CHAPITRE II

801CMAIRE t

1 1. Centres de gravité : 29. Centre des moyennes distances d'un système de points. — 80. Centre des lignes parallèles nu de gravité. — 81. Centre de gravité d'un système de deux groupes de points —82. Centre de gravité des volumes^ surfaces ou lignes. — 38. Formules simplifiées pour déterminer le centre de gravité. — 34. Centre de gravité trouvé par sa projection. — 85. Formules pour les espaces hétérogènes. — 36. Exemples de la détermination des centres de gravité. — 87. Centres de gravité de lignes. — 88. Centrer de gravité de surfaces. — 89. Centre» de gravité de volumes. — 40. Théorèmes de Guldin.

|2. Moments d*inerUe : 41. Moment d'inertie d'un système de points. Rayon de giration. — 42. Moment d'inertie des volumes, surfaces ou lignes. — 48. Moments d'inertie par rapport à des axes parallèles. — 44. Moments d'inertie par rapport à des axes concourants. -^ 45. Eliip? soïde d'inertie. — 46. Axes principaux d'inertie. — 47. Axes principaux passant par le centre de gravité. — 48. Détermination du moment d'inertie d'un système. — 49. Recherche du moment d'inertie de volumes. ' 60. Moments d'inertie de surfaces.

••. Centre de* majrenue» distances d'un Mystènte de pein(4t — Oq appelle centre des moyennes distances d'un

système de points, disposés d'une manière quelconque dans l'espace, un point tel que la somme géométrique de ses distances à tous les points du système soit nulle.

On peut démontrer facilement l'existence d'un pareil point. Soient en effet nii, iw,, m,, «n* (fig. 29) des points disposés

Pig. 29.

d'une façon quelconque dans l'espace. Prenons un autre point arbitraire A, joignons-le à tous les points du système par les lignes Ami, Am,... et construisons la somme géométrique AM de toutes ces lignes. Divisons cette ligne AM en autant départies égales qu*il y a de points dans le système et portons une de ces parties de A en sur sa direction ; le point sera le centre des moyennes distances. Joignons-le, en effet, à tous les points mi, m„ m,, m*, nous avons par construction :

Amj (=) AO(+)Om„ Am, (=) AO (+) Om„

etc

Faisons les sommes géométriques des deux membres, nous aurons, en remarquant que les lignes AO s'ajoutent algébriquement, et en désignant, d'une manière générale, par ;i le nombre de points du système :

Am, (+) Aw, (+) Am3(-4-).... (=) n. ÀO (+) Om, {+) Om,

(+) Om, {+-)...

Le premier membre est, par construction, égal à AM ; Bt il

en est de même du premier terme n. AO du second membre. U reste donc simplement :

(i) Om, (+) Om, (+) OW3 (+).... (=) 0.

Le point ainsi déterminé est le centre des moyennes distances du système.

On voit d'ailleurs facilement qu'il n'y en a qu'un, car, d'après ce qui vient d'être écrit, la somme géométrique des distances à tous les points du système d'un autre point quelconque A diffère de la somme géométrique des distances du point 0, d'une quantité égale à n fois AO, c'est-à-dire que si la seconde somme était nulle, la première ne pourrait l'être qu'autant que AO elle-même serait nulle, c'est-à-dire que si le point A se confondait avec le point 0.

Le centre des moyennes distances d'un système de points s'appelle aussi, et plus ordinairement, le centre de gravité de ce système.

SO. €!entre des lignes parallèles ou de grtkTkté. —

Supposons menées, par tous les points du système, des lignes / toutes égales et parallèles entre elles. U est facile de voir que la résultante de ce système de lignes, égale à leur somme algébrique, passera par le centre des moyennes distances 0, tel qu'il vient d'être défini. Menons, en effet, par ce point 0, un plan perpendiculaire à la direction commune des lignes l con* sidérées, et projetons sur ce plan les lignes joignant le centre à chacun des points du système. La somme géométrique de ces lignes étant nulte, il en sera de même de la somme géométrique de leurs projections sur le plan. D'un autre côté, puisque toutes les lignes / menées par les points du système sont supposées égales et perpendiculaires au même plan,ces projections représentent, pour chacune d'elles^ à un facteur constant près, le moment de la ligne l correspondante, par rapport au point 0, tourné de 90 degrés dans ce plan. La somme géométrique de ces projections étant nuUe^ il en est de même, par suite, de la somme géométrique des moments des lignes / ou du moment résultant du système des lignes / par rapport

56 CHAP. n. - CENTRES DE GRAVITÉ ET MOMENTS D'INERTIE

au point 0, lequel appartient ainsi à la résultante de ce système. Et cela, bien entendu, quelle que soit la direction commune de toutes les lignes L

Le centre de gravité, ou centre des moyennes distances, porte quelquefois, pour cette raison, le nom de centre des lignes parallèles.

L'une ou Tautre propriété peut servir h le déterminer ana^ lytiquement.

Supposons les points 77?i, m^, niz,..- rapportés à un système de trois axes rectangulaires ; appelons j:,, y^, z^ ; a;,, y^, z^ ; x^..., les coordonnées de ces divers points et proposons-nous de déterminer les coordonnées X, Y, Z du centre de gravité du système. Soit n le nombre des points dont il est composé.

Construisons le centre des moyennes distances comme nous l'avons défini plus haut (29). Pour cela joignons Torigine des coordonnées h chacun des points nii^ m^,.. et faisons la somme géométrique OM de ces lignes. Projetons sur les trois axes : les projections de Om^ sont respectivement x,, yi, Zi, celles de Owj, x^, yj, z^ et celles de la somme géométrique OM seront égales aux sommes algébriques des projections, c'est-à-dire respeclivemenl Xj+a:, + a;3 -j- ... = 2a?, î/i+yi +y8+--- = 2y, 21+^5 + ^3+... =22;. Mais, d'un autre côté, le centre des moyennes distances G se trouve sur OM à une

distance du point égale à — . Les cordonnées de ce point G sont donc celles du point M divisées par n, et Ton a ainsi :

Si l'on a mené, par les points mi, m,.... des lignes /, parallèles à l'axe des z, par exemple, et égales entre elles, les moments de ces lignes par rapport à Taxe des y seront ^Xi, Zxj,

^3:3 leur résullanle, égale à leur somme, étant n/, devra être

placée à une distance x^ de l'axe des y, telle que son moment soit égal à la somme des moments des lignes composantes, ce

qui donne n/X==2te, ou X = — puisque / est constant. De même pour Y et Z.

Si dans un système de n points nous considérons plusieurs groupes composés respectivement de w', n", w'"... points, de telle manière que m' + w" H-n" + ... soit égal à n, le cenlre de gravité du système proposé sera le même que celui d'un sys* tème dans lequel tous les points du même groupe seraient réunis au centre de gravité de ce groupe.

Ce théorème est évident si Ton considère le centre de gravité comme le centre des moyennes distances, obtenu comme plus haut (n^ 29). On peut analytiquement le démontrer de la manière suivante :

Appelons X', Y', Z' les coordonnées du centre de gravité du premier groupe, X", Y*, Z'', celles du centre de gravité du seoond, et ainsi de suite. Nous avons

Les coordonnées X, Y, Z du centre de gravité de Tensemble

Z«r 2t/ 2jJ

du système sont, par définition : X = — , Y= — , Z = — .

Des expressions précédentes nous déduisons immédiatement

nX + ?e"X" + M'X"+ ... = Sa;'-hSx" + Sx"+ ... = Sa: et par suite

n tt

L'abscisse X du centre de gravité est donc la même que celle d'un système de n points dont n' auraient Tabscisse X' , n" l'abscisse X^^ etc., c'est-à-dire la même que celle d'un système dans lequel tous les points du même groupe auraient même abscisse X que le centre de gravité de ce groupe. De même pour les autres coordonnées, ce qui démontre le théorème énoncé.

Pour plus de généralité, si nous supposons qu'en chacun des points soient groupés ou concentrés un certain nombre n de points, lesquels se trouvent ainsi tous à la même distance d'un axe ou d'un plan quelconque, le nombre n étant d'ailleurs constant ou variable et pouvant être égal à l'unité, et si nous appelons N le nombre total des points, N = Sn, les valeurs des

58 CHAP, II. — CEdSTRES DE GRAVITÉ ET MOMENTS D'INERTIE

coordonnées du centre de gravité da système s'exprimeront, d'après ce que nous venons de dire, par

Inx Inx

„ Inz 2 ni

Si. Centre de grawHé d'an «ystèine de deax i^i^npes de points. — Le centre de gravité d'un système composé de deux groupes de points se trouve sur la ligne droite qui joint les centres de gravité de chacun de ces groupes et la partage en deux parties inversement proportionnelles aux nombres de points des deux groupes.

Soit en effet (fig. 30) un système de /'• *.*.. * ' fi' ' points que Ton a divisé en deux grou-

'■•:'::Z ^ ^ ' P^^ ^^^^ ^*^^» formé de n points a son

' • • ' centre de gravité en et Tautre, formé ^*8- ^' de n ' points, a son centre de gravité en

0'. D'après ce qui vient d'être dit, le centre de gravité du système est le même que celui d'un autre système composé de n

points placés en et de n' poinls placés en 0'. Si nous prenons

or* ti' sur 00' un point G tel que — - = -, c'est-à-dire divisant la

Ou n

longueur 00' en deux parties inversement proportionnelles à n et n, la somme des distances du point G à tous les points du premier groupe sera n.OG, et la somme des distances du même pointa tous ceux du second groupe sera n'.OG. Ces deux sommes étant égales et directement opposées, la somme totale des distances du point G à tous les points du système est nulle, el ce point est ainsi le centre de gravité de l'ensemble du système.

Ces deux théorèmes simplifient beaucoup la recherche des centres de gravité. 11 en est de même du suivant, bien qu'il soit d'une application moins fréquente.

Si Ton a un système composé de deux groupes de points et si l'on suppose que l'un de ces groupes se soit déplacé par rap-

s i. — CENTRES DE GRAVITÉ 59

port à Tautre de manière que son centre de gravité, d'abord

en 0' (fig. 31) soit venu en 0',, le cen- • tre de gravité G du système se sera déplacé sur une parallèle à O'O', et d'une quantité GGj qui sera à O'O', dans la proportion du nombre des points du groupe 0' au nombre total des points du système.

Cette proposition résulte évidemment de ce que, dans l'une ou l'autre des positions du second groupe, cor- '^' respondant aux positions 0',0't de son

centre de gravité, le centre de gravité de Tensemble du système partagera la ligne joignant au point celui de ce groupe en parties inversement proportionnelles aux nombres de points.

On aura donc, en appelant comme plus haut n et n' ces nombres

OG n' OGi n'

Wg — «^ ' Ô^G "^ "" ' ^'^^ ^' résulte que GGi est parallèle à O'O'j

et que Ion a •rrrr== .

M9, Oentre de grawHé den volumes, surfaces on

llipues. — La définition du centre des moyennes distances ne s'applique qu'à des systèmes de points isolés. On étend cependant la définition et la notion du centre de gravité à des espaces continus que l'on considère comme des systèmes formés d'un nombre de points indéfini en supposant ces points répartis dans l'espace suivant une certaine loi. Le plus généralement, là loi de la répartition est supposée uniforme. C'est-à-dire que dans un espace quelconque, on suppose toujours exister un nombre de points proportionnel à l'étendue de cet espace. Cette étendue peut d'ailleurs être considérée à une, deux, ou trois dimensions. Cela veut dire que dans un élément de longueur, Ax, ou dans un élément superficiel ^xày ; ou dans un élément de volume ^xày^z, il y aura toujours un nombre de points égal à celui que Ton suppose exister dans l'unité de longueur, de surface 6u de volume, multiplié par Ax, par Aa:Ay ou par A^AyA;?,

Rigoureusement, cette hypothèse est irréalisable lorsjijue Ton considère, comme nous le faisons ici, des points isolés, ou, en général, des espaces discontinus. Si, par exemple. Ton considère des points équidistants placés sur une même ligne droite, et si la longueur Ax de Télément considéré n*est pas un multiple exact de leur distance commune, quelques-uns de ces éléments ^x comprendront plus de points que d'autres, il arrivera même, si ^x est plus petit que la distance mutuelle des points, que certains éléments n'en contiendront aucun.

Les différences seront d'autant plus petites que les points seront plus rapprochés les uns des autres, ou que les espaces qu'ils laissent entre eux seront petits par rapport à ^x. Ces différences de répartition pourront donc, dans bien des cas, être considérées comme négligeables.

Elles seront d'ailleurs absolument nulles lorsque les éléments de longueur, A:r, de surface, AxA?/, ou de volume, àxiiyàz, seront choisis de manière à comprendre exactement le même nombre de points ; et les fornuiles du calcul intégral seront applicables à ces éléments si, au lieu de les faire tendre vers zéro on les fait tendre vers la limite, supposée extrêmement petite, où chacun d'eux ne comprendrait, par esemple, qu'un seul point.

C'est grâce à cette hypothèse que l'on peut considérer le centre de gravité d'une ligne, d'une surface, ou d'un volume déterminés et en ramener la recherche à celle du centre de gravité d'un système de points.

Remarquons d'ailleurs que l'uniformité supposée de la loi de la répartition des points dans une même étendue n'est pas nécessaire, et que le centre de gravité acquiert une signification précise quelle que soit la loi de cette répartition. 11 suffit, en général, que le nombre des points qui se trouvent dans chaque élément de longueur, de surface ou de volume soit déterminé, pour que le centre de gravité le soit lui-même.

Nous supposerons d'abord la répartition uniforme.

Soit un volume, rapporté à trois axes de coordonnées rectangulaires, dont on demande le centre de gravité. Considérons, au point quelconque dont les coordonnées sont x, y, z^ un élément parallélépipède infiniment petit dxdvdz, contenant,

par hypothèse, uq nombre de points proportionnel à son volume. Les coordonnées x^ y, z seront celles du centre de gravité de cet élément. Si nou? supposons placés, à ce centre de gravité élémentaire, lous les points de l'élément, dont le nombre est proportionnel à dxdydz ; si nous faisons la même hypothèse pour tous les autres éléments et si, appliquant le théorème du n** 30 et les formules qui en sont la traduction algébrique, nous cherchons les coordonnées X, Y, Z du centre de gravité de l'ensemble des groupes formés par tous ces éléments, nous aurons, en désignant par une intégrale triple une somme étendue à tout le volume considéré :

,.v y Si Sx dxdydz ^ SSSydxdydz ^ „ S S Sz dxdydz

SSSdx dy dz ' /// dx dy dz^ SSS dx dy dz

Si l'on a une surface d'une forme quelconque, dont rfo) est un élément inBniment petit dont les coordonnées sont x, y, z, on aura de même en appliquant les intégrales à toute l'étendue superficielle considérée :

«. / ^« v i y^'^ r, S Sldtù

Si la surface est plane et si on la prend pour plan des xy^ l'élément diù peut être pris égal à dxdy et alors on a :

,«. ^ SSxdx dy Y SSydx dy

• ^ ~ SSdxdy ' ~ SSdxdy '

De même, pour une ligne courbe quelconque dont de serait un élément infiniment petit, de coordonnées x, y, z, on aurait :

(4) X=-— ~ 1 -x =TT" ' ^ = 77"-

j ds j ds i ds

Si la ligne est droite et prise pour axe des .r, l'élément d$ devient égal à dx et si l'on place l'origine des coordonnées à une des extrémités de la ligne supposée de longueur /, on a

fds = Jdx = / et

jo xdx l* l

il i

Le centre de gravité se trouve donc au milieu de la ligne droite considérée, ce qui d'ailleurs était évident, puisque Ton y suppose les points uniformément répartis sur sa longueur.

88. Formuler «impliflées pour déterminer le eentre de i^ravUé. — Quand on doit trouver le centre de gravité d'un volume ou d'une surface il est généralement préférable, au lieu de diviser cette étendue en éléments infiniment petits dans tous les sens, de la diviser simplement par des plans ou par des lignes parallèles à Tun des plans ou des axes coordonnés et de chercher la distance du centre de gravité à ce plan ou à cet axe : puis de recommencer l'opération dans une ou deux autres directions. Alors, s'il s'agit par exemple d'un volume, en le divisant en tranches infiniment minces par des plans parallèles au plan yz^ et si l'on appelle A Taire, variable avec x, de chacune de ces tranches, l'abscisse X du centre de gravité sera :

/jv ^ i kxdx

i kdx

On n'a alors à calculer que des intégrales simples qui, lors que l'intégration ne peut pas se faire analytiquement, peuvent être évaluées approximativement par la formule de Thomas Simpson. Si Ton a calculé les valeurs de A, pour des valeurs équidistantes de x en nombre impair, si par exemple Ao, Ai, A,... Asn sont ces valeurs correspondant aux abscisses 0, A, 2A,:- ... 2nA; on sait que la valeur de l'intégrale /Arfxsera approximativement donnée par la formule :

(3)/A(ia:=-/i(Ao4-iA,+2Aa4-4A34- -f-2 Aa„.a+^ A^i-fA,»)

De même les éléments qui entrent dans l'intégrale formant le numérateur de l'expression précédente étant les produits Aa? des aires A par les abscisses correspondantes auront respectivement pour valeur : AoXO = 0; AAj ; 2/tA3i ; 3AA, ;.... 2nAA,n. Et par suite, en appliquant la même formule et mettant A en facteur commun, nous aurons :

/Aj?(ia? = - 4»[4Ai + 2x2A2 + 4x3A3+....2X(2n-2)Ag^j

+ 4(2n-i) Ag^i+2nA;g^]

L* abscisse X du centre de gravité sera alors :

4Ai-f2.2Aï + 4.3A3+2.4A4+....-f2(2n-2)A2^.g4-4(2n-4)Ag^.^+2nAç

Ao + 4 Al + 2 Aa + 4 A3 +... 2 Ag^^g + 4 Ag^.^ + Ag^

La même formule s'iappliquerait, sans modification, à la recherche du centre de gravité d^uneaire plane. On la décomposerait en tranches par des parallèles à Taxe des y^ équidistanteset en nombre impair, aKn d'avoir un nombre pair de tranches, et si Ao, Aj Ajn représentent les longueurs de ces

ordonnées et h leur djstance mutuelle,, la formule ci-dessus donnera l'abscisse du centre de gravité.

En opérant ensuite une division analogue en tranches parallèles à Taxe des x^ on calculera Tordonnée de ce point, qui sera ainsi déterminé.

Lorsqu'il s'agit de surfaces planes, cette division en éléments parallèles à l'un des axes peut se traduire par d'autres formules que nous allons faire connaître.

Si l'on considère un élément compris entre deux ordonnées

infiniment voisines (fig. 32) et si l'on désigne par j/i, y^ les valeurs MP, M'P de l'ordonnée du contour de la surface, les coordonnées du centre de gravité I de cet élément, qui se confond à la limite avec la droite MM',

Fig. 32.

d'ailleurs égale à (y,

,r, et IP==-(y,+yi).

seront OP =

La surface de cet élément étant - yi) dx, que l'on peut prendre pour rf(i>, les numérateurs des expressions (2), page 61, donnant les coordonnées du centre de gravité, seront respectivement :

/^(yi — Vi) dx, / 2 (y« + yi) (y» —yù^x; • .

les dénominateurs étant toujours l'étendue totale de la surface fd(ù ou /(yj — yi) dx. Les coordonnées du centre de gravité seront alors :

jr Sx{yt — yi)dx Y __ 1 J (y»* — y»*) dx

Et si la courbe est limilée à Taxe des x, c est-à-dire si j/i est constamment nulle, on aura, en mettant simplement y au lieu dey, :

/gv Y Sxydx Y 1 / fax

S y dx ' 2 S y dx