CHAPITRE III. — STABILITÉ DES VOUTKS EN ARC DE CERCLE

Hypothèse sur la répartition des forces extérieures,

34. Les forces appliquées à la pièce sont le poids propre de la voûte et celui de la construction qui la surmonte, y compris les parapets.

Soient

AB {Jig- 9) la fibre moyenne de la demi-voûte; CD, FE les demi-arcs d'intrados et d'extrados; OP, OP' les traces des plans de deux sections normales infiniment voisines NS, N'S'.

L'aire du trapèze NSS'N peut être prise pour mesure du poids de la partie de voûte comprise entre les deux sections NS, N'S'.

Soit FH une verticale menée par le point F, extrémité de Tare d'extrados. Cette droite limitera la partie de la construction qui pèse sur la voûte. Menons par les points S, S' deux verticales ST, S'T' ayant des longueurs égales et telles que l'aire du trapèze STT'S' mesure le poids de la partie de la construction comprise entre les deux plans ST, S'T', perpendiculaires au plan de la figure. Si l'on fait la même construction pour chacun des éléments de voûte NSS'N', le lieu des points T ainsi obtenus formera une ligne GH limitant une aire EGHF qui mesurera le poids total de la charge de la voûte. Cela posé, traçons un arc de cercle GI ayant son centre sur la verticale du point O, centre de l'arc moyen, et terminé au rayon 01 passant par l'extrémité B de cet arc moyen. Supposons que la longueur du rayon de cet arc GI soit déterminée de manière que l'aire EGIF soit équivalente à l'aire EGHF.

Portons sur les rayons Om, Om' des longueurs QR,

D*ÊPA1SSEUR YARIABLB* 5']

Q'R', égales aux longueurs NP, N'F comprises entre l'arc d'intrados AB et l'arc GI; les milieux de QR, Q'R' étant situés en m et m'y les lieux géométriques des points Q et R seront deux arcs de courbe LM, JK tels que l'aire QRR'Q' ne difTère de l'aire NPP'N' que d'une quantité très-petite. Nous supposerons que cette dernière mesure le poids de la partie de voûte comprise entre les sections NS, N'S', augmenté de la partie de la surcharge qu'elle supporte, et, remplaçant cette aire par QRR'Q', nous admettions que la résultante des poids qu'elle représente est appliquée au centre m de la section NS.

Il est bien difficile d'apprécier avec exactitude la manière dont le poids des murs de tête, celui des massifs de remplissage compris entre ces murs, ainsi que ceux des parapets et de la chaussée, se répartissent sur les divers points de la surface d'extrados de la voûte ; mais les hypothèses que nous venons de faire dans le but de simplifier les calculs peuvent être considérées comme représentant cette répartition d'une manière suffisamment exacte dans la plupart des cas de la pratique.

La hauteur QR du quadrilatère QRR'Q' peut s'exprimer en fonction de w par une formule entièrement semblable à la formule (3), savoir

(6) Hi=:A — Bcosuy

les constantes A et B étant déterminées par la condition que les valeurs de H correspondant à o)= o, « = a soient égales à Eo = JL, E, = KM.

Les constantes ainsi déterminées sont

, , , I — cosa

I — coscc

58 CHAPITRE III. — STABILITt DES TOUTES EN ARG DE CERCLE

Le poids de l'unité de volume de la voûte étant représenté par TT, la force élémentaire appliquée au point m

sera

dZ'—'î:lJYLds.

Remplaçons la longueur ds^= mm! {fig* 9) par sa valeur rd(ù et H par la valeur que prend le second membre de l'équation (6) quand on remplace A et B par les valeurs (7), et nous aurons

^'= fTrL'rEo -+- 7rL'r(Ei - Eo) iH^^iîî] ^« L V 1 wy j cosa J

que nous écrirons, pour abréger,

(8) dl'zzi [A'-f- B'(i — cosw)]^w,

les lettres A', B' représentant les quantités

T'.AzLEl-n' ttLi r — o .

I — cosoc

Intégrons l'équation (8) entre les points A et B [jîg. 9), c'est-à-dire depuis co = o jusqu'à o) = a, et nous aurons

[a] - = A'a-f-B'(a— sma).

Ainsi la valeur de l'inconnue P, réaction verticale de chacun des appuis, donnée par la formule (22) (n** 32), sera

(10) P=: — A'a — B'(a— sina).

35. Cherchons actuellement les valeurs de Tl et M' qui entrent dans les intégrales mo, /«o z^^ servant au calcul de Q et L donnés par les formules (22) et (23), (n*** 27 et 32).

D*ÉPA1SSEI]R yâaiable. Sg

Intégrons là formule (8) entre les points m et B, et nous obtiendrons la valeur de Z', savoir

(il) Z'=::A'(a — w)-f-B'(a — w)-"B'(sina — sin«).

Soit ^ la distance du point d'application de cette résultante à la verticale du sommet de Tare. La quantité M', moment de cette résultante par rapport au point m, centre de la section KL {^fig* 8), sera donnée par l'équation

M'=^Z'— rsinwZ'.

Le produit g'Z', moment de la résultante Z' par rapport au point I, est égal au moment par rapport au même point du

poids - de la demi-voûte et de sa surcharge, moins le mo-

ment du poids Z', appliqué à la partie de voûte com-

prise entre la section JH à la clef et la section KL [fig^ 8). Pour obtenir ces deux moments, il faut intégrer le produit rûntùdTJ depuis zéro jusqu'à a d'une part, d'autre part depuis zéro jusqu'à w, et, retranchant le second résultat du premier, on obtiendra la quantité g^Z'. Désignons par M^ la valeur du premier résultat, c'est-à-dire le moment de la demi-construction par rapport au sommet de l'arc moyen; nous aurons

(12) M'i=^^ 7'A'(i— cosa)-f- rB' ( i — cosa ]•

Désignons le second résultat par M'', et nous aurons de même

(i3) M"= rA'(i— cosw)-l-rB' (1 — cosw — ^—^ -\^

et la valeur de M' devient

(i4) M'=r M'i— M"— /'sinwZ'.

6o chàpitrs m. — stabilité des toutes en arc de cercle

La valeur de 71 est donnée par Téquation ( ii ) et peut se mettre sous la forme

en représentant par Z'' le poids de la partie de la construction située entre la clef et la section KL (Jîg' 8), savoir

{i5) Z"=A'«4-B'(« — sînw).

Nous pouvons former maintenant l'intégrale

11 faut pour cela remplacer Z", Z', M^' par leurs valeurs en fonction de o) dans l'expression de M', donnée par l'équation (i4)> multiplier les deux membres de cette équa-

tion par — > et intégrer depuis — a jusqu'à a; on obtiendra ainsi

mo=(M:-rA'-i;-B')po ^' ' ^ -+-(rA'-+-;-B')p,+ — pj + (/-A',4-rB')/,

dans laquelle les lettres po, fo pa sont les intégrales indiquées n° 27, et la lettre p' est l'intégrale

sino) ,

, / w su

Pour former l'intégrale

__ r*ivrc(

a , ... COSw ,

nii=z I doi,

il faut augmenter d'une unité les exposants de cosw dans

d'épaisseur variable. 6i

la différentielle précédente, ce qui conduit à

dans laquelle les lettres p^, p" désignent les intégrales

— dtù.

La valeur de z^ (voir n® 32) est donnée par l'intégrale suivante :

r Z' sinw cosct) M = I aw.

Si l'on remplace Z' par Z", on décompose cette inté-

grale en deux parties, dont la première est nulle, comme composée d'éléments égaux deux à deux et de signes contraires, et il reste

/** Z"sin6) cosw J ^

Remplaçons Z'' par sa valeur en fonction de o), formule (i5), et nous aurons

(i8) Zi=.-(A'-hB')<r''-hB'((Ti-(r3).

Les valeurs de rrio, m^, z^ données par les formules (16), (17) et (18) étant introduites dans l'équation (ai), qui

62 CHAPITRE rit« — STABILITÉ DES TOUTES EN ARC DE CERCLE

donne la valeur de Q (voir n° 32), on obtient, pour cette inconnue,

». 1. r(|-iVA'<7"-|-B'((7"~(r,-+.(i3)]-f-2ETsinal

les lettres $, $\ 5'' représentant les quantités

pi Pi

p'pi

Si, pour obtenir les valeurs de 5, ô' , d" , on calculait directement jOo> Po p2 pour les introduire dans les formules précédentes dans tous les cas où Tangle a a des valeurs peu considérables , il faudrait déterminer les valeurs de Po? Po P2 avec un très-grand nombre de chiffres significatifs, attendu que les deux termes des binômes précédents ont des valeurs très-peu difi^érentes et que la soustraction fait disparaître plusieurs chiffres. Pour surmonter cette difficulté, nous avons été conduit à introduire dans les formules (20), à la place de p^, p2, pa, leurs valeurs en fonction des diflférences première, seconde et troisième

/ A =po — Pli

(21) ^ A'=po — 2/3i -t-pi,

d'épaisseur variable. 63

équations d'où l'on tire

p2 = Po— 2A-+- A',

p^ = Pq — 3 a 4- 3 a' — a".

Substituant ces valeurs dans les deux premières formules (20), on obtient, toutes réductions faites,

IA* Po

La troisième formule devient, par la substitution de po — ^y à la place de pi ,

T i> 1 ' f r ojsinw ,

Lorsque 1 angle a est petit , p = j - — - — rfco est peu

inférieur à I 2 — - d(ù ou 2^, ainsi qu'on le reconnaît par les développements de où sinco et de 2(1 — cosw) suivant les puissances croissantes de l'arc o), savoir

w sin w = 6>* — 7r- + . . . ,

2(1 — COS« ] = w* h . . . .

De même, p' — p'' est peu inférieur à 2 A', car on a

/ #/ /**wsinw(i — cosw) p—?= ^-J ^^«

G4 CDAPITRE III. — STABlLlTfi DES VOUTES EN ARC DE CERCLE

/""(ï — cosw)*

Nous sommes ainsi conduits à introduire dans la formule (24), à la place de p' et çf- — çl', les difTérences

On obtient ainsi, pour la valeur de J",

Les valeurs de 5' et 5'' données par Téquation précédente et la seconde équation (23) deviendront enfin

dans lesquelles les lettres 5j et îj désignent les binômes suivants :

Aj =02.

Dans la valeur de Q donnée par Téquation (19), les termes compris entre les grands crochets proviennent des termes des équations complètes (i) qui n'entrent pas dans les équations approchées (2), ainsi qu'on le reconnaît par la comparaison des formules (18) et (21), Chapitre II. En supprimant ces termes, on obtient pour Q une valeur que M.Bresse dii^^é\[e partie principale de la poussée, savoir

d'épaisseur vabiable. 65

36. Il nous reste à obtenir la valeur de L. Pour cela, il faut introduire dans l'équation (aS) (n°32) la valeur (i6) de TWo, remplacer M^ par sa valeur (la) (n^ 35), P par sa valeur (lo), Q par sa valeur (19) mise sous la forme

la lettre D désignant une quantité toujours petite en valeur absolue par rapport à A', enfin p,, p^ et p^ par leurs valeurs données par les deux premières équations (22) et la première équation (aS). La valeur de L devient alors

/' L =— ^'[2(1— cosa)-- asina]

— rB' ( I — cosa -4- • — a sina)

H- rD(i — • cosa) ~ rD h /-A' — ^ — rB'

Po Po po

Les valeurs numériques des inconnues P, Q, L se calculeront, celle de P avec la formule (10), celle de Q avec les formules (19) ou (29), et celle de Lavec la formule (3i) ci-dessus.

Toutes les forces extérieures appliquées à la pièce étant maintenant connues, les composantes X, Z données par les formules (a) (n*» 32) et le moment M donné par la formule (i) (n" 26) seront entièrement déterminés en fonction déco, carZ' et M', qui entrent dans ces formules, sont des fonctions de w, déterminées, Z' par les équations (i5) et (c) (n° 35), et M' par les équations (i3) et (14) (même numéro). Conservant dans les expressions de X, Z, M les lettres Z'', M'', qui représentent d'une manière abrégée les fonctions de w qui forment les seconds membres des équations (i3) et (i5), et désignant par X« la valeur de X

66 caAPiTRE m. — stabilité des voûtes en arc de cercle correspondant à co = a, savoir

Xa=:Qcosa -+- Psinot,

les valeurs de X, Z, M sont

X ^= Q cosw — Z"sinw, (32 ) \ z =z — Q sinw — Z''cosw,

M =:= L -4- m; — M" 4- rX.— rX.

On peut démontrer directement sur l^ijig» 8 la dernière de ces équations. En effet, la partie de voûte comprise entre les sections KL et DF est en équilibre sous l'action : i" des forces X, Z et du couple M appliqués négativement à la section KL, 2® des forces X., Z» et du couple L appliqués à la section DF, et 3** de la force 7/ appliquée au centre de gravité de cette partie de voûte. La somme des moments de ces couples, ajoutée à la somme des moments des forces pris par rapport à un point quelconque du plan, doit être égale à zéro. Si l'on prend ces moments par rapport au point O, centre de l'arc moyen, ceux des forces Z et Za seront nuls, puisque ces forces passent par le point O; celui de la force X, prise négativement, sera — rX, et celui de la force X. sera rX»*, enfin celui de la

force 7/ étant éffal à la différence des moments de - et Z^'

par rapport au même point aura pour valeur M* — M'^; ajoutant tous ces moments pour en égaler la somme à zéro, on obtient l'équation

L — M -f- rXa ~ /x -+- m;— j\r = o,

qui n'est autre que la troisième équation (Sa).

Si l'on remplace dans cette troisième équation L par sa valeur (3i), on obtient pour M une expression qui ne dif-

d'épaisseur variable. 67

fère de la valeur de L que par le changement de a en w, savoir :

M = — rA'[2(i — cosw) — wsinw]

«// I— cos*w . \