Arc de cyclolde (flg. 34). — Soit à trouver le centre de
Fiff. 34
gravité do Tare de cycloîde AB, engendré par un point M d un cercle de diamètre OC ==: a roulant sur une droite ACB. La normale h cette courbe au point quelconque M est MI
et le coefficient angulaire ~ de sa tangente au même point est exprimé par le rapport — , lequel est égal ài/ ou à
On a donc alors :
On en tire :
(5) 5 = 2 \/T yfx= 2 y/ ax,
en comptant les s à partir du point 0. Alors, l'expression de labscisse du centre de gravité d'un
arc OM sera, en mettant pour x sa valeur j- :
/ xds fs^ds «' «'• À ax x
Jds 4 as 12 a« {2 a 12 a 3
Ainsi l'abscisse du centre de gravité est toujours égale au tiers de celle de l'extrémité de Tare. Il en est encore de même lorsque l'arc comprend la cycloîde entière AOB.
S. Arc de chaînette (fig. 35). — Soit à trouver l'ordonnée du centre de gravité d'un arc de chaînette, symétrique par rapport à Taxe des y dont la longueur M'OM =2s, et dont les 'O^ p X coordonnées MP = y, OP = :c des Fig. 35. extrémités sont connues, ainsi que
l'équation delà courbe :
= -( c* + e " ) = a coh - • 2\ ' / a
g 1. — CENTRES DE GRAVITÉ 71
On a alors :
j!=M;«-r-)=sihf.
dx 2\ ) a
(9) ds=dx\J i + i^^=dx\J \ + sih» ^=rfa?coh^=^rfa?,
et
(10) s=asihî = ?U«— e •)•
Par suite, Tordonnée Y du centre de gravité sera :
