Polygone fanienlaire de lis^iies parallèles

Le polygone funiculaire d'un système de lignes parallèles, égales et équidistantes est inscriplible dans une parabole du second degré.

Soient /|, l^, Z,.... (fig. 27) des lignes parallèles, égales et équidistantes. Le polygone de ces lignes sera une simple

droite abcdef^ divisée en parties égales. Si, au moyen d'un

pôle quelconque, nous construisons le polygone funiculaire MAB...N,et si nous prenons le premier côté prolongé AN', paur

Fig. 27.

axe des a?, celui des y étant la première ligne l^ passant par le point A, nous aurons, en désignant parxiyO?,, x^,.., les abscisses des sommets A, B, G.... et par a chacune des longueurs égales interceptées sur AN' par les parallèles équidistantes :

a?j = 0, Xt = a^ a:s = 2a,.*. Xn = {n — 1) o.

De même, désignons par j/i, y„ ^3.... les ordonnées des sommets, et menons, par chacun des sommets B,C,... des parallèles BCi, CDi... àTaxe des abscisses, nous aurons, en vertu de la similitude des triangles ABB', 06a; BCiC, Oca; CDjD, Oda...,, et de Tégalité des lignes a6, bCfCd..,., et en appelante la longueur BB',

yi=0,y«=6,i/a— yj=26,y4— y3=36...,yn— yn-i=(n— 1)6;

ou bien, en additionnant toutes ces équations :

= + 26+ 36 H-.... (n — 1)6=6. HJlpM

Et enfin, en éliminant n, on a entre Xn et y^ la relation

qui démontre bien le théorème énoncé : tous les sommets do polygone sont sur une parabole dont Taxe est parallèle aux lignes données.

On peut encore remarquer que si Ton a un polygone funiculaire d'un système quelconque de lignes parallèles, l'ordonnée d'un point quelconque de ce polygone, mesurée comme cidessus parallèlement aux lignes du système et comprise entre l'un des côtés du polygone et le premier côté prolongé, est proportionnelle à la somme des moments de toutes les lignes situées entre l'origine du polygone et cette ordonnée par rapport à un point quelconque de sa direction.

Soient, en effet, /i, /„ /, (fig. 28) des lignes parallèles quel-

Fig. 28.

conques, MABC. N leur polygone funiculaire construit au moyen d'un pôle arbitraire 0. Menons une ligne quelconque HI, parallèle aux lignes données, rencontrant en K Tun des

côtés du polygone et en I le premier côté prolongé. Il faut démontrer que l'ordonnée £L est proportionnelle à la somme des moments, par rapport à un point quelconque de sa direction, des lignes /j, 4, /, situées entre cette ordonnée et Tori- ^ne du polygone. Appelons Xi, x^^ x^y les distances^ mesurées

perpendiculairement à lear direction, des lignes /,« 4, /, à celte ordonnée quelconque HI, et H la dislance OF du pôle O an polygone des lignes abc.f. La somme des moments des lignes A, /„ /, par rapport à un point quelconque de HI sera /i â?i + /f ^2+4 ^s« Prolongeons jusqu'à la rencontre de HI les côtés précédents AB, BC, du polygone funiculaire, et soient Py Q les points d'intersection. Les triangles semblables API, 06a ; BPQ, (icb\ CQK, 0(fe, nous donnent, en obser\'ant que nbj bcj cd sont égaux à /i, /«, /,:

PL Xi

QP *j