Sila:/+ S/y.Silt//H- S4.SMi/ = const

1. On déduit facilement de ce théorème, celui de Chasles, ainsi énoncé : De quelque manière que Von réduise un système de lignes données à deux lignes équivalentes, le volume du tétraèdre construit sur ces deu^ lignes, prises pour arêtes opposées, est constante

Le systëme des lignes données est, comme nous Tavons dit, équivalent à la ligne 0|Ri et au couple dont Taxe est Om,. Quel que soit le point de la ligne OiRi par rapport auquel on prenne le moment résultant du système, ce moment résultant sera équipollent à Om,, puisque le système équivalent a pour moment résultant Om, pour tous les points de OiRi pour lesquels le moment de la ligne Ri est nul. Si Ton prend le moment résultant par rapport à un autre point quelconque 0' de l'espace, ce moment résultant sera la diagonale d*un rectangle ayant un côté équipollent à Om^ et un autre côté égal au moment de OiRi par rapport au point 0'.

La ligne OiRj est donc le lieu de tous les points de l'espace pour lesquels le moment résultant du système a la plus petite valeur possible. On l'appelle axe central des moments^ ou encore axe du couple minimum.

94. Composition des lignes «itoées dans on même plan. — Après avoir ainsi traité en général la qnestion de la composition des systèmes de lignes, nous nous arrêterons à en développer la solution dans deux cas particuliers importants : celui où toutes les lignes sont dans un même plan ; et celui où elles sont toutes parallèles à une même direction.

Lorsque toutes les lignes du système donné sont dans un même plan, ce système a une résultante unique ; en effet, la somme géométrique des lignes est aussi dans ce plan, et tous leurs moments, par rapport à un point quelconque du plan, étant perpendiculaires à ce plan, s'ajoutent algébriquement pour donner un moment résultant perpendiculaire au plan et par suite à la direction de la somme géométrique : condition nécessaire et suffisante (n" 22,3') pour qu'il y ait une résultante unique.

Cette résultante est alors équipollente à la somme géométrique des lignes données, et il suffit d'avoir un point de sa direction pour la connaître entièrement. Le problème peut se traiter algébriquement : il se résoudra par les équations données page 36, ou plutôt par la dernière de ces équations, les termes des deux premières étant identiquement nuls.

Sans se reporter à ces équations, si d'un point quelcon-

que du plan ou abaisse sur les lignes données /j, /,, /,.... des perpendiculaires 0/7i. Opi, Op^... dont on désigne les longueurs par /?!, ;7t) /^a*-* si ^on fait la somme des produits /|/>|, l^p^, Upz'.- ^n prenant positivement ceux pour lesquels les lignes / vues du point Osont dirigées de gauche à droite, et négativement les autres, et si l'on calcule une distance p telle que le produit ; R de cette distance par la somme géométrique R soit égal à la somme algébrique des produits ainsi formés, la ligne R menée à une dislance p du point sera évidemment la résultante cherchée.

t5. Polyiroae fanieulaire. — Cette solution algébrique est souvent remplacée par une solution géométrique, basée sur remploi du polygone funiculaire, et que nous allons faire connaître.

L'usage du polygone funiculaire, qui rend les plus grands services dans les applications et dont l'extension aux divers problèmes pratiques constitue ce que Ton appelle la statique graphique, se déduit d'une remarque ou principe général que l'on peut énoncer ainsi : *

Lorsque des lignes issues d'un même point sont respectivement parallèles aux côtés successifs d'un polygone fermé, parcouru dans un même sens, ces lignes ont une résultante nulle. Et si, à un système donné de lignes, on ajoute un autre sys« tèmede lignes satisfaisant à cette condition, le système total sera équivalent au premier.

Cela est évident puisque le système de lignes que l'on a ajouté a une somme géométrique nulle et un moment résultant nul par rapport à tous les points de l'espace. Son adjonction ne modifiera en rien ni la somme géométrique, ni le mo« ment résultant du premier.

Cette proposition est générale et s'applique à des systèmes quelconques de lignes dans Tospace ; mais nous ne nous en servirons, ainsi que du polygone funiculaire, que pour des lignes situées dans un même plan.

Soit donc, dans un plan, un système quelconque de lignes h> h', ^. h (fig. 20) dont on demande de trouver la résultante. A partir d'un point a quelconque, construisons le polygone

g 3. - ÉQUIVALENCE ET COMPOSITION

abcde de ces lignes, ayant chacun de ses côtés respectivement équipollent aux lignes données ; la somme géométrique de ces lignes sera la ligne ae, et la résultante du système est une ligne équipollent^ à ae^ dont il suffit de déterminer un point.

Fig. 20.

Prenons, dans le plan du polygone abcde^ un point quelconque que nous appellerons le pôle et joignons ce point aux divers sommets du polygone. Ensuite, par un point M, également quelconque, menons une ligne MA parallèle à Oa, jusqu'à la rencontre en A avec la première ligne /|, puis, à partir du point A une ligne AB, parallèle à 06 jusqu'à sa rencontre en B avec la secpndc ligne /t, et ainsi de suite jusqu'à la dernière ligne DN, qui sera menée au-delà de la dernière ligne /«, parallèlement au dernier côté 0^. Prolongeons les deux côtés extrêmes MA, DN du polygone funiculaire MABCDN jusqu'à

leur intersection en P, je dis que le point P sera un point de la résultante du système donné, laquelle sera, par conséquent, la ligne PR menée, parce point, équipollente à ae.

Pour le démontrer, ajoutons au système donné des lignes Aï h^ 4» Al les systèmes suivants, savoir : au point A, deux lignes égales et directement opposées, et égales en grandeur chacune à Oa; sur la ligne AB. aux points A et B, deux lignes directement opposées, égales chacune en grandeur à Ob ; sur la ligne BC, aux points B et C, deux lignes directement opposées, égales chacune en grandeur à Oc; sur la ligne CD, aux points G et Di deux lignes directement opposés, égales chacune en grandeur kOd; ei enfin au point D, deux lignes directement opposées égales chacune en grandeur à 0^ . Le système formé de toutes ces nouvelles lignes et des lignes données sera équivalent au système proposé, puisque chacun des groupes que Ton a ajoutés, formé de deux lignes égales et directement opposées, a une somme géométrique et un moment résultant nuls.

Cela posé, à Tun des sommets intermédiaires du polygone funiculaire, tel que B, nous avons trois lignes issues d*un même point et qui sont respectivement équipoUentes aux trois côtés de l'un des triangles de la ligure Oabcde: les trois lignes issues du point B, par exemple, sont équipoUentes aux trois côtés du triangle Obc parcouru dans le sens ObcO. Si donc nous les retranchons du système de lignes, le système restant sera encore équivalent au système primitif.

Aux sommets extrêmes A ou D, nous avons quatre lignes, mais nous pouvons en supprimer trois qui sont respectivement équipoUentes aux trois côtés du triangle Oab ou Ode. U ne reste alors que deux lignes, respectivement équipoUentes à aO et à 0^ et dirigées suivant MA et ND. Ces deux lignes, qui forment un système équivalent au système donné, concourent en un point P lequel appartient à leur résultante et, par suite, à la résultante du système donné. On voit, d'ailleurs, que ces deux lignes, équipoUentes à aO et à 0^, ont pour somme géométrique ae ou R.

Si les deux côtés extrêmes MA, ND du polygone funiculaire, au lieu de concourir en un point P, étaient parallèles, le système donné de lignes serait équivalent à un système de deux lignes

parallèles, égales^ et opposées, c'est-à-dire à un couple. En effet, si les côlés MA et ND sont parallèles, il en est de même des c6lé8 aO et 0^, lesquels concourant en un môme point ne peuvent que se confondre. Les points a eie coïncidant, la somme géométrique des lignes données est nulle, et les deux lignes dirigées suivant MA et ND, auxquelles on peut réduire le système donné, sont parallèles, égales et opposées.

Tout autre couple ayant même moment, serait aussi équivalent au système donné.

Enftn^ si les deux lignes MA, ND étaient dans le prolongement Tune de l'autre, le système donné aurait une somme géométrique nulle et un moment résultant également nul ; il se réduirait à une ligne nulle.

••. ApplieMion au emn de lli^ues parallèle». — Le

polygone funiculaire permet donc, par une construction gra^ pbique simple, de trouver la résultante d*un système quelconque de lignes. Cette construction est générale : elle s'applique en particulier au cas où les lignes données sont parallèles, de même sens ou de sens contraire. Le polygone des lignes aAcde se réduit alors à une ligne droite, et la somme géométrique ae des lignes données en est la somme algébrique.

Soit, par exemple, le cas simple de deux lignés parallèles et de même sens, A, /| (fig. 21). Portons à partir de a les lignes

Fig 21.

ab et bc équipollentes respecti/ement à /< et à /,; prenons un

pôle quelconque 0, menons Oa, 0^, Oc, puis, par un point M qqelconquc, construisons le polygone funiculaire MABN dont les côlés sont respectivement parallèles à ces trois lignes, la résultante R du système des deux lignes /| et /,, laquelle est égale à la somme de ces deux lignes ou à ac, passera par le point P, intersection des deux côtés extrêmes MA, NB.

On peut remarquer que la ligne PR ainsi définie, étant la résultante du système donné, elle a même moment que ce sys*' tème par rapport à un point quelconque du plan. Et puisque son moment est nul par rapport à un point de sa direction, il en résulte que les deux lignes /j, /, ont, par rapport à l'un de ces points, des moments égaux et de signe contraire, ou, en d'autres termes, que la résultante est située entre les deux et que leurs distances à cette résultante sont en raison inverse de leurs longueurs. On peut vérifier, en effet, d'après la similitude des triangles APQ, Oab et BPQ, OcA, que Ton a bien

BQ AQ AB

li k ~R' Cette remarque donne, pour le cas de deux lignes parallèles, un moyen très simple d'en avoir la résultante : si sur la direction de /i (fig. 22) on prend une longueur ab égale à /, et sur la direction de 4 une longueur cû? égale à A, mais de sens con* ^ traire, et si l'on joint les points ac, bd, le point P, intersection des deux lignes ainsi ^ tracées, appartiendra à la résultante. On a,

U^ en effet, par construction : ip^^^^f'

^*«- ^' Si les deux lignes parallèles, au lieu

d'être de même sens, étaient de sens contraire, comme A, 4 dans la fig, 23, le polygone de ces lignes se formerait en portant ab équipollent à A et bc (=) /{. Le polygone funiculaire serait MABN, et le point P, d'intersection des deux côtés extrêmes MA,BN serait un point de la résultanle, laquelle serait équipoUenlo à ac ou à /, — /,. On reconnail ici encore que, pour que le moment de la résultante par rapport à un point quelconque du plan, par rapport au point P par exemple, soit égal à la somme algébrique des moments des lignes /«, i%, il

s 3. - ÉyUlVALBNCE ET COMPQîSmON

faut que cette somme soit nulle, c'est-à-dire que le poiat P soit situé en dehors des deux lignes parallèles, et à des distances inversement proportionnelles aux longueurs des lignes données.

•^-Aï,

Fig. 23.

La position de la résultante peut dans ce cas s'obtenir comme dans le précédent, par la même construction graphique. Que Ton porte en ab (fig. 24) sur la direction de li une • { longueur égale à /„ puis, sur la direc-

tion de /„ une longueur cd égale à /i, mais.en sens contraire, que Ton mène les lignes ac, dfi?,leurpoint d'intersection ^'i ^"-^^ P appartiendra comme tout à Theure

^J--- — '^ à la résultante. On a bien, en effet, ^ """ ^ Vd li

Fig. 24. La composition des lignes parallèles

ou autres est donc, au moyen du polygone funiculaire, une opération des plus simples. Il en est de même de Topération inverse, de la décomposition ou de la substitution à une ligne, ou à un système donné, de deux lignes qui lui soient équivalentes et qui satisfassent à une condition donnée.

Soit par exemple une ligne R (fig. 25) qui sera, ou bien une ligne donnée, ou bien la résultante d'un système donné, et à laquelle on demande de substituer un système équivalent formé de deux lignes passant par des points donnés A, B et parallèles à la ligne donnée.

Si nous supposons le problème résolu, et si ac, câ représentent les deux lignes cherchées dont la somme algébrique est

égale à ai ou R ; si nous prenons un pôle o quelconque et si nous construisons le polygone funiculaire MâBN, ses côtés extrêmes, prolongés, se rencontreront en un point P de la ligne donnée R. Donc il suffit, pour résoudre le problème, de prendre sur R un point quelconque P, de le joindre aux points donnés A, B ; puis, par les extrémités de la ligne ab équipollente à R, de mener deux lignes ao^ bo, respectivement parallèles à PA^ PB ; enfin, par leur point d'intersection o, de mener oc. parallèle à AB ; le point c interceptera sur ab deux segments ac^ cb dont les longueurs seront celles des lignes cherchées; c'est-à-dire qu'en menant par les points A, B des lignes équipoUentes à ces deux segments, le système de ces deux lignes sera équivalent à la ligne donnée R ou au système dont elle est la résultante.