Propriétés prioeipales dv polyiroMe tanlealalre

-— Nous allons établir quelques propriétés fondamentales du polygone funiculaire, qui sont d'une grande utilité dans les nombreuses applications que l'on fait de ce genre de construction.

Il est d'abord évident que si Ton a un système quelconque de lignes et si l'on en construit un polygone funiculaire à

5 3. — ÉQUIVALENCE Et COMPOSITION

l'effet d'en trouver la résultante, quelle que soit la position que Ton aura adoptée pour le pôle, les deux côtés extrêmes du polygone funiculaire se rencontreront sur la direction de la résultante. Par conséquent , lorsque le pôle d'un polygone funiculaire se déplace d'une manière quelconque dans son plan, le lieu des points d'intersection des côtés extrêmes du polygone funiculaire est une ligne droite : la résultante du système de lignes considéré.

 chaque point de ce lieu correspond un pôle déterminé^ si, d autre part, les côtés extrêmes du polygone funiculaire sont assujettis à passer par deux points fixes donnés ; et inversement, à un pôle déterminé correspondent deux côtés extrêmes bien définis s*ils sont astreints à cette condition, et cela, quel que soit le système de lignes donné, pourvu qu'il ait pour résultante celle du système considéré.

Il en résulte que si les deux côtés extrêmes dn polygone funiculaire sont assujettis à passer par deux points donnés, ces côtés extrêmes seront les mêmes, pour un même pôle, pour tous les systèmes équivalents ou ayant même résultante.

Parmi tous ces systèmes, ayant même résultante R, consi* dérons en particulier celui qui serait formé de deux lignes, menées parallèlement à cette résultante par les deux points fixeç A et B (fig. 26), par lesquels sont supposés assujettis à passer les côtés extrêmes de tous les polygones funiculaires,

Pour avoir la grandeur de ces lignes, nous aurons dû, par un poinl quelconque P de la résultante, mener deux droites PM, PN passant par les points A et B, puis, par les extrémités a,b de la ligne ab équipollente à R, mener ao, bo paraUèlcs à MP, PN ; et enfin, par le point de concours o de ces deux lignes, mener oc parallèle à ÂB. Le point c divise alors la résultante ab en deux longueurs ac, c6, qui sont celles des deux lignes qui doivent être menées respectivement par les points A, B pour former un système équivalent à R.

Or la grandeur de ces deux lignes, et par suite la position du point c,est indépendante du mode de construction que Ton aura adopté. Quel que soit le point de départ P, le pôle o sera toujours sur une parallèle à AB menée par ce point c. Mais les côtés extrêmes, MP, PN.du polygone funiculaire, assujettis à passer par les points fixes A, B sont les mêmes pour tous les systèmes équivalents et pour un même pôle o. U en résulte que le lieu des pôles des polygones funiculaires d'un système quelconque de lignes, dont les deux côtés extrêmes pivotent autour de deux points fixes, est une droite parallèle à celle qui joint les deux points fixes; et que, réciproquement, si le pôle d'un polygone funiculaire se déplace suivant une certaine droite, et si d'ailleurs l'un des côlés extrêmes de ce polygone pivote autour d'un point fixe, l'autre côté extrême pivotera autour d'un autre point fixe situé, avec le premier, sur une même parallèle à la droite décrite par le pôle.

Il est d'ailleurs facile de reconnaître que, dans ce dernier cas, tous les côtés intermédiaires du polygone funiculaire pivotent également autour de points fixes situés en ligne droite, sur une parallèle à celle que parcourt le pôle. Il suffit de considérer successivement chacun des côtés comme étant le côté extrême du polygone funiculaire d'un système de lignes formé de celles du système donné comprises entre ce côté et le premier.

Cette propriété sert, en particulier, à résoudre le problème suivant qui peut avoir un certain intérêt pratique : étant donné un système de lignes, construire un polygone funiculaire dont les deux côtés extrêmes passent par deux points donnés.

En partant de l'un des points donnés A et d'un pôle arbi-

§ 3. — ÉQUiVALEiNCE Et (COMPOSITION 49^

trairement choisi on construira un polygone funiculaire quelconque des lignes données : il ne passera généralemenl pas par le second point donné B. Mais, si Ton mène par le premier point A une ligne quelconque et si Ton prolonge, jusqu'à sa rencontre, tous les côtés de ce polygone funiculaire, on pourra considérer tous ces points d'intersection comme les points autour desquels pivoteront les côtés du polygone funiculaire lorsque le pôle se déplacera parallèlement à la ligne sur laquelle ces points sont situés.

Prenant donc le point de pivotement du dernier côté et le joignant au point B, on aura une position de ce côté extrême, satisfaisant à la condition donnée. Par suite on aura : ou bien la position correspondante du pôle, ou bien, de proche en proche, les positions des côtés précédents jusqu'au premier ; ces positions étant déterminées, chacune, par le point de pivotement de ce côté et par Tintérseclion du côté suivant, connu, avec la ligne correspondante du système donné.

Le problème comporte évidemment une infinité de solu^ tiens correspondant à toutes les lignes que Ton peut mener arbitrairement à partir du premier point fixe, c est-à-dirc à toutes les directions suivant lesquelles on peut déplacer le pôle. Il sera donc possible de satisfaire en même temps à une troisième condition donnée : soit que Tun des côtés intermédiaires passe lui-même par un troisième point donné, soit que le pôle se trouve sur une droite donnée, etc.

Nous n'insisterons pas sur ces propriétés du polygone funiculaire qui sont développées dans les Traités de statique graphique^ et qu'il suffit ici d'avoir rappelées sommairement.

Mentionnons encore, dans un autre ordre d'idées, celle-ci qui est tout à fait élémentaire et classique :