CHAIMTKK II. -> PIÈCES EN ARC DE CERCLE
n désignant le poids total de la pièce et des charges qu'elle supporte lorsque ces charges sont symétriques.
En effet, formons l'expression de M' (n° 26). Soit g la distance horizontale de la résultante Z' à l'axe vertical OK {fig- y)' Cette force Z' est la résultante des forces verticales appliquées à la partie de la pièce située à droite de la section LN (n» 26). M' est le moment de cette résultante par rapport au point m, centre de gravité de la même section. On a donc
Soient L'N' la section normale symétrique de LN; Z",M''
les valeurs de 7/, M' correspondant à cette section. Par
suite de la symétrie des forces, la résultante appliquée au
solide ECUN' est égale à Z', appliquée à son symétrique
FDLN. On a donc
Le moment M'^ est égal à la somme des moments par rapport à m' de la résultante 7/ et de celle qui est appliquée au solide LNN'L^ Cette dernière, passant parle sommet de l'ai'c, est égale à II — aZ'. Le premier moment est égal à Z'(g^4-r sinco) et le second à (H — aZ')rsinoi). Il en
résulte
M"=g'Z'-hrsinw(n — Z').
Les deux éléments différentiels de l'intégrale m2, qui correspondent aux deux points wet m\ ayant pour coordon-
nées angulaires co et — w, ont une somme égale a . ;
on aura donc
/Tlj
r*/lIrsin*6)£/«\
Mais on a
Jf**sin*w^w r dca r cos'w^w , , v
DÊTERSIPTATIOiN DE P, Q, L. 40
on en conclut
ainsi que nous Tavons indiqué plus haut. Ainsi, dans le cas de l'immobilité des sections extrêmes, où les variations Jyoi 5^i, Jzo, ^Zx sont nulles, la formule (i4) se réduit à
Ce résultat, qui est évident a priori lorsque les sections extrêmes sont inébranlables, serait tout différent sans cette condition. La réaction de Tappui de droite serait donnée par la formule
Ersina ((î^o -^ ^q\ ) — E(o^'i — ^-0) n
et pourrait être très-différente de l'appui de gauche; la somme des deux réactions est d'ailleurs constamment égale à n. La formule précédente montre qu'elles seront égales
entre elles et à - toutes les fois que la quantité
rsina((?7o -+- §qi] — §z^ -h §Zq
sera nulle, ce qui peut avoir lieu d'une infinité de manières, dans le cas par exemple où les sections extrêmes éprouvent des rotations égales et de signes contraires, et par conséquent symétriques, ce qui donne Sqo^h Sq^ = o> et où les déplacements verticaux sont égaux, ce qui donne encore J3 4 — Jjq = o.
31. Introduisons dans les formules qui donnent les valeurs de Q et de L (i3) et (i5) la condition de l'immobilité
5o CUÀPITRE !!• — PIÈGES EN ARC DB CERCLE.
des sections extrêmes, et ces formules deviendront
(ig) L-r=-r(Psina-^Qcosa; + £i^LIlfiZ!î<î.
poPi — Pi
Les cinq intégrales que représentent les lettres /Wo, m^y po, jDj, p2 (il® 27) se calculeront lorsqu'on connaîtra la fonction I, moment d'inertie de la section normale, en un point quelconque m ayant pour coordonnée angulaire «, pris pour variable indépendante.
Calcul des modifications des valeurs rfe P, Q, L, résultant de la substitution des équations complètes ( i ) aux équations approchées (2).
32. Nous n'avons plus à nous occuper ici que des nouveaux termes introduits par cette substitution dçins les équations (9), (10), (11) et suivantes.
Les expressions de X et Z, projections sur les axes m a/ y m, 7! de la résultante de toutes les forces appliquées à la partie de la pièce située à droite de la section T, sont
( X~ Qcosw H-(P -hZ'jsino), '^^ ( Z =— Q sinw -t-(P-|-Z')cosw.
Substituant dans les deux dernières équations (i) et intégrant comme précédemment, on obtient, pour les termes complémentaires de l'équation (10) et 0' de l'équation (11),
maETrsina-f-Qr - (j^ -+- h — - j (j^ -f. h — q) ''-i»
DÉTERMINATION DE P, Q» L. 5l
dans lesquelles les lettres Jq, Œo, Zq^ Z|, ^2 sont les intégrales suivantes :
cos*we/w
* Z'sinwcosw^oï
/* COS*tt
Les polynômes 0, 0' sont de la forme
= mQ -h II, e'=zm'P-l-/î',
les lettres m, 72, w', n' désignant les quantités
H = sErTsina H-
»''='• (q —nff2 4-0-0
rz,-4-r2o.
Les trois équations (9), (10), (11) seront donc
poA~-pir*Q = f,
— ark -h ( ^r' 4- /») Q = c' — /i,
rAposina — ['''{^2 — Po)— 'w']? — Qr'pjsina =: c" — n'\
