»
ce qui réduit ces équations à
dlr'
ds
dêy ds
-f-(îr'=o,
Les deux dernières expriment la condition que les sections normales à la fibre moyenne du solide A6 dans le premier état d'équilibre restent normales à la fibre moyenne du solide A^Bi correspondant au second état d'équilibre. En efiet, si cette condition était remplie, après le mouvement de la pièce AB qui fait coïncider la section T avec la section Ti, le point m', qui occupe la posî-
tîon ms {Jig- 2), serait situé sur la droite nt^m^, puisque mm! est normal à T et mim', normal à T<. Mais les projections de la distance m^m\ sur les axes ma/, mj^', mzf^ transportés en m^x\j ni\y\y m\z\ lorsque T a été transporté en T| , ne diffèrent que de quantités négligeables des projections de cette même distance sur les axes mx', my\ rmf. On pourra donc prendre les premières pour représenter les valeurs de celles-ci. Or, les premières sont égales à zéro sur les axes Tn^y\ , nt^ z\j qui sont perpendiculaires à la direction de m^m^. Mais, si Ton cherche la valeur des projections sur mj^', mz! de la distance m^m^^ on trouve les expressions (5) du n° 14. On aura donc
Ces équations expriment donc la condition que les sections normales à la fibre moyenne restent normales à cette fibre dans le second état d'équilibre de la pièce.
Cette condition exige que —-9 r^— soient des quantités
négligeables par rapport à J/-'^ 5/. Or les équations (21) donnent
Soient a:, 7, z les coordonnées du point où la résultante P (n® 21 ) rencontre le plan x'z' de la section T. Les moments M et N seront M = — ^X, N=^X. En supposant constantes les quantités — pj =-^5 on a, en désignant par 5 la longueur de Tare comprise entre les deux limites de l'intégrationj -gp- = gF' J Ët"^ ÊF' ^* en remplaçant M
CONSIDÉRÉES DANS LE PLAN. Bp
et N par leurs valeurs,
. , zXs
El"
Ainsi les quantités p— > p— doivent être négligeables
par rapport à — f j —^ • Cette condition est très-souvent
réalisée dans la pratique. Elle Test notamment dans les arcs à grand surbaissement, où X est très-grand par rapport aux autres composantes Y, Z, surtout lorsque les
rayons de gyratîon dont les carrés sont — » — ont de trèspetites valeurs par rapport aux produits zs, y s, comme cela a toujours lieu pour les pièces dont les dimensions transversales sont très-petites par rapport à la longueur. En effet,
—7» — ^) carrés des rayons de gyration, sont d'un ordre de
grandeur comparable à z* ou j- ; donc les rapports de ces
carrés aux produits zs, y s sont comparables à- » -> quantités très-petites.
4o CHAPITRE II. — PIÈCES EN ARC DE CERCLE.
