CHAPITRE V. — ARCS UÉTALLIQUES EN ARC DE CERCLE

/»(...; o,ooooo8i3

E, coefficient d'élasticité longitudinale de la fonte . 6x10®

El 256800000

Mo — 66824

/Wj Mo — 3540

Pour 18", m^ (Table II) 0,00120

Pour 44'> 0,733 A /Wj 21

m2 o,ooi4i

rD. 4 * 78000

/WjrD 58g6

/Wg/'A 5o4t4

m^rB, 1 24 > 2

=rï X 1727 o,o586

* Eli '

Ce résultat se rapproche plus que le précédent, relatif à Tare parabolique , de celui qui a été obtenu par MM. Desplace et CoUet-Meygret sur Parc circulaire de Tarascon. [p^oir la fin du n° 61.)

64. ^/'c de section uariable. — Prenons pour exemple un arc métallique du pont d'Arcole, construit sur la Seine â Paris, par M. Oudry. Nous empruntons les données qui le concernent aux Noui^elles annales de la construction de M. Oppermann, année i855. Ce pont est construit en fer laminé. Son ouverture est de 80"", et sa largour entre

garde-corps de 20™. Il se compose de douze fermes en fer, dont rintrados est cintré suivant un arc de cercle de 80™ de corde et de 6", 12 de flèche. Dix fermes intermédiaires sont distantes de i™,333 d'axe en axe. Les deux autres fermes, formant les têtes du pont, sont placées à 3™,5o de distance des fermes voisines.

Chaque ferme est formée d'un arc et d'un longeron supérieur qui est ancré dans la maçonnerie des culées [voir \difig» 16 à l'échelle de o™,oi). Ces deux pièces sont reliées aussi bien que possible par un tympan, dont l'effet est d'assembler le tout en une seule pièce prismatique à section normale invariable.

La section d'un arc intermédiaire est une âme de o™,oio d'épaisseur, découpée suivant la courbure de l'arc et rivée à deux lames horizontales inférieure et supérieure par

quatre cours de cornières de ï"^' ^^ largeur des

tables est de o™,d3o, leur épaisseur de. o",028, et elles sont formées de deux feuilles de o°^,oi4 réunies par les rivets des cornières et par deux autres cours de rivets placés à o", 06 des bords.

La section à la clef a une hauteur de o",38o, et aux naissances cette hauteur est de i",3oo. La section des longerons est un T simple, formé d'une table horizontale de 3ooX i5 et une branche verticale de 3ooX 10, réu-

j j ., j 100 Xqo

mes par deux cours de cornières de ^7-=^ •

Le longeron est prolongé dans la culée où il est ancré et peut être tendu par un système de calage disposé à cet effet dans l'intérieur des maçonneries. Du côté de la clef, la branche verticale du longeron est prolongée jusqu'à l'arc et est rivée sur ce dernier au moyen de deux cornières. Le plan de la face supérieure de la table horizon-

igf CHAPITRB Y. — ARCS MÉTALLIQUES EN ARC DE CERCLE

taie du longeron passe à o™,oi5 seulement au-dessus de l'extrados de l'arc à la clef. La section du longeron jusqu'à ce point ne pouvant avoir une hauteur supérieure à ce chiffre, on a formé ce prolongement d'une simple feuille de tôle de 65o x i5. La hauteur totale de la section de la ferme à la clef est, par suite, de o",395. Le poids total des fers et fontes du pont est de 1120 tonnes ou de yoo'^s par mètre carré. Le ballast et l'empierrement pèsent Soo^^^ et la charge d'épreuve est de ôoo''^ par mètre carré. Les fermes intermédiaires étant espacées de i"^,33, le poids appliqué par mètre courant de longueur horizontale est de 1 20o''6 pour la charge permanente e^ de doo''^ pour la charge d'épreuve. Le poids réparti par mètre courant de longueur horizontale va en croissant légèrement du milieu du pont aux extrémités, puisque le poids de l'arc et des tympans va lui-même en croissant entre les mêmes limites. Nous tiendrons compte de cet accroissement en supposant que la répartition de la charge est proportionnelle à la longueur de l'arc.

Traçons sur Isifig» 16 la courbe de fibre moyenne. Pour cela, coupons la ferme par un plan perpendiculaire à l'arc d'intrados aux naissances et cherchons le centre de gravité de la section ainsi obtenue. Ce point sera situé au-dessus de la courbe cherchée. En effet, soient AB {Jig-\ij) le plan normal à l'arc d'intrados CA, et M le point d'intersection de ce plan et de la courbe cherchée. Menons par le point M la normale FE à la courbe MN; le point M sera le centre de gravité de la section FE, ainsi que cela résulte de la définition de la courbe de fibre moyenne MN. Mais AM est plus petit que ME etMB plus grand que FM, et, comme les dimensions perpendiculaires au plan de la figure sont les mêmes dans les deux sections, qui ont toutes les deux la forme de double T surmonté d'un T simple, il est évident que le

moment de l'aire AM est plus petit que celui de l'aire ME et que le moment de l'aire MB est plus grand que celui de l'aire MF. Mais, M étant le centre de gravité de FE, le moment de l'aire ME est égal à celui de l'aire MF ; donc le moment de l'aire AM est plus petit que celui de l'aire MB, donc le centre de gravité de la section AB est entre le point M et le point B. Soit G ce point. Menons par le point G un plan vertical perpendiculaire au plan de la figure et cherchons le centre de gravité de Taire de la section de la ferme par ce plan. Ce centre de gravité G' sera situé audessous de la fibre moyenne MN, ainsi qu'on le reconnaît par un raisonnement semblable au précédent.

Or les deux points G et G', que Ton obtient en opérant ainsi dans le cas de la^g*. i6, sont presque confondus en un seul. On peut donc les considérer comme situés sur la fibre moyenne. Cherchons encore le centre de gravité de la section normale de la ferme à la clef, et nous aurons le sommet de la courbe de fibre moyenne. Or, si l'on fait passer par ce sommet un arc de cercle passant par le point déterminé précédemment aux naissances et tangent à une horizontale menée par ce sommet, on trouve que cet arc traverse les sections de la ferme qui lui sont perpendiculaires en des points très-voisins de leur centre de gravité, en sorte qu'on peut la considérer comme répondant d'une manière très-satisfaisante à la définition de la fibre moyenne d'une pièce prismatique. Cette courbe est désignée par les lettres ABC sur ^^Jîg- i6.

Partageons-la en six parties égales et inscrivons dans les colonnes 2 et 3 du Tableau ci-après les valeurs des coordonnées des points de division. Nous inscrirons ensuite dans les colonnes 4, 5 et 6 la hauteur de la section de la ferme, la hauteur de la section de l'arc seul et la distance de l'extrados de l'arc à la fibre moyenne ABC. Les co-

ig6 CUAPITKB Y. — ARCS HÉTALLIQOES EN ARC DE CERCLE

lonnes 7 et 8 contiennent les valeurs de Taire £2 et du moment d'inertie I des sections normales de la ferme par rapport à la fibre moyenne. Dans les calculs des moments d'inertie, il faudra faire usage de la propriété suivante que nous rappelons ici.

Le moment d'inertie d'une surface ABCD {fig^ i8) par rapport à une droite EF ne passant pas par son centre de gravité est égal au produit de son aire par le carré de la distance de son centre de gravité G à cette droite, augmenté de son moment d'inertie par rapport à un axe IJ, mené par son centre de gravité parallèlement à la droite EF. Dans le cas d'un rectangle dont la base AB = b est parallèle à la droite EF dont la hauteur BC = A et dont le centre de gravité est placé à une distance r de la droite EF, on a, pour la valeur I de son moment d'inertie par rapport à la droite EF,

Toutes les «ections de la ferme pouvant être décomposées en rectangles situés comme celui de la fig. i8 par rapport à l'axe d'inertie, cette formule servira à calculer tous les moments d'inertie des sections normales de la ferme du pont d'Arcole. Il conviendra de tracer le croquis de chacune des sections et d'y inscrire toutes les cotes qui doivent entrer dans les calculs.

Pour tous les rectangles dont la hauteur est une épais-

seur de tôles, la hauteur h est petite et la quantité — négligeable devant r^. La colonne 9 représente les valeurs de la résultante TJ' correspondant à chaque point de division : c'est la résultante des forces appliquées à la pièce depuis le sommet jusqu'à la section normale en ce point. La colonne 10 contient les différences des valeurs de TJ'^ qui sont

constantes dans le cas actuel, puisque les charges sont réparties uniformément sur la longueur de Tare que nous avons divisé en parties égales.

La colonne 1 i contient les bras de levier des forces AZ^, Ce sont les distances des milieux des arcs partiels à la verticale du sommet ou autrement dit les abscisses de ces milieux. Les produits de AZ'' par ces bras de levier sont les différences AM'' des valeurs de M'', moment de la résultante 7f par rapport au sommet de Tare ou de l'origine des coordonnées. Les colonnes suivantes jusqu'à la colonne 26 contiennent les valeurs nécessaires pour déterminer les nombres Zo, ^o '^2> i^oi f*< et m, qui entrent dans l'expression de la poussée Q, formule (i) du n° 60, ainsi que dans celle du moment Mo à la clef, formule (A) du n° 52, p. i53. On trouve ainsi

Q=: — 281 200^', Mo=: — 22900^8*".

Calcul de l'effort normal à la clef.

Les deux valeurs qui précèdent permettent d'obtenir la

valeur de w = ?r ^^ celle de l'effort n*brmal R, tant à

l'intrados qu'à l'extrados, donné par la formule

On obtient ainsi ♦

ivz=. — 0,081 44*

^ Les valeurs de ^, désignées par vi à l'intrados et Ve à l'ex-

ig8 CHAPITRE Y. — ARCS MÉTALLIQUES EN ARC DE CERCLE

trados, sont:

Pi , 2lS

et l'on obtient

p'^Ti 0,02795

*Ri — i8i5ooo^«

-F o>4oo

RJ — 8060000"

Calcul de V effort normal aux naissances,

X = Q cosa — n sin a. '

I — cosa = AWi 0,02794

sina o,a346

L= (Z"a: — M'' 4- Q3)a + Mo.

(Cette quantifé L est le dernier nombre de la colonne 28).

L=:578l00^8tn.

Ri — 8256000

Ra 4490000

En prenant pour unité de surface le millimètre carré, les

efforts normaux précédents sont exprimés par les nombres

suivants :

Ri=:— i^«,8i5,

RJ = — 8^^, 060,

Ri = - 8^«, a56.