Poriiialefi pour les espaces hétérogènes

Si Ton suppose que la répartition des points n'est pas uni forme, il faut admettre que l'on connaît, pour chaque élément infiniment petit, le nombre des points qu'il contient par unité de longueur, de surface ou de volume. C'est ce que l'on appelle la demité de l'élément considéré. Cette densité, que nous

désignerons par la lettre p, sera donc une fonction donnée des coordonnées Xy y^ z de chaque élément.

Lorsqu'il s'agit d*un système de points isolés ou, en général, d'un espace discontinu^ la fonction p, elle-même, est discontinue : elle s'annule en effet entre chacun des points isolés pour prendre brusquement à ces points mêmes, une valeur finie ou même infinie. Mais si Ton suppose l'espace discontinu divisé en éléments disposés de telle manière que chacun d'eux contienne le même nombre de points, un par exemple, la densité p, supposée la même dans chacun de ces

éléments, y aura une valeur proportionnelle à Pinverse

ou-j-T- , ou — de l'étendue en volume, en surface ou

dxdydz * dxdy ' dx

en longueur de l'élément considéré. Elle variera ainsi d'une manière graduelle en passant d'un élément au voisin et, si ces éléments sont suffisamment petits pour que l'on puisse négliger l'étendue de l'un d'eux devant celle du système tout entier, elle pourra être considérée comme une fonction continue de X, y, z. Le nombre des points contenus dans chaque élément sera alors ^dxdydz, s'il s'agit d'un élément de volume ; et si Ton suppose tous ces points transportés au centre de gravité de Télément, c'est-à-dire ayant mêmes coordonnées Xy y, Zy on aura pour les coordonnées du centre de gravité du volume total :

ik\^ SIS P^dx dy d% y, SSS ^ xdxdydz y SSS pz dxdydz

~SSSpdxdydz ' ~ SSS p dxdydz ' ~SSfp dxdydz •

Les formules relatives aux centres de gravité des surfaces et des lignes se transformeraient de la même manière : celles des centres de gravité des surfaces deviendraient :

12) y S pJKidt^ Y Spydtù y S p sdm

s p dfù S p dfù S p d^

et celles des centres de gravité des lignes :

(3) Ti=[îJL^j Y — -^p y ^ z =^-^-^

S p ds S pds S pds '

On appelle souvent moment d'un élément d'étendue, de vo^

66 CHAP. II. — CENTRES DE ÛRAVlTÊ ET MOMENTS D'INERTIE

lume, de surface ou de ligne, par rapport à un plan, le produit du nombre de points que renferme cet élément par la distance de son centre de gravité au plan considéré. Alors, les sommes telles que fpxdxdydz, fpxdtùy fpxds, etc., sont les sommes des moments de tous les éléments de Tétendue que Ton considère par rapport au plan des yz. Et, d'après les formules qui viennent d'être établies, ces sommes sont égales aux produits

tels que Xffidxdydz, X/prfw, X/prf«.... c'est-à-dire aux moments de rétendue totale par rapport au même plan.

On en déduit immédiatement ce théorème, qui résulte aussi de la définition même des centres de gravité :

Lorsqu'une certaine étendue, de volume, de surface ou de ligne est divisée en plusieurs parties, le moment de l'étendue totale par rapport à un plan quelconque est égal à la somme des moments de ses diverses parties par rapport au même plan.

Ce théorème nVst que la traduction, en langage ordinaire, des formules donnant les coordonnées du centre de gravité.

••• fimemples 4e ta détermiiiati^ii des eentre» de IrMiirUé. -*-> Nous allons appliquer les formules qui précèdent, ou les considérations générales d'où nous les avons déduites, à la détermination des centres de gravité de lignes, surfaces ou volumes.

Nous nous bornerons au cas d'une répartition uniforme des points, c'est-à-dire d'une densité constante.

Remarquons d'abord que si l'étendue dont nous cherchons le centre de gravité a un plan de symétrie, le centre de gravité s'y trouve nécessairement compris. Cela résulte de la définition même du centre des moyennes distances d'un système de points^ et cela peut se vérifier au moyen des formules analytiques. Si en effet nous prenons le plan de symétrie pour plan des yz, à chaque élément d'une dimension déterminée et contenant un certain nombre de points, situé d'un côté de ce plan ayant par exemple une abscisse positive a;, correspondra de l*aulre côté du plan un autre élément de même dimension, contenant le même nombre de points et ayant une abscisse négative — x. La somme des produits des

nombres des points par leurs abscisses sera ainsi nulle pour ces deux éléoients et par suite pour toute l'étendue dont on cherche le centre de gravité. Or cette somme est le numérateur de l'expression qui donne Tabscisse X du centre de gravité, laquelle sera ainsi nulle, c'est-à-dire que le centre de gravité sera contenu dans le plan de symétrie.

S'il y a deux plans de symétrie, le centre de gravité, devant se trouver dans chacun d'eux, sera un point de leur intersection ; et s'il y a trois plans de symétrie, le centre de gravité sera le sommet de l'angle trièdre formé par ces trois plans.

Observons aussi que si l'étendue totale dont nous cherchons le centre de gravité peut être décomposée en diverses parties, dont chacune ait son centre de gravité dans un même plan déterminé, le centre de gravité de l'étendue totale se trouvera aussi dans ce plan. De même, si les centres de gravité des diverses parties sont sur une même ligne droite, le centre de gravité de l'étendue totale se trouvera sur cette droite. Ces propositions évidentes résultent, immédiatement, soit des formules, soit du théorème général que nous avons démontré plus haut et qui permet, sans modifier le centre de gravité de Tenseoible, de concentrer, au centre de gravité de chacune des parties, tous les points qu'elle contient.

SV. C^ntreti de gvairHé de ligraeii. — 1. Ligne droite* — Nous avons vu plus haut que le centre de gravité d'une ligne droite est au milieu de sa longueur.

2. Contour polygonal régulier (fig. 33). , — Quel que soit le nombre des côtés de ce contour, si l'on en joint les deux ex*

68 CHAP. H. — GiîNTHKS DE GRAVITÉ ET MOMENTS D'JNERTiE

Irémilés A, E, et si du centre du cercle circonscrit à ce couleur on abaisse la perpendiculaire 01 sur le milieu de AE, cette ligne 01 sera un axe de symétrie, sur lequel se trouvera par conséquent le centre de gravité cherché. Si / est la longueur de chacun des côtés AB, BC... le nombre de points contenus dans chacun d'eux sera proportionnel à /, et si

Xij ar,, .r^ .. sont les distances MP des milieux de ces côtés

à la ligne Oy menée par le point parallèlement à AE, tous les points de chacun des côtés pouvant être placés en son milieu, la somme des dislances des points à Taxe Oy sera proportionnelle à la somme te, + tes +...., et Tordonnée X du centre de gravité sera, d'après la formule générale :

en appelant n le nombre des côtés du contour.

Or, si nous joignons au point le milieu M d'un côté quelconque AB, Tapothème OM du polygone sera le même pour tous les côtés ; désignons-le par R. Projetons le côté AB sur AE, en AQ, nous avons, dans les deux triangles semblables

AQB, MPO, la relation -—=--- = -. ou bien Xi = 7. AQ.

AQ Ad l l

Chaque ordonnée ^, du milieu d'un côté est égale à la projection AQ de ce côté sur AE, multipliée par le rapport constant - . Par conséquent, la somme x^+Xi-j-x^.,. de ces ordonnées sera égale a ce rapport constant - multiplié par la somme des

projections telles que AQ, c'est-à-dire par la longueur totale AE de la corde du contour polygonal. On a alors

^ ' l n ni

La distance OG du centre de gravité G au centre du cercle circonscrit est donc égale à l'apothème du polygone régulier ou au rayon du centre inscrit, diminué dans le rapport de la corde AE h la longueur totale ABC...E du contour luimême.

3. Arc de cercle. — La même règle s'applique lorsque le nombre des côtés du polygone inscrit dans un arc de cercle augmente indéfiniment, et par suite à Tare de cercle qui est la limite de ces contours polygonaux réguliers.

L'apothème R devient alors le rayon même de Tare de cercle, et si Ton désigne par 2a Tangle au centre correspondant à lare de cercle, la longueur de cet arc sera 2Ra et la longueur de la corde sera 2Rsina. Nous aurons ainsi, pour la distance, au centre du cercle dont il fait partie, du centre de gravité d'un arc de cercle.

â R sin a R sin a

Nous aurions pu déduire celte valeur de l'application de la

ïxdx

formule générale X = . En effet, Téquation du cercle est

/ ds

ici a:' H- y* = R^ ou y = v'R^ — ^*, et l'on iids = \dx^'^-dy^= — dîvK/ lH-(-p)= — dx.-= — dx - , Et par suite:

^ \^/ y Jb^^

fxds R C-^xdx R /— Ry

Vintégrale étant prise depuis Taxe des a: jusqu'à l'extrémité de Tare. L'autre côté symétrique à l'axe des x donne la même valeur X qui est celle de l'abscisse du centre de gravité de la tolalité de l'arc. En exprimant y et s en fonction de a, on retrouve bien la valeur précédente.