COSA = — ; , COS IX = -^, , COS V

Moi ^ Mot Mol

1. Il est utile de se les rappeler et d'avoir un moyen mnémonique de les écrire sans hésitation. En voici un qui me semble simple : on écrit les trois projections en sens inverse de Tordre alphabétique et on les répète dans le même ordre puis, on écrit, au-dessous les coordonnées correspondantes. On divise de deux en deux par des barres verticales, et Ton a ainsi :

ly Ix

U ly \ Ix h

et chacun des moments est alors le déterminant compris entre deux barres verticales consécutives.

f •. Moment d'une li^^ne par rapport & un aïKe qneleonque mené par l'orlfrine. — Le moment par rapport à rorigine étant ainsi exprimé en fonction des projections sur les axes de la ligne /, et étant déterminé en grandeur et en direction, on pourra trouver facilement le moment de la ligne / par rapport h un axe quelconque passant par le point 0. Ce moment n'est autre chose, en effet, que la projection sur cet axe du moment de la ligne / par rapport au point 0. Si a, p, Y sont les angles formés avec les trois axes coordonnés par cet axe quelconque OU, le moment de la ligne / par rapport à cet axe^ que nous représenterons par mj, sera égal au moment de / par rapport au point 0, ou à Mol, multiplié par le cosinus de l'angle compris entre Taxe OU et la direction de ce mo-. ment, lequel cosinus a pour expression :

cos a cos X + cos p cos ^ + cos y cos V.

Nous aurons ainsi, en mettant pour cos >., cos pi, cos v leurs valeurs ci-dessus :

Mm/ = Mo/* (cos a COS ^ + cos p cos (A + cos Y cos v) =ll«/. cos a + My/. cos p + mj' cos y.

Le moment de la ligne / par rapport à Taxe OU est donc la somme des projections, sur cet axe, des moments de la même ligne par rapport aux trois axes coordonnés.

Ce résultat pouvait être trouvé directement. Soit OM (fig. 12)

le moment de la ligne / par rap* port au point 0, les moments de la même ligne par rapport aux axes coordonnés, qui sont les pro* jections de OM sur ces axes, sont équipoUents aux lignes OP, PQ et QM. La projection de OM sur OU, c'est-à-dire le moment de / par rapport à OU, sera évidemment égale à la somme des projections ^'^- *^" sur OU de ces trois lignes OP,

PQ, QM ; ce qui est conforme à Téquation ci-dessus.

17. Moment d'un isyattèine «le li^ncfli par rapport à un axe. — Si au lieu d'une seule ligne /, on avail un système de lignes placées d'une manière quelcgnque dans l'espace, tout ce qui vient d'être dit s*appliquei*ait sans modification.

Le moment -résultant de ce système de' lignes, par rapport à un point quelconque, pris pour origine des coordonnées, sérail la somme géométrique des moments de toutes ces lignes par rapport à ce même point; et les moments résultants par rapport aux trois axes coordonnés, projections sur ces axes du moment résultant par rapport au point 0, seraient les sommes algébriques des moments de ces lignes par rapport aux mêmes axes.

Si le système dont il s'agit était tel que sa somme géométrique fut nulle, son moment résultant serait le même (n*^40) par rapport à tous les points de Tespace. Il en résulte que si Ton considère un système de lignes dont la somme géométrique est nulle ^ la somme des moments de ces lignes, pur rapport à tous les axes parallèles à une même direction, est la même. Et si cette somme de moments est nulle par rapport à trois directions rectangulaires, elle sera nulle par rapport à un axe dune direction quelconque ; car le moment résultant par rapport à l'origine des coordonnées est alors nul, et il a la même valeur en tous les points de l'espace.

f S. Moment moyen d'an système de liirnes. — Dans ce qui suivra, nous appellerons quelquefois, pour simplifier certains énoncés :

Moment moyen d'un système de lignes par rapport à un point ou par rapport à un axe, le moment résultant de ce système de lignes divisé par le nombre de ces lignes. Si n est ce nombre, le moment moyen sera représenté par une ligne dont la direction et le sens seront ceux du moment résultant, dont la longueur sera la 7i'«"»® partie de ce moment résultant. Les théorèmes démontrés pour les moments résultants s'appliquent naturellement auxmoments moyens; ainsi, par exemple, celui du n** 12 cî-dessus s'énoncera ainsi :

Le moment moyen d'un système de lignes pnr rapport à un point quelconque 0' de V espace est égal A la somme géomêtri-

qm du moment moyen de ce système p'V rapport à un premier point et du moment^ par rapport àO\de la moyenne des li^ gîtes données, menée par. le point 0.

Et si Ton applique ce même théorème aux moments par rapport à un axe, on dira : Le moment moyen dun système de li-^ gnes par rapport à un axe quelconque est égal à la somme algébrique du moment moyen de ce système par rapport à un axe parallèle au premier et du moment, par rapport à ce pre^ mier axe, dune ligne égale à la ligne nioyenne du système, menée par im point quelconque du second.

EQUIVALENCE ET COMPOSITIOiN DES SYSTÈMES