DÉFINITIONS

Lorsque les lignes dont on considère la somme géométrique seront issues d*un même point, nous donnerons à la somme géométrique de ces lignes, menée par le point de concours, le nom de résultante de ces lignes qui portent le nom de lignes composantes.

II. Produit fféométriqae. — Nous appellerons produit géométrique de deu2^ lignes concourantes, le produit de Tune de ces lignes par la projection de l'autre sur la direction de la première, ou, ce qui est la même chose, le produit des longueurs de ces deux lignes par le cosinus de Pangle qu'elles forment.

Le produit géométrique, ainsi défini S est une quantité numérique ou algébrique, susceptible d'être représentée en grandeur par une ligne, mais elle n'a ni direction ni sens ; elle n'est donc pas assimilable aux quantités que nous avons représentées géométriquement par des lignes.

Mais le produit géométrique a un signe algébrique, il est positif ou négatif suivant le signe du cosinus de Tangle des deux droites, ou, ce qui revient au même, suivant que la projection de Tune des lignes sur l'autre est dirigée dans le même sens que celle-ci ou en sens contraire.

Le produit géométrique de deux lignes qui ne sont pas nulles a une valeur égale à zéro lorsque ces deux lignes sont perpendiculaires l'une sur l'autre. Le produit géométrique devient égal au produit algébrique lorsque les deux lignes ont la même direction.

Nous représenterons le produit géomélrique de deux lignes concourantes l, /, par le symbole :

1. La dénomination de produit géométrique appliquée à la quantité que nous venons de définir est sujette à la critique, lorsque les lignes dont il 8*agît deviennent imaginaires. Le produit n'a plus alors une signification précise. Mais cet inconvénient ne nous empêchera pas d*appliquer cette désignation aux lignes réelles^ en faisant explicitement la réserve que ce que nous dirons ne s'appliquernit pas au; lignes imaginaires dont nous ne nous occupons pas.

Celte quantité étant le produit de /« par la projection de / sur la direction de /«, et cette projection étant égale à la somme algébrique des projections, sur la même direction, d*ua système de lignes concourantes l' , r, T,.,. dont / serait la ré* sultante, c'est-à-dire telles que :

on a Tégalité :

qu*on peut traduire ainsi : le produit géométrique, par une ligtie quelconque 1|, cPune autre ligne 1 qui est la résultante d'un certain nombre d'autres lignes concourantes 1', 1", V\,., est égal à la somme algébrique des produits géométriques de la ligne li par chacune de ces lignes composantes.

Si donc on a un système quelconque de lignes concourantes, la somme algébrique des produits géométriques de ces lignes par une ligne quelconque, perpendiculaire à la direction de leur résultante, est nulle.

Dans Tégalité précédente^ la ligne /| pourrait de même être considérée comme la somme géométrique d'un système de lignes l\^ r\y Ti,... et en appliquant la même règle à chacun des termes du second membre on aurait, en admettant It (=)

ri(+)r.(+)r, (+)....;

i{x)ii = r{x)r, + r{x)i\+r (x)r,+

Cette formule générale se simplifie beaucoup lorsque les composantes de chacune des lignes /, /^ sont ses trois projec« tions sur trois axes rectangulaires. Chacun des produits du second membre est alors ou bien un simple produit algébrique, s'il s'agit de deux composantes dirigées suivant le même axe, ou bien identiquement nul s'il s'agit de composantes dirigées suivant des axes différents. En appelant donc /«, ly, /«, /i,«, A.y , lu» les projections sur les trois axes rectangulaires x, y, z des lignes /et /i, nous aurons simplement :

It.^ DES MOMENTS DES LIGNES 1 i

(*) / (X) /,., = 4 /.^ + ly iuy + /. iuz

Ce résultat peut être trouvé directement. Le produit géométrique Z (x) /i a en effet, pour valeur, par définition :

(5) /(X)/i = /. /i. (cos/,/0.

Les cosinus directeurs des deux lignes / et /| ayant respec-

vements pour valeurs ^» f» -, et -r— » —9 -7-1 le cosmus

^ ft * ( M 11 (f

de Tangle de ces deux droites a pour expression :

Multipliant les deux membres par / A on retombe, en vertu de l'équation ci-dessus (5), sur la précédente (4) que nous avons trouvée d'une façon toute différente et que Ton peut énoncer ainsi :

Le produit géométrique de deux lignes est égal à la somme algébrique des produits deux à deux des projections de ces H* gnes sur trois axes rectangulaires.

•. Moments par rapport à un point. — On appelle moment d'une ligne par rapport à un point le produit de la longueur de cette ligne par la distance du point à sa direction.

Ainsi, le moment d'une ligne ab = l (fig.

\ S) par rapport au point sera le produit

^.-^ "T abxOp. C'est le double de la surface du

j-y '"^ triangle Oab obtenu en Joignant au point

"^-.^ \ les deux extrémités de la ligne ab.

""-X \ Ce moment se représente géométrique-

^ ment par une ligne Om dont la longueur

Fig. 5. Om est égale, à une échelle déterminée, à

ce produit abxOp, dont la direction est perpendiculaire au plan mené par le point et la ligne ab et dont le sens est toi qu'un observalcur, ayant les pieds en 0, la tète dans la direction Om et regardant la ligne /, voie cette ligne dirigée de sa gauche vers sa droite.

Réciproquement, un observateur placé sur la ligne ab, les pieds en a, la tète en b et regardant la ligne Om, la verra dirigée de sa gauche vers sa droile.

Le moment d'une ligne par rapport à un point est ainsi une autre ligne définie en grandeur, direction et sens, et ce sera toujours le moment ainsi représenté que nous aurons en vue.

Le moment d'une ligne par rapport à un point quelconque de sa direction est évidemment nul.

Pour abréger l'écriture, nous désignerons le moment d'une ligne / par rapport à un point par le symbole Mol qui s'énonce : Moment par rapport au point de /.

Le moment d'une ligne par rapport à un point est le même quelle que soit la position de celte ligne sur sa direction, car les deux facteurs du produit qui expriment ce moment restent les mêmes.

Les moments par rapport à un point de deux lignes égales et directement opposées sont eux-mêmes égaux et directement opposés. Cela résulte de la définition que nous avons admise pour le moment et pour le sens dans lequel doit èlre portée la ligne qui le représente.

7, MMnent pésultant d'an système. — Si l'on considère un système de lignes, distribuées d'une manière quelconque dans l'espace et si l'on prend les moments de ces lignes par rapport à un même point, les lignes représentant les moments seront toutes issues de ce point et auront, par conséquent, une résultante que l'on appelle le moment résultant du. système de lignes par rapport au point dont il s'agit.

Lorsque plusieurs lignes sont issues d'un même point, le moment résultant de ce système de lignes, par rapport à un point quelconque de l'espace, est égal au moment par rapport au même point de la résultante de ces lignes.

Soient /|, /„ /,, i^ diverses lignes issues d'un même point A (fig. 6) et R la résultante, c'est-à-dire la somme géométrique

Fig. 6

de ees lignes, menée par le point A ; et soit un point quelconque de l'espace. Soient Omj, Om„ Owi», Om^, OM les moments respectifs, par rapport au point 0, des lignes /,, /„ 4, /i, R. Tous ces moments sont menés normalement à des plans passant par les points A et et par les diverses lignes issues du point A, ils sont donc tous perpendiculaires sur AO et, par suite, contenus dans un même plan P.

Chacun de ces moments, Omi par exemple^ est égal au produit de la ligne correspondante /| par la perpendiculaire abaissé.e du point sur sa direction, ou bien au double de la surface du triangle ayant pour base li et pour sommet le point 0. Projetons /| en l\ sur le plan P, la ligne /', sera précisément la hauteur de ce triangle considéré comme ayant pour base le cdté OA, de sorte que le moment Omi sera égal au produit de la projection l\ par la longueur AO, et ainsi des autres.

D'un autre côté, la projection R' de la résultante R sera la résultante des projections l\y /',

Le moment Onii est perpendiculaire au plan de et de /|, il est donc perpendiculaire à l\ ; de même Om, est perpendiculaire à /%... etOM est perpendiculaire àR\ Si nous faisons

tourner de quatre-vingt-dix degrés autour de AO les projections ti^ /"i... R' dans le plan P, elles viendront, après cette ro-tation, coïncider respectivement avec les lignes Omt, Om,... OM et ces dernières sont égales aux précédentes multipliées par un facteur constant OA. Il en résulte, puisque R' est la résultante des lignes /'j, /',... que OM sera la résultante des lignes O/Wi, Om,... ; ce qui démontre le théorème énoncé.

Lorsque toutes les lignes /|, /,,... sont dans un même plan et que Ton prend leurs moments par rapport à un point de ce même plan, toutes les lignes représentatives des moments sont portées sur une même ligne droite perpendiculaire au plah, menée par le point 0, les unes d'un côté, les autres de l'autre, suivant le sens des lignes / et leur position par rapport au point 0. Dans ce cas, la somme géométrique ou la résultante de ces moments n'est autre chose que leur somme algébrique ; et le théorème s'énonce alors ainsi : Si ton considère un système de lignes issues d'un même point et situées dans un même plan^ ainsi que la résultante de ces lignes, et si Ton prend leurs moments par rapport à un point quelconque de ce plan, le moment de la résultante sera la somme algébrique des moments des lignes composantes,

9. Oouple de liyneM. — On appelle couple de lignes deux lignes égales, parallèles, mais de sens contraire.

Pig. 7

Le moment résultant de deux lignes formant couple, par rapport à un point quelconque de l'espace, est constant, c'està-dire est représenté, pour tous les points, par des lignes équipolientes.

g 1 - DES MOMENTS DES LIGNES IS

Soient, en effet, deux lignes /, /| (fig. 7) formant couple et dont nous prendrons le plan pour plan horizontal de projec* tion. Soit un point quelconque de l'espace ; menons par ce point un plan perpendiculaire au plan des deux lignes /, /( et dans une direction telle que son intersection XY avec ce plan soit aussi perpendiculaire à la direction de / et de /, ; et prenons ce nouveau plan pour plan vertical, XY étant la ligne de terre. Prolongeons / et /| jusqu'à la rencontre de XY en a, 6, joignons Oa, Ob qui seront les perpendiculaires abaissées du point sur les lignes /, /|. Le moment de / par rapport au point sera une ligne Om, menée dans le plan vertical, perpendiculairement à Oa et égale au produit /xOa; de même le moment de /j par rapport au même point sera une ligne OiW|, perpendiculaire à Ob et égale à AxOft. Le moment résultant OM s'obtiendra en menant par Tun des points m ou nii une ligne équipoUente à Orrii ou à Om, c'est-à-dire en construisant le parallélogramme OmMmi. Or, le triangle OmM, par exemple, a deux de ses côtés Om, mM respectivement perpendiculaires aux côlés Oa, Od, du triangle Oab et proportionnels à ces mêmes côtés, puisque nous avons Om =OaX/, Omj=OAx/i et que, par hypothèse, /^/j. Ces triangles sont semblables et le troisième côté OM du premier est perpendiculaire au côté homologue ab du second et lui est proportionnel, c'est-à-dire queOM=a4x/. Donc, quelque soit le point de l'espace, le moment résultant OM des deux lignes formant couple a une même direction, puis qu'il est toujours perpendiculaire au plan de ces deux lignes et une même grandeur puisque son expression ahXl est indépendante de la position du point 0. Il est facile de vérifier également que le sens de ce moment est aussi le même pour tous les points de l'espace.

9. Axe d^an eouple. «-^ Ce moment résultant de deux lignes formant couple, qui se trouve être ainsi une quantité dépendante du couple lui-même et indépendante du point de l'espace par rapport auquel on le considère, porto le nom de moment du couple ou quelquefois à'axe du couple.

L'axe d'un couple est donc une ligne menée perpendiculai*

rement au plan des deux lignes formant couple, en un point quelconque de ce plan, et dont la longueur et le sens sont ceux de la ligne qui représente le moment de Tune de ces lignes par rapport à un point quelconque de Tautre.

La distance ab des deux lignes s'appelle souvent hras de le* vier du couple.

lO. Moment résultaat d'au systênie dont la somme i^éométrique est nulle. — Du théorème qui vient d'être démontré, on peut conclure que le moment résultant d'un nombre quelconque de couples est le même pour tous les points de l'espace. En effet, les moments composants individuels étant.les mêmes pour tous les points de l'espace, il en sera de même de leur résultante,c'est-à-dire du moment résultant d'un nombre quelconque de couples.

On en déduit que le moment résultant dun système de lignes dont la somme géométrique est 7mlle est le même pour tous les points de l'espace.

Considérons un pareil système de lignes /i, /j... (fig. 8) dont la somme géométrique est supposée nulle. Par un point A quelconque, menons des lignes fi, /'s--* égales, parallèles,mais de sens opposé à chacune des lignes

^' ^ données, et prenons les moments

par rapport à un autre point quel- Fig- 8 conque de l'espace. Le moment

résultant de toutes ces lignes par rapport au point se composera de deux parties : le moment résultant des lignes / et le moment résultant des lignes /', dont il sera la somme géométrique ; il s'exprimera ainsi par le symbole

Mais les lignes / et /', considérées deux à deux, forment des couples et d'après ce que l'on vient de dire, le moment résultant de tous ces couples par rapport à un point quelconque est constant. On a donc :

S»llo/ (+) SffWlo/' (=) const.

D*an autre côté, les lignes /' sont issues d'un même point A, leur moment résullant par rapport au point est donc égal au moment de leur résultante (n^ 7), laquelle est nulle, puisque, par hypothèse, la somme géomélrique des lignes / étant nulle, il en est de même des lignes T qui leur sont égales et parallèles, mais de sens opposés. Le second terme de la somme précédente est donc identiquement nul, Téquipollence se réduit à (i) «^Mo/ (—) const.

qui est la conséquence de riiypothëse

et réciproquement la seconde équipollence est la conséquence de la première.

Sans essayer de tirer aucune conséquence de ce rapprochement, on peut remarquer l'analogie qu'il y a entre les deux équipoUences (1) et (2), liées nécessairement Tune à Taulre, et les égalités

/j[x) = const.

qui expriment que la dérivée d'une fonction constante est nulle ou réciproquement.

II. Relation entre les moments d'une ligue par rapports aa& divers points de Tespaee. — Ce résultat peut se démontrer plus directement.

Connaissant le moment d'une ligne par rapport à un point (fig. 9), proposons-nous de chercher le moment de cette même ligne par rapport à un autre point quelconque 0'.

Prenons le plan de la figure perpendiculaire à la ligne donnée /, de manière qu'elle s'y projette en un seul point M, et soient et 0' les projections sur ce même plan, des points par rapport auxquels nous nous proposons dô

prendre les moments. Le moment de / par rapport au point se projettera en vraie grandeur suivant OP, perpendiculaire à OM, et nous pouvons admettre, pour le représenter, une longueur OP = OM, puisqu*il doit être proportionnel à OM. De même le moment cherché, par rapport à 0\ sera représenté, en projection, par une ligne O'P ' égale et perpendiculaire à O'M.

Joignons 00', menons par le point P' la ligne P'Q, éqoipollente à PO, et joignons QO' ; le triangle O'P'Q ainsi formé sera égal au triangle O'MO : en effet, les angles P' et M sont égaax comme ayant leurs côtés perpendiculaires et les côtés adjacents sont égaux par construction. Il en résulte que QO' est égal et perpendiculaire à 00' et peut être considéré comme le moment d'une ligne équipollente à / menée par le point 0. Le moment cherché OT' est la somme géométrique de ce moment O'Q et de QP' ou OP, moment par rapport au premier point 0. Par conséquent,

Le moment cTune ligne par rapport à un poiîii quelconque O' de fespace est égal à la somme géométrique du moment de de cette ligne par rapport à un premier point Oet du moment y par rapport à (X, d'une ligne équipollente à la ligne donnée menée par le point 0.

19. Belation entre le« moments résultants d'an système par rapport aux divers points de l'espaee. —

Si, au lieu d*une seule ligne, on en a un nombre quelconque, on devra, pour former cette somme, mener par le point des lignes équipollentes et prendre la somme de leurs moments par rapport à 0' ; mais cette dernière somme est égale, pour des lignes issues d'un même point, au moment de leur résultante, laquelle est équipollente à la somme géométrique des lignes données, d'où résulte ce théorème :

Le moment résultant d'un système de lignes par rapport à un point quelconque O'* de Fespace est égal à la somme géométrique du momejit résultant de ce système par rapport à un premier point et du moment, par rapport à 0', de la somme géo^ métrique des lignes domiées, menée par le point 0.

On voit alors immédiatement que si cette somme géométri-

que est nulle, le moment résultant du système de lignes est le même pour tous les points de l'espace.

Si l'on considère le moment résultant du système de lignes par rapport au point 0', tel qu'il vient d'être déiini» c'est-à-dire comme étant la somme géométrique du moment résultant du système par rapport à un premier point et du moment, par rapport à 0', de la somme géométrique des lignes du système menée par le point 0, et si on le projette sur la direction de la somme géométrique du système, sa projection sera la somme algébrique de celles des deux moments dont il est la somme géométrique. Or, le premier de ces deux moments a sa projection nulle, puisqu'il est perpendiculaire au plan mené par la résultante du système ; par conséquent, la projection des momerUs résultants d'un système de lignes par rapport à tous les points de Fespace^ sur la direction de la somme géométrique de ces lignes^ est constante. Nous retrouverons plus loin ce théorème.

tS. Moments par rapport à un axe. — Le moment d'une ligne par rapport à un axe est le moment de la projection de cette ligne, sur un plan perpendiculaire à l'axe, par rapport au point où cet axe perce le plan.

Fig. 10

Ainsi, le moment d'une ligne / par rapport à un axe OZ (fig. iO) est le moment, par rapport au point 0, de la projection t de cette ligne sur un plan P perpendiculaire à OZ.

Ce moment se représente par une ligne Om' portée sur Taxe, comme s'il s agissait effectivement de représenter le

inomeDt de la ligne /' par rapport au point 0. Celte ligne Qm' est égale au double de la surface du triangle OÂ'B'.

Si Ton considère le moment de la ligne / par rapport au point 0, ce moment sera représenté par la ligne Om menée normalement au plan OAB et égale au double de la surface du triangle OAB. Et il est facile de constater que Om' n'est autre chose que la projection de Om sur Taxe OZ, car la surface du triangle OA'B' est égale à celle du triangle OAB multi^ pliée par le cosinus de Tangle des deux plans OAB, OA'B\ lequel angle est celui dos deux normales OZ et Om ; ainsi Om' qui représente le moment de / par rapport à Taxe OZ est égal à Om multiplié par le cosinus de Tangle de Om avec OZ, c'est donc la projection de Om sur Taxe OZ. Ainsi, le moment d'une ligne par rapport à un axe est égal à la projection sur cet axe du moment de cette ligne par rapport à un point quelconque de Taxe.

Il en résulte que les moments d'une ligne par rapport à tous les points d'une droite quelconque ont même projection sur celte droite.

Il en résulte aussi que si l'on considère tous les axes passant par un même point 0, il y a un de ces axes et un seul par rapport auquel le moment d'une ligne donnée /est maximum : c'est celui qui est perpendiculaire au plan contenant la ligne / et le point 0. Au contraire, pour tous les axes contenus dans ce même plan, le moment est nul. La définition que nous avons donnée du moment d'une ligne par rapport à un axe montre, en cflet, que ce moment est nul lorsque la ligne et l'axe sont dans un même plan, qu'ils soient concourants ou parallèles.

i4. Moment de la résultante d'an système. — Considérons maintenant un système de lignes issues d'un même point A et la résultante R de ces lignes. Prenons les moments de ces lignes et celui de leur résultante par rapport à un axe quelconque OZ ; pour cela, prenons les moments par rapport à un point quelconque de Taxe et projetons ces moments sur l'axe. Le moment de la résultante R par rapport au point est égal au moment résultant des lignes données par rap-»

§ 2. - DES xMôMENTS DES LIGNES

port au même point (n*7) ; et si nous projetons sur Taxe OZ, la projection de ce moment résultant sera la somme algébrique des projections des moments composants, lesquelles sont les moments, par rapport à Taxe, des lignes données. Par conséquent, le moment, par rapport à un ajce quelconque^ de la resultanXe dun système de lignes issues d*un même point est égal à la somme algébrique des moments, par rapport au même axe y des lignes composantes. ^

Ce théorème va nous permettre d'exprimer facilement, en fonction de ses projections sur trois axes rectangulaires, les moments par rapport à ces trois axes d'une ligne quelconque de l'espace.

t&. Moments d'une llfr^e par rapport a trois axes reetaniralaircfl. — Soit en eifet une ligne AB = / (fig. 11)

dont on connaît les projections AD = 4, AE = /y , AF == Iz sur les trois axes rectangulaires OX, OY, OZ. Soient de plus x, y, z les coordonnées d'un point quelconque A X de cette ligne. Elle peut être regardée comme la résultante de ses Fig. 11. trois projections et> d'après ce qui

vient d'être dit, son moment par rapport à Tun quelconque des trois axes sera la somme algébrique des moments par rapport à ce même axe de ses trois composantes.

Le moment par rapport à Taxe des x, par exemple, sera la somme algébrique des moments de 4, de ly et de 4. Or, le moment de 4 est nul, puisque cette ligne est parallèle à Taxe ; le moment de /y est — lyZ et celui de h est /^y. On a donc, en faisant la somme algébrique et opérant de même pour les deux autres axes:

l=Ly —

/ Mxt^izy —

\ im.. l =z Lz --^

IxZ

\ ni; l = ljX

IjX,

Ces trois expressions sont d'un usage fréquente Les coordonnées x, y, z sont celles d'un point quelconque de la ligne AB. Il n'est pas inutile de faire remarquer que la valeur du moment reste la même, quel que soit le point de la ligne dont on a pris les coordonnées. L'équation

Ijgt/ — lyZ = const.

est, en effet, Téquation d'une droite tracée sur le plan des zt/, parallëlement à la projection de / et qui coïncide avec cette projection lorsque la constante est égale au moment de /par rapport à Ox, Les coordonnées de tous les points de cette droite satisfont àTéqualion Mxi = lzy — 'y^.

Ayant trouvé les moments de la ligne / par rapport aux trois axes coordonnés, nous pouvons en déduire le moment de cette ligne par rapport à Torigine 0. En effet, le moment Ma;/, par exemple, de la ligne /par rapport à Taxe des x n'est autre chose que la projection sur cet axe du moment Mo/ de cette même ligne par rapport au point 0. Le moment Mo/ est donc la résultante des trois moments ci-dessus calculés et l'on a :

Mo/= y/ (MxQ' + (My/)' + {wj)'

= s! [Izy — lyzy + (l^z — hxY + {l^ — u yy

On déterminera de même la direction de ce moment, par les angles >., ^^ v qu'il fait avec les trois axes et dont les cosinus ont évidemment pour valeurs :