CHAPITRE II. -— PIÈCES EN ARC DE CERCLE

Prenons pour variable indépendante l'angle que fait le rayon vecteur Om avec l'axe OJ. Les valeurs de cet angle w seront prises positivement à droite et négativement à gauche de OJ; elles varieront depuis — a jusqu'à -f-of, entre les deux extrémités A et B de la pièce.

Cela posé, la valeur de M [voir formule (7), n° 24] sera donnée par l'équation

[Ij) M=: M'-h L — Qr(cosw — cosa) -h P/(sina — sinw).

Mettons cette valeur dans la première des équations (2), rd(ù à la place de ds^ et nous aurons

— 0/'*fcosw — cosa) =—■ -+- Pr'fsina — sinw) =r^' ^ \ ^ El ^ 'El

Multiplions par E et intégrons depuis — « jusqu'à «, c'està-dire depuis le point A jusqu'au point m; nous aurons, en désignant par ô(/o la valeur de $q à l'origine A,

dans laquelle A = P/'^ sina -f- Qr^ cosa -+- Lr.

Mettons dans les formules (2) la valeur de $q tirée de l'équation précédente, rrfwcosw à la place de dx, rrfwsinw à la place de dz, et nous aurons, en multipliant par E,

Ed^.T — —r9in(ùd(d[E^go'hrj — kA/ -r-

^ . /*** sin&>r/&> ^ - /*" cos»<3fc) \

DftTERIlINATION DB P, Q, L. 4^

Intégrons maintenant les trois équations (3), (4)? (5) depuis — a jusqu'à or; nous aurons, en désignant par iq^ la valeur de ^q à l'extrémité B; par ^x^^ 5.ri, iz^ et iz celles de dx et $z aux extrémités A. et B,

^ ^ r sm fpidM rx % C cos6>

= — rEo^o / smwrTw — /•* I Ismuau I — ^ — I

r= rE^7o I coswrfM -^ r* j l cos6>^(m / — — j

{8)1 r'^f rdA r( r'^sînw^wN

^ -1- r A 1 l cosw^/w I -^ 1 — P''* / l coswrt» I — =^ — I

r^ ^ r* f , /*** COSWûf(w\

— Qr' I Icosw^w I 1-

44 CnAPITRB II. — PIËGB8 XN ARC DS CERCLE.

27. Les deux dernières équations contiennent des intégrales doubles qui peuvent être remplacées par des intégrales simples à l'aide de l'intégration par parties qui donne les résultats suivants :

/ I sintadbi I — - — 1= I — - — (cosw — cosajy

Cf. . rd^\ rd^. .

I 1 smuoSu I —1=1 —(cosw — cosa],

r* f ' . r** 8in«c/w\ r^sinùidM, .

I I sinbid(ù I — )= I — j — (cosw — cosa),

r^ [ • > r"* co^(ùd(ù\ r*cosw^w, .

I I smw^/w I — - — • 1=1 (cosw — cosa),

rV ^ r'^M'r/wN f M'rfw , . . ,

I (COSwaw I ) ^^ / (sina — sinw],

I I cosw^w / -r- I = I — (sma — smw),

/**/ , /*" sinw^w \ /** sinwr/w , . . .

I (cosw//w| )^=/ ï (sma — smw),

/*/ , /*** COSwr/fâ> \ /* COSW//w, . . .

(coswc/w I j=: I — = (sma — smw).

Posons, pour abréger,

/* M'cosw^w

Xcosw^w

DÊT£K1IIJNAT10N DE P, Q, L. 4^

Les deux premières des huit intégrales précédentes seront

pi — Oq cosa.

La troisième est égale à zéro. En effet, les deux valeurs de la différentielle correspondant à deux points symétriques pour lesquelles o) a deux valeurs égales et de signes contraires sont elles-mêmes égales et de signes contraires, car les valeurs de I sont les mêmes pour ces deux points, par suite^de la symétrie de la pièce par rapport au plan vertical perpendiculaire sur le milieu de la corde AB.

Posons

cos w dùi

et la quatrième intégrale deviendra

P2 — Pi cosa.

Ps>

£n posant

M'sinwf/w

la cinquième intégrale devient

/TZosina — /Wj.

L'intégrale j — - — est nulle comme composée d'éléments égaux deux à deux et de signes contraires. La sixième intégrale se réduira donc à

Po sin«.

En mettant dans la septième i — cos^o) au lieu de sin^w, elle devient

pi — Po-

La huitième, dans laquelle 1 . est nulle