AL L

CD seront "ôt et -^ ; si nous appelons x ei y les distances inconnues du point G aux deux bases B et 6, la somme a?+;(/ étant égale à A, nous aurons, puisque la ligne MN doit être divisée par le point G en parties inversement proportionnelles aux surfaces des triangles ACB, BCD :

__h ^ "" 3 bh b

D'où Toa déduit facilement, en remarquant que x+y=^A ;

Si donc, sur le prolongement de la petite base AB, on porte BH = CD, et si sur le prolongement de DC on porte, en sens

contraire, CK = AB, on auraEH = B + -, et FK = A + -.

Joignant KH, celte ligne coupera £F en un point G tel que les distances GE, GF soient respectivement proportionnelles à EH et à FK, on k y ei h x. Ce sera donc le centre de gravité cherché.

Si Ton prolonge les côtés non parallèles du trapèze jusqu'à leur point de rencontre 0, sur la médiane EF prolongée, l'on a

— = - ; d'où Ton déduit, en désignant par I le milieu de EF,

la relation -ri = - — : . D'un autre côté, le rapport ci-dessus

X GF B + 2^, GF B + 2b ,,„ 2EIB-h2^ ^

- OU ;— = r-T-rr donne -—■, = --- — - , ou Gr == -r- • - — r et y EG b + 2B EF 3(B+&)' 3 B + b

par suite GI = EG — El = — • - — r , ou encore, en remplaçant r— 7 par sa valeur précédente -^ :

(2) GI = JL.

Celte expression, donnant la distance du centre de gravité du trapèze au milieu de la médiane, est utile dans la solution de certains problèmes.

4. Secteur circulaire. — Soit AOB (fig. 39) un secteur circu-

j^ laire dont l'angle au centre est égal à

j^-'-^'^X^ 2a. La bissectrice OC, étant un axe de

1^^^^^====^^^^}^ symétrie, contient le centre de gravité

^^^^"■"qÎ' j^ cherché. Considérons un élément Om»

^""^"^«^^^^ / soustendant un arc infiniment petit mn ;

^*"'*^ cet élément pourra être assimilé à un

Fig. 39. triangle et son centre de gravité g sera

au tiers de la médiane, c'est-à-dire du ravon mené a\i mi-

Heu de m7i. Il en sera de même pour tous les autres éléments dont les centres de gravité seront, par conséquent, sur Tare de cercle ab décrit du point comme centre avec un rayon égal à

r R, si R désigne le rayon OA du secteur donné. On peut trans-

porter au centre de gravité de chaque élément tous les points qu'il contient, et la répartition de ces centres de gravité sur Tare ab sera uniforme si, comme nous le supposons, celle des points dans les divers éléments Test elle-même. Le centre de gravité cherché G est donc le même que celui de Tarcafr. Nous avons vu que ce point est situé sur OC à une distance OG du

point égale à — '• . Nous aurons donc, en remplaçant Oa

par sa valeur - R :

2Rsin a

3. Segment de cercle, — Le segment de cercle ACB (fîg. 40) peut être considéré comme la différence entre le secteur circulaire AOBC et le triangle rectiligne AOB. Si donc nous prenons

les moments de ces trois surfaces par rapport à un axe quelconque, par exemple par rapport à Taxe yOy mené par le point parallèlement à AB, le moment du secteur sera égal à la somme de ceux du segment et du triangle. Si D est le centre de gravité du triangle, E celui du secteur et G celui du segment qu'il s'agit de trouver, nous aurons ;

78 CHAP. II. - CENThRS DE GRAVITÉ ET MOMENTS D'INERTIE

triang. AOB X OD + segm . ABC X OG = sect. AOBC X OE.

et, dans celle équation, lout est connu, excepté OG. Si R désigne encore le rayon AO et 2x Tangle AOB nous aurons : trian-

gle AOB = —• sin 2a; secteur AOBC = R'a ; segment ABC=

R'(a- '"X^); OD=?R cos a ; OE = ^^". Substituanl.réduisant et réaolvaat par rapport à OG, on a