DE LIGNES

i^. De« systèmes équivaleuts. — Deux systèmes de lignes qui ont même moment résultant par rapport à un point donné de Tespace, ont même somme de moments par rapport à un axe quelconque mené par ce point ; et si, en même temps, les deux systèmes de lignes ont môme somme géométrique, ils auront les mêmes sommes de moments par rapporta tous les axesde Tespace^ c'est-à-dire même moment résultant par rapport à tous les points de Tespace.

Soient en effet deux systèmes de lignes /i, /g,... et >.i, \%... ayant même somme géométrique :

et même moment résultant par rapport à un point :

(2) ««Mo/ (=) Siriio >-

Considérons un troisième système, /\, t^,.. formé de lignes égales et directement opposées aux lignes A, /{,.. de l'un de ces systèmes. La somme géométrique de ce troisième système sera égale, mais de signe contraire, à celle de chacun des deux autres, et il en sera de même de son moment résultant par rapport au point 0. On aura ainsi :

^^ ( S«Mo/' (=) — S«llo/ (=) — S^MoX.

L'ensemble des lignes des systèmes /' et X constitue un système dont la somme géométrique est nulle et, par conséquent, le moment résultant de ce système est le même pour tous les points de Tespace. Nous aurons ainsi, pour un autre point quelconque 0' :

(3) SffAIo' e (+) H9M0' 'k (=) H^^Mo /' (+) S»lilo>^.

Mais, d'après la seconde équation (2) ci-dessus, le second membre de cette égalité est identiquement nul, par suite le premier Test aussi et Ton a :

(4) SirMo/ 1 (==) — S«rilo/ ^. '

Les lignes l' , étant égales et directement opposées aux lignes /, ont, par rapport au point quelconque 0', des moments égaux et de signe contraire à ceux de ces lignes ; on a ainsi^ quel que soit ce point :

(5) Si^Mo/ /' (=) — SffMo/ ?.

Il en résulte, d'après (4) :

(6) SirMo/ ^ (=) SffHo/ /;

Ainsi, les deux systèmes proposés l ei\ ont même moment résultant par rapport au point quelconque 0'. Ils ont, par suite, même somme de moments par rapport à un axe quelconque ou même moment résultant par rapport à un point quelconque de Tespace.

Deux systèmes de lignes, ayant ainsi même somme géomé* trique et même moment résultant par rapport à un point quel' conque de tespnce sont dits ÉQuiVALErtTS.

Ce qui caractérise donc un système de lignes c'est, d'une part, sa somme géométrique, et, d'autre part, son moment résultant par rapport à un point déterminé. Tout autre système qui aura même somme géométrique et même moment résultant par rapport à ce point, sera équivalent au premier.

L'équivalence de deux systèmes A, 4, /,..., et /'i, f^y /'s*. «se traduira ainsi par les deux équipollences :

SgMol (=) Sff Mo /'.

désignant un point donné de l'espace.

Chacune de ces équipollences équivaut à trois égalités algébriques, de sorte que l'équivalence des deux systèmes s'exprimera algébriquement par les six équations :

•^ i Sifc/= S m/, s My/= s m/, 2 m,/ = 2 M/,

qui, en langage ordinaire, signifient que les sommes des pro^ jections des lignes de l'un et de Tautre système sur trois axes rectangulaires sont les mêmes, et que les sommes des moments de ces lignes par rapport à ces trois axes sont aussi les mêmes.

Et, d'après ce qui vient d'être dit, on voit que si cette égalité a lieu pour un système donné d'axes rectangulaires, elle aura lieu aussi pour tout autre axe quelconque de l'espace et, par suite, pour tout autre système de trois axes rectangulaires.

t#. Exemples simple* de systèmeii équivalents. —

Parmi les systèmes équivalents les plus simples, nous signalerons principalement les suivants :

Tous les couples dont les moments ou les axes (n° 9) sont représentés par des lignes équipollentes sont équivalents.

Cette proposition résulte évidemment de la définition même

de Téquivaleace des systèmes. Si l'on considère deux couples dont les moments sont équipollents, ces deux couples ont même somme géométrique puisque chacun d'eux a une somme géométrique nulle, et si l'on prend leurs moments par rapport à un point quelconque de l'espace, ces moments seront représentés par la même ligne droite.

Tous ces couples, équivalents, sont situés dans le même plan ou dans des plans parallèles puisque leurs axes, perpendiculaires à leurs plans respectifs, sont parallèles. On exprime quelquefois cette équivalence en disant qu'un couple peut être transporté d'une manière quelconque dans son plan ou dans un plan parallèle, à la condition que son moment reste constant.

Ce qui, par conséquent, définit un couple, c'est son axe ou moment. La grandeur des lignes formant couple, leur direction et la grandeur de leur bras de levier sont indiiïérentes. Pourvu que leur axe soit le même, tous les couples sont équivalents.

Deux lignes équipollonles /, /' deviennent équivalentes lorsque l'on ajoute à l'une d'elles, l\ un couple dont le moment est égal à celui de l'autre ligne / par rapport à un point quelconque de celle-ci. En d'autres termes, la ligne unique /est équivalente au système formé de la ligne t et du couple ainsi défini. Ces deux systèmes ont en effet même somme géométrique, puisque /' est équipollente à / et que le couple qu'on y ajoute ne modifie pas la somme géométrique. De plus, ils ont même moment par rapport à un point quelconque de t ^ puisque la ligne l' a, par rapporl à ce point, un moment nul ; ils ont donc même moment par rapport à un point quelconque de l'espace et sont ainsi équivalents.

On exprime celle équivalence en disant qu'une ligne peut être transportée parallèlement à elle-même en un point quelconque de l'espace à la condition que l'on y ajoute, alors, un couple dont le moment soit celui de la ligne primitive par rapport à un point quelconque de sa nouvelle direction.

D'après ce qui vient d'être dit, ce couple peut être formé de lignes de grandeur et de direction quelconques, pourvu que son moment satisfasse à la condilion énoncée. Il peut, par

exemple, si AB = / (fig. 13) et A'B' = /' sont les deux lignes

équipollentes dont il s'agit, être constitué par la ligne / et une ligne égale, parallèle et de sens contraire, A'C, menée par le point A'. Le moment du couple formé par les deux lignes AB, AX est évidemment égal au moment de la ligne / par rapport à un point quelconque de t. Et alors la proposition précédente revient à dire que Fig. 43. i(3s deux systèmes formés Tun par la ligne

/= AB, l'autre par les lignes /' = A'B', AB et A'C sont équivalents. Sous cette forme, elle est évidente puisque le second système se compose du premier et des deux lignes A'B', A'C égales et directement opposées.

Lorsque plusieurs lignes sont issues d'un même point, leur résultante est équivalente au système de ces lignes. En effet, les deux systèmes constitués, Tun par les lignes données, l'autre par leur résultante, ont même somme géométrique et même moment (nul) par rapport au point d'origine. Ils sont donc équivalents.

%\. Autre définltioii de l'équivalence. — Il n'est pas inutile de faire remarquer que la définition des systèmes équivalents, que nous avons donnée au no 19, est une conséquence nécessaire de cette dernière proposition, à la condition que l'on admette encore que deux lignes égales et directement opposées peuvent être ajoutées ou retranchées à un système sans qu'il cesse d'être équivalent à lui-même.

Partons en effet de cette nouvelle définition : la résultante de plusieurs lignes issues d'un même point est équivalente au système de ces lignes, et l'on ne change pas la valeur d'un système en y ajoutant deux lignes égales et directement opposées.

De cette dernière proposition nous déduirons, par un raisonnement identique à celui qui précède, que nous pouvons transporter une ligne, parallèlement à elle-même, en un point quelconque de l'espace, à la condition d'y ajouter un couple formé de la ligne primitive et d'une ligne égale et directement opposée à la seconde.

ào

Pig. 14.

Considérons maintenant un couple quelconque AB, A'B' (fig. 14), menons une transversale quelconque AA' et ajoutons au système des deux lignes AS, A'B' les deux lignes égales et

directement opposées AC, A'C, nous n'en aurons pas changé la valeur. Composons les deux lignes AB et AC en une résultante AD qui leur est équivalente, de même A'C et A'B' en une résultante A'D', le couple AD, A'D' sera équivalent au couple AB, A'B. Le moment du couple AD, A'D' est mesuré par la surface du parallélogramme ADA'D', celui du couple AB, A'B' par la surface du parallélogramme ABA'B' et ces deux surfaces sont égales comme étant le double des surfaces respectives des triangles AD A', ABA' ayant même base AA' et leurs sommets sur une même parallèle à la base. Les couples ont donc mêmes moments. Il en résulte que deux couples de mêmes moments, et situés dans un même plan, sont équivalents.

Soit un couple AB, A'B' et un point quelconque C en dehors de son plan ; menons par le point C deux lignes CD, CD' directement opposées et équipollentes aux lignes AB, A'B'. Supposons, pour simplifier, que les trois points A, A', C

jf (fig. 15) soient dans un même plan per- ' pendiculaire à la direction des lignes.

B L'ensemble des quatre lignes est équiva-

lent au couple AB, A'B', et ces quatre lignes peuvent être considérées comme f-^ formant deux couples AB, CD' et A'B',

CD situés dans des plans concourants.

V Les moments de ces couples sont proportionnels aux bras de levier AC^ C'A' et AA'^ et ce dernier qui est équivalent aux deux autres a pour moment leur moment résultant. Il est facile de voir, en effet, que les axes de ces couples seraient des lignes respectivement perpendiculaires aux trois côtés du triangle ACA'. On en déduit facilement, sans qu'il soit néces-

Fig. 15.

5 3.- ÉQUIVALENCE Et COMPOSITION 3d

saire d'insister sur la démonstration, qu'un système d'un nombre quelconque de couples situés dans des plans concourants est équivalent à un couple unique, dont Taxe est la résultante des axes de tous ces couples.

Par une démonstration identique à celle qui précède, on en déduit Téquivalence entre deux couples de même moment situés dans des plans parallèles.

On arrive alors à démontrer, ce qui est une conséquence immédiate de ces propositions, que deux systèmes de lignes qui ont même somme géométrique et même moment résultant par rapport à un point sont équivalents.

Si, en effet, nous transportons à ce même point toutes les lignes de ces deux systèmes, en ajoutant à chacun d'eux les couples nécessaires, nous aurons, au lieu de chacun de ces systèmes, une série de lignes issues d'un même point, et ayant même résultante ; ces deux séries de lignes seront donc équivalentes, et une série de couples ayant même moment résultant, c'est-à-dire, encore deux séries de couples équivalentes. Les deux systèmes, dans leur ensemble, seront donc équivalents l'un à l'autre, et la définition donnée plus haut (n^ 19) ressort ainsi comme étant la conséquence des deux conditions simples admises pour l'équivalence des lignes.

Tout ce que nous allons dire de la composition des systèmes de lignes s'appliquera donc sans restriction, quelle que soit la définition que Ton aura adoptée*

99. Composition des «ystèmett de lignes. — Composer un système de lignes, c'est trouver le plus simple des systèmes qui lui sont équivalents.

D'après cela, pour composer un système de lignes issues d'un même point, il suffit d'en déterminer la résultante qui représente un système équivalent^ lequel, formé d'une seule ligne, est le plus simple possible.

D'après ce que nous avons dit (n® 19), ce qui définit les systèmes, au point de vue de Téquivalence, c'est leur somme géométrique et leur moment résultant par rapport à un point donné (fig. 16) de l'espace. Nous représenterons ces deux quantités respectivement par les lignes OÂ = R et Om, en écrivant ;

(A)[ ««/(=) Ri

^ ^( S^llo/(=)0m.

Avant d'aborder le problème le plus général, où R et Ow

sont des lignes ayant des grandeurs et des directions quelconques, nous allons considérer les cas particuliers où Tune ou Tautre de ces deux lignes serait nulle.

Le cas où ces deux quantités R et Om seraient nulles à la fois n'a aucun intérêt. Le système équivalent le plus simple se compose d'une ligne nulle.

lo Soit en premier lieu Thypothèse R = 0. La somme géométrique des lignes du système donné étant nulle, leur momoment résultant est le même pour tous les points de l'espace et partout équipolient à Om.

Le système le plus simple satisfaisant à cette condition est constitué par un couple dont le plan est perpendiculaire à Om et dont le moment est équipolient à Om. Ce couple peut d'ailleurs (n® 20) être formé de deux lignes de grandeur et de direction quelconque, ces lignes étant, bien entendu, égales, parallèles et da sens contraire, à la condition que le produit de la grandeur de l'une d'elles par leur distance mutuelle soit égal au moment du couple et qu'elles soient situées dans un plan perpendiculaire à Om. .

Le système formé par ce couple est équivalent au système donné.

Au lieu d'un seul couple, on peut prendre, pour système équivalent au système donné, un nombre quelconque de couples, tels que la somme géométrique de leurs moments soit précisément équipollente à Om.

La somme géométrique de toutes les lignes formant ces couples est nulle comme celle du système donné et leur moment résultant est bien égal à Om. Les deux systèmes sont donc équivalents.

2» Supposons maintenant Om = 0. La somme géométrique R étant différente de zéro, le moment résultant du système de

§ 3. ^ ÉQUIVALKNGË KT COMPOSITION 33

lignes considéré n'est pas le mftme pour tous les points de l'espace ; il est nul par rapport au point 0, mais il ne le serait pas nécessairement pour un autre point 0'.

Le système le plus simple ayant une somme géométrique ^

équipoUente à R et un moment nul par rapport au point Ol sera constitué par une ligne équipoUenle à R menée par le point 0. Évidemment le système formé par cette simple ligne \

sera équivalent au système donné. On dit que, dans ce cas, le système admet une résultante unique, laquelle est la ligne équipoUente à R menée par le point 0.

Ces deux systèmes étant d'ailleurs équivalents ont même moment résultant par rapport à un point quelconque de Tespacc. Or le second système, formé de la ligne unique R, a un moment nul par rapport à tous les points de cette ligne ; il en est donc de même du premier. Ainsi, lorsqu'un système quelconque de lignes a un moment résultant nul par rapport à un certain point de l'espace, il a aussi un moment nul par rapport à une infinité de points situés sur une même ligne droite passant parle premier et parallèle à la somme géométrique du système.

Si l'on considère une autre droite quelconque, parallèle à celle-ci, le moment de la ligne R par rapport à tous les points de cette nouvelle ligne sera le même. Il en sera de même du moment résultant du système donné ; par conséquent, lorsqu'un système quelconque de lignes a un moment résultant nul par rapport à un certain point de l'espace, il a le même moment résultant par rapport à tous les points d'une même ligne droite quelconque parallèle à sa somme géométrique^ ce moment résultant étant d'ailleurs différent pour les diverses droites parallèles à cette direction, mais le même pour tous les points de chacune d'elles.

3* Nous pourrions maintenant aborder le problème général de la composition d'un système dont la somme géométrique R et le moment résultant Om sont quelconques ; mais nous allons encore, auparavant, considérer le cas particulier où ces deux lignes, ayant des grandeurs quelconques différentes de zéro, sont perpendiculaires Tune sur l'autre. Soit donc un sys-

tème de lignes dont le moment résultant Om soit perpendiculaire à la somme géométrique R (fig. 17). Comme on vient de le dire dans le cas précédent, la somme géométrique R n'étant Fig. 17 pas nulle, le moment résultant

Om ne sera pas le même pour tous les points de Tespace. Par le point menons le plan P perpendiculaire àOmet dans ce plan, qui contiendra la ligne R, une ligne AB équipollente à cette ligne et à une distance OÂ, du point 0, telle que le moment de cette ligne par rapport au point soit précisément représenté par Om. Cette ligne ÂB sera équivalente au système donné, et elle représente le système équivalent le plus simple. Dans ce cas, par conséquent, le système admet une résultante unique qui est AB.

Remarquons que la ligne AB et le système donné étant équivalents ont même moment résultant par rapport à un point quelconque de l'espace (o^ 19). Si nous prenons le moment de AB par rapport à un point quelconque 0', ce moment OW sera perpendiculaire au plan O'AB et par suite à la parallèle à AB menée par 0'.

Par conséquent, lorsqu'un système de lignes a une résultante unique, son moment résultant par rapport à un point quelconque de l'espace est perpendiculaire à sa somme géométrique. Cette condition est ainsi nécessaire et suffisante pour qu'un système de lignes ait une résultante unique.

Elle s'exprime analytiquement de la manière suivante : si 24 représente la somme algébrique des projections des lignes / sur l'axe des x, c'est-à-dire la projection sur ce même axe de la somme géométrique R, le cosinus de l'angle formé par

cette ligne R avec Taxe des x aura pour valeur . De même

"S"' ^ s^ï'Oïit '^s cosinus des angles formés par la ligne R avec les axes des y et des z.

Si nous représentons, comme plus haut, par Su»/ la somme des moments des lignes / par rapport à Taxe des x^ c'est-à-dire

la projection, sur cet axe, du moment résultant Om, le cosinus de l'angle de Om avec Taxe des x aura pour expression

•rr — , et de même lep cosinus des angles de Om avec les deux Om '

autres axes seront -tt — et -7- — . Pour que les deux directions

Om Om

Om et R soient perpendiculaires, il faut que le cosinus de leur

angle, lequel est égal à la somme des produits deux à deux des

cosinus des angles qu'elles font avec les trois axes, soit nul.

Cela donne, en faisant disparaître le dénominateur commun

RxOm:

(!) S /.. S ifc /+ 2 /,. S My Z + 2 /z. 2 Uzl = 0.

Telle est la condition nécessaire et suffisante pour que le système de lignes /ait une résultante unique. Elle s'énonce en langage ordinaire en disant que : la somme des trois produits obtenus en multipliant les sommes des projections de ces lignes sur trois axes rectangulaires par tes sommes de leurs moments par rapport aux mêmes axes, doit être nulle.

Cette condition générale comprend, comme cas particulier, celui que nous avons considéré plus haut (page 33), où le moment résultant est nul, et où nous avons déjà trouvé que le système avait une résultante unique.

Mais, au contraire, elle ne s'applique pas au cas où la somme géométrique serait nulle. Dans ce cas, la somme des trois produits est bien nulle puisque chacun Test individuellement, mais il n'y a plus de résultante unique. Le système ne peut plus se. réduire qu'à un couple.

Dans le cas général où ni Om, ni R ne sont nuls, la résultante unique à laquelle peut se réduire le système donné a pour valeur la somme géométrique des lignes de ce système, c'est-à-dire

et les cordonnées x, y, z d'un point de sa direction seront données par les équations

(2)^ (24).^ — {Èlz).x = Sm^,

Si Ton multiplie la première de ces équations par 'LU, la seconde par S/y, la troisième par 2)/^ et si on les ajoute membre à membre, on retrouve précisément Téquation ci-dessus (1). Ces trois équations, étant donnée la condition exprimée par (1), n'en forment donc, en réalité, que deux distinctes entre les variables x, y, z, et définissent, par rapport aux trois axes, la droite qui représente la résultante unique du système.

tS. Cmm général. Ajie central des momeiits. — Consi* dérons le cas le plus général, où la somme géométrique R des lignes du système donné, et le moment résultant Om de ces lignes par rapport à un certain point 0, sont de grandeur et de direction quelconques. On peut alors trouver un système composé d'une ligne unique et d'un couple, qui soit équivalent au système donné.

-^^ '^ Dans un plan perpendiculaire

à Om (iîg. 18), menons en effet, par le point 0, une ligne Op quelconque, puis une autre li- Fig. 18. gne OiPi égale, parallèle et de

sens contraire à O/î, à une dislance 00, telle que le moment du couple formé par ces deux lignes soit précisément Om. Le système des trois lignes R, Op, 0^p^ sera équivalent au système donné puisqu'il a même somme géométrique R et même moment Om par rapport au point 0. Le couple Op, OiPi étant quelconque, on voit que celle solution peut être réalisée d'une infinité de manières différentes. Si Ton compose en une seule les deux lignes 0/? el R, issues du même point 0, la résultante R, de ces deux lignes ol la seconde ligne 0,/>i du couple formeront aussi un système équivalent au système donné ; et Ton voit que les deux lignes R, et 0i;>i ne sont pas dans un même plan, si la somme géométrique R elle-même n'est pas située dans le plan perpendiculaire à Om.

1 3. - équivalenciî: et composition

On peut donc énoncer ainsi les résultats de la composition d'un système donné quelconque de lignes :

Un système quelconque de lignes peut toujours être composé en une ligne unique et uncouplCy ou bien en deux lignes non situées dœis un même plan et dont Vune passe par un point dorme. Et cette composition peut s^ effectuer dune infinité de manières différentes.

De tous ces systèmes, formés d'une ligne unique et d'un couple, et équivalents au système donné, il y en a un pour lequel la ligne est perpendiculaire au plan du couple. Soient' en effet R et Om (fig. 19) la somme géométrique et le moment ré*

PIg. 19.

ftultant du système de lignes donné, et qui définissent ce système. Le moment résultant Om peut être considéré comme formé par la composition de deux moments Omi, Om^ qui seraient ses projections sur la direction R et «ur une direction perpendiculaire menée dans le plan de Om et de R. Le système de lignes donné est donc équivalent à la ligne R et à deux couples dont les moments seraient Omi et Om^. Mais le couple d*axe Omt est situé dans le plan perpendiculaire à Omi, lequel contient déjà la ligne R ; cette ligne R et le couple Omi situés dans un même plan sont équivalents à une ligne unique OiRj équipoUente à R et menée, dans ce plan, à une distance OOi telle que son moment par rapport au point soit précisément Om|. Le système donné est donc équivalent à la ligne OjRj et an couple dont Taxe est Omj, parallèle à 0,Ri, c'est-à-dire à une ligne unique et à un couple situé dans un plan perpendiculaire à cette ligne.

Supposons, maintenant, qae nous ayons pris le moment résultant du système de lignes donné par rapport à un point quelconque 0' de l'espace, et cherchons une relation entre ce moment OW et le moment résultant Om du même système par rapport au point 0.

Le moment résultant OW du système donné par rapport au point 0' sera le même que le moment résultant, par rapport au point 0', du système équivalent formé de la ligne OiRi et du couple dont l'axe est Om|. Ce couple, ayant même moment par rapport à tous les points de Tespace, a pour moment, par rapport à 0', une ligne 0'm\ équipollente à Om, ; il faut y ajouter le moment de la ligne Oi R,. Or le moment 0'm\ de celte ligne, par rapport au point 0', sera perpendiculaire au plan O'OtRi, c'est-à-dire à la direction Om,. Il s'en suit que le moment résultant cherché, O'm', a pour projection surO'R', précisément O'm',.

On a donc ce théorème, que nous avons déjà démontré plus haut(nM2):

Si l'on considère les moments résultant d'un système de lignes par rapport à tous les points de I* espace^ la projection de tous ces moments sur la direction de la somme géométrique du système est constante.

Ce que l'on peut exprimer analytiquement par

SffMo' X cos (SffMo^ Sff/) = const.

Nous avons évalué plus haut (page 35) le cosinus de l'angle formé par la direction du moment résultant et celle de la somme géométrique d'un système de lignes. Si nous multiplions ce cosinus par Hgwiol ^^ si nous observons que la somme géométrique des lignes du système, s^/, est la même pour tous les points de l'espace, l'expression précédente, traduite algébriquement, sera :