DE FORME QUELCONQUE

lorsque le point m est à gauche du point O. En effet, le moment M' par rapport au point m de la résultante Z' appliquée à 7nB est égal au moment de cette résultante par rapport au point O diminué du produit Tj'x\ mais Z' est la différence de la résultante H appliquée à OB et de la résultante TL" : donc son moment par rapport à O situé du même côté par rapport aux deux forces H et TJ' est égal au moment M^ de la résultante H, moins le moment M'' de la résultante U' par rapport au même point. On a donc

Cherchons ce que devient la valeur de M' pour le point w' symétrique de m. Elle est égale au moment par rapport km' àe la résultante Z' appliquée à m'B. Or ce moment est égal à celui de la même résultante par rapport au point O augmenté du produit Z'x, la lettre x désignant dans ce produit l'abscisse du point m et non celle du point m'; mais la résultante Z' est la somme de la résultante II et de la résultante Z'' appliquée à Om' : donc son moment par rapport au point O situé entre les forces II et Z" est égal encore à la différence M1^ — M" des moments de H et Z''. On a donc

Cette expression sera identique à la précédente si l'on met à la place de x, abscisse du point w, l'abscisse — x du point m\ à la condition de changer le signe de Z''. Ainsi, en considérant les valeurs de Z'' comme négatives lorsque le point m sera situé à gauche du point O, toutes les valeurs de M', dans toute l'étendue de la pièce, seront représentées par la formule (c). De même, toutes les valeurs de M seront représentées par l'équation ( J), que l'on obtient par la substitution de la valeur (c) de M', sous la même condition de signe pour la quantité Z''. Il résulte de cette condition que

170 CflAPITRB T. — ARCS MÉTALLIQUES

les deux valeurs de M données par l'équation [b) pour deux points symétriques sont égales, car les deux facteurs du produit {jc — y) Z'' changent tous les deux de signe sans changer de valeur quand on remplace x par — .r , et les deux derniers termes ne changent pas.

55. Comparaison des valeurs de dq^ âx et âz pour deux points symétriques. — i ° Les valeurs de $q données par l'équation (rf) sont égales et de signes contraires pour deux points symétriques, en sorte que l'on a

f./è''='-f„ri''-

En effet, âq étant nul à l'extrémité B, on a

c'est-à-dire

J Ël'''+J m''^J Ëi''*=*^-

La première et la troisième intégrale sont égales comme composées d'éléments égaux disposés seulement en ordre inverse, car les valeurs de I sont les mêmes pour deux points symétriques, et nous venons de démontrer qu'il en est de même pour M. On a donc

Ajoutons de part et d'autre 1 pî^-^î ^^ nous aurons

^ — a ^ — X ^ -~ti ^ — a

ce qu'il s'agissait de démontrer.