J 1, - DÉFINITIONS

Si Ton projette deux lignes équipollenles sur trois axes coordonnés que, pour simplifier^ nous supposerons toujours rec* tangulaires, les projections de ces lignes seront évidemment égales deux à deux; et si, comme nous le ferons ordinaire* ment, nous désignons respectivement ces projections par Lx, Ly , hz pour la ligne L, par h'x, L'y , Uz pour la ligne L\ réquîpollence écrite plus haut équivaudra aux trois équations algébriques :

(4) Lar = L'a. , Ly = L'y , L, = L'^.

Réciproquement, si deux lignes sont telles que leurs projections sur trois axes coordonnés soient respectivement égales, ces deux lignes sont équipollentcs. En effet, chacune d'elles est la diagonale d'un parallélépipède construit sur trois lignes deux à deux égales, parallèles et de même sens ; elles sont donc aussi égales, parallèles et de même sens.

Par conséquent, les trois égalités algébriques ci-dessus (1) et Téquipollence

ont exactement la même signification. L'usage des équipollences constitue ainsi une simplification du langage et des notations. Nous les emploierons fréquemment dans tout le cours de ce volume.

De ce qui précède résulte, d'ailleurs, d'une façon évidente, ce théorème que si deiuv lignes ont mêmes projections sur trois axes rectangulaires ^ elles ont mêmes projections sur un axe quelconque de ï espace.

9. Be« «ommes fféométriqaeii. — Considérons un système de lignes /|, /t, 4, l^y /s, disposées d'une manière quelconque dans l'espace. Par un point (fig. 3), arbitrairement choisi, menons une ligne l\ équipoUente à /|, par ^extrémité de /i, une ligne t^ équipoUente à 4 et ainsi de suite, et joignons le point de départ à l'extrémité de la dernière ligne f^ ainsi menée, la ligne obtenue, que nous représenterons par L, est dite la somme géométrique des lignes données /^ A,.*" A ! ^^>

quel que soit le point 0, la somme géométrique obtenue sera

équipollente à L.

Le polygone ainsi construit, ayant ses côtés successivement équipol* lents aux lignes /, s'appelle le polygone de ces lignes.

Pour exprimer l'addition géomé* trique, nous nous servirons, à défaut d*un caractère typographique spécial^ du signe de Taddition algébrique, mis entre parenthèses (+). La suite des opérations que nous avons faites pour obtenir L se traduira donc par Téquipollence

Pig.3 (1) L (=)/,(+)/,(+) 4 (+)/,(+) 4.

L'ordre dans lequel on porte à la suite les unes des autres les différentes lignes dont on cherche la somme géométrique n'a aucune influence sur le résultat. Si, par exemple, après avoir mené l\ équipollent à /» on mène l''k{=) /*, puis t\{=) /,, l'extrémité de cette ligne /% coïncidera avec celle de la ligne l\ obtenue en menant d'abord /'8(=) 4 et t^ {=)li. Et puisque le résultat ne change pas lorsque l'on intervertît Tordre de deux lignes consécutives, on en conclut facilement que la somme géométrique restera la même, quel que soit Tordre adopté pour toutes les lignes.

De même que Ton désigne par 2 la somme algébrique de plusieurs quantités semblables, nous représenterons la somme géométrique de plusieurs lignes par les deux lettres %g, L'é* quipollence précédente s'écrira ainsi :

La projection, sur un plan quelconque de la somme géométrique d'un système de lignes est équipollente à la somme géométrique des projections de ces lignes sur le même plan. Il suffit, pour vérifier l'exactitude de ce théorème, de projeter, en même temps que les lignes et leur somme géométrique, la figure qui sert à obtenir cette somme.

I i. - DÉFINITIONS

Projetons sur un axe quelconque pris pour axe des x^ lepo* lygone formé par les lignes fi, /\..., ^8, L. La projection de L sera égale à la somme des projections des autres côtés l\^ ff •- et celles-ci sont respectivement égales aux projections, sur le même axe, des lignes données /i, /|... Désignons ces projections par /|^, 'i^v Nous pourrons écrire Tégalité

ha 5= li^x "h 6t« + '3,« + 4^ == S/».

Nous aurions de même, en projetant sur deux autres directions perpendiculaires entre elles et à la première, prises pour axes des y et des z^ les deux autres équations

^ = lu$ + '«.y "+" "=" 2/y,

Ces trois égalités algébriques sont donc la traduction de TéquipoUence

et réciproquement, si une ligne L est telle que ses trois projections soient égales respectivement aux sommes algébriques des projections sur les mômes axes d'un certain nombre d'autres lignes, elle sera la somme géométrique de ces lignes, c'est-à-dire que les trois égalités algébriques et TéquipoUenc^ ont exactement la môme signification.

s. Diflérenoe féométrlqve. — Si à l'extrémité a (fig. 4), d'une ligne t^ menée à partir d'une origine 0, équipoUente à /o on mène une ligne ab égale, parallèle, mais de sens contraire à une autre ligne /|, la ligne 06 ou L, qui joint l'origine à l'extrémité 6, se nomme la dijfirenct géométrique des deux lignes /« et /|. On voit que L est la somme géométrique de la ligne U et d'une ligne égale parallèle et de sens contraire à /s, que l'on peut représenter par — (,, de sorte que l'on peut écrire l'équipoUence

g CHAP. I. - DES SYSTÈMES DE LIGNES

ou bien, en représentant par le signe ( — ) la différence géométrique, on aura

Alors, les notations d'addition et de soustraction géométrique deviennent tout à fait analogues à celles d'addition et de soustraction algébrique, et Ton peut considérer des espressions géométriques contenant des termes négatifs ou positifs telles que la suivante :

qui représentera la somme géométrique des lignes précédées du signe (+) et de lignes égales et de sens contraire à celles qui sont précédées du signe ( — ).

Ce que nous venons de dire de l'interversion des termes d'une somme géométrique s'applique évidemment à ces expressions qui contiennent à la fois des termes positifs et négatifs.

Si l'on multiplie par un même nombre tous les termes d\ine somme géométrique, cette somme se trouvera multipliée par le même nombre. C'est-à-dire que si l'on a:

on aura aussi, m désignant un nombre quelconque : (2) mh (=) ml, (+) ml, (— ) m/, {+)ml^

En effets la figure que Ton tracera pour construire la somme géométrique des lignes m/|, m/|.... ne sera autre chose que celle que Ton aurait tracée pour construire la somme géométrique des lignes /|, /t,... amplifiée dans le rapport de 1 à m.

Le nombre m pouvant être fractionnaire, cela s'applique à la division comme à la multiplication.

A. IJ^ne moyenao d'an •ystème. — Béaultante. —

Nous appellerons ligne moyenne ou simplement moyenne d'un système de lignes^ leur somme géométrique divisée par leur nombre.