X XX

^ , a / coh* ^dx , /BÎh - coh- \

7. i4rc rfe sinusoïde, — Soît à trouver Tordonnée du centre de gravité de Tare de la sinusoïde ^ = sinâ?y compris entre les points ar = 0, et x=t: où elle coupe Taxe des abscisses.

On a

(12) ds = dx, y \ +(^^\=dx \1\ + co8*x.

Et, par suite :

S vas J «n a? Vl + cos'a?, dx J o v'i -^ cos*a?. ^\ xdx

J ^^ + C08*a?. dx Jq V2 — Bia*ar. dr

le numérateur s'intègre facilement en posant cos x=^u, d*où du= — sin o^e^O/. Quant au dénominateur, son intégrale est une fonction elliptique de seconde espèce. Nous avons ainsi :

^ Sq du V^l + 1**

V^/^rfxy l--8in«a?

72 CHAP. ir. — CENTRES DE GRAVITÉ |ET MOMENTS DINERTIE

ou bien, en désignant par E la valeur de l'intégrale définie du dénominateur :

yfT.E.

La valeur du logarithme népérien de 1 + v^ ^^^ environ 0,8813; celle de Ë, pour Tamplitude t: et pour un module

égal à i/i ou )^ est 2,7012. On a donc :

Ces quelques exemples suffiront pour montrer comment on peut trouver le centre de gravité de lignes planes, lorsque Ton connaît Téquation de ces courbes. La même méthode s^applique aux lignes à double courbure.

8. Arc d'hélice. — Soit une hélice définie par les équations :

(14) ûj* + y* = â*, 2: = ô arc cos - •

et proposons-nous de trouver le centre de gravité de Tare qui commence au plan des xy et se termine au point (2:, y, ;:;).Les équations de la courbe nous donnent :

— 6 b xdx + ydy = 0, rfs = . dx = dx,

La longueur de l'élément de courbe ds étant :

ds = \] dx* -f dy^ 4- da',

on en déduit facilement les relations :

ds dx dy dz

Et alors les coordonnées du centre de gravité sont :

/ ds Jdz z

/jgx i Y ^ ^ —hjdx fe (g — a?)

S ds Jdz z ^

. „ S zds S zdz s

\ S d$ S dz 2 '

Ces résultats se vérifient immédiatement^ sans calcul, par la définition même du centre de gravité.

On reconnaît que, pour tout arc moindre qu'une spire, le centre de gravité se trouve dans le plan perpendiculaire à Taxe de rhélice et passant au milieu de Tare, et au point de ce plan qui est le centre de gravité de la projection de Tare.

SS. Oentre» de srrairité de surfaees. — 1. Triangle. —

Si dans un triangle quelconque ABC (fig. 36), on considère un élément infiniment petit MN compris entre deux parallèles à la base AC, infiniment voisines, le centre de gravité de cet élément se trouvera au Fig. 36. milieu F de sa longueur, puisque cet

élément, à la limite, peut être assimilé à une ligne droite. Il en sera de même de tous les autres éléments semblables dont les centres de gravité se trouveront ainsi sur la médiane BD. Le centre de gravité du triangle sera ainsi sur cette médiane. Et comme il devra se trouver également sur les autres médianes du triangle, il sera au point de concours de ces trois lignes qui, comme on sait, se trouve au tiers de la longueur de chacune d'elles à partir de la base.

On peut remarquer que le centre de gravité de la surface du triangle est le même que celui d'un système de trois points situés à ses sommets. SI, en effet, nous considérons deux de ces trois points A, C, comme formant un groupe, nous pourrons, sans changer le centre de gravité de l'ensemble, les transporter au centre de gravité de ce groupe, c'est-à-dire à leur milieu D. Le centre de gravité du système des trois points se trouve ainsi sur la médiane AD et, d'après le théo-

rème du n" 31, page «^8; il partage celte ligne en parties in* versement proportionnelles aux nombres de points placés à ses extrémités, c'est-à-dire que le rapport de GD à 6B est de 1 à 2 ou que le point 6 est au tiers de BD à partir du point D.

2. Quadrilatère. — Soit un quadrilatère quelconque ABCD (fig. 37). Divisons-le en deux triangles par la diagonale BD, et joignons le milieu I de cette diagonale aux sommets A, G. Le centre de gravité du triangle ABD se trouvera en M^ au tiers de AI à partir du point I, et de même le centre de gravité du triangle BCD se trouvera en N, au tiers de GI à partir du point I. Le centre de gravité du quadrilatère se trouvera n donc sur MN, car on peut supposer

respectivement transportés en M et en N tous les points des triangles dont ils sont les centres de gravité ; et le nombre de ces points sera respectivement proportionnel aux surfaces de ces triangles, c'est-à-dire, puisqu ils ont même base BD, aux distances des sommets A et G à cette Fig. 37. base, ou bien encore aux longueurs

AF, GF des deux segments de la seconde diagonale AG. Si K est le point d'intersection de MN avec BD, on aura, puisque

MN est parallèle à AG, ^^17=775 . Le problème revient donc à

partager la droite MN en deux parties inversement proportionnelles à MK et KN, ce qui se fera, simplement, en prenant, à partir du point N, une longueur NG=MK. Le point G sera le centre de gravité clierché.

Si le quadrilatère est régulier, carré, parallélogramme, le centre de gravité se trouvera au point de concours des deux diagonales qui^ alors, se coupent en leur milieu. Dans le cas du trapèze on peut simplifier un peu la construction qui précède.

3. Trapèze. — Partageons le trapèze ABDG (lig. 38) en deux triangles par sa diagonale GB* Prenons les milieux E, F, des

deux côtés parallèles et menons les médianes CE, BF. En les divisant chacune en trois parties égales aux points M, N, nous aurons les centres de gravité des deux triangles. Par suite, le

le centre de gravité du trapèze se trouvera sur MN. Mais, si nous considérons la ligne EF, médiane du trapèze, elle divise en deux parties égales toutes les lignes menées parallèlement aux bases, elle contient donc le centre de gravité du trapèze qui se trouve ainsi au point G, intersection de MN et de EF.

Ce point peut encore être construit plus simplement. Désignons par B la plus grande et par b la plus petite des deux bases du trapèze et par h sa hauteur. Les surfaces des deux

triangles ACB, BCD seront respectivement y > -g" î '®* ^^^" tances de leurs centres de gravité M, N à la plus grande base