Segment parabolique (fig. 41). — Soit y^ = 2px Téquation

de Tare BAC qui, avec une droite BC, limite un segment parabolique dont on demande le centre de gravité. Toutes les cordes parallèles à BC ayant leur milieu sur le diamètre AD, le centre de gravité cherché sera sur ce diamètre. Considérons un étendent de largeur dx et ayant pour surface 2ydXy si x est son abscisse, son moment par rapport à Taxe des y sera, en appelant 6 l'angle yAx, 2xy sin 0. dx, et Fabscisse Xdu centre de gravité sera donnée par la formule :

V»,. S ^ xysin dx . S xydx

X sm 6 = ou X = — '

S2ydx S ydx

Remplaçons x par |-, dx pai' ^ dy, nous aurons

Le centre de gravité est donc aux - de la distance AD.

7. Surface cyclotdale (fig. 42). — Si Ton désigne par cd l'angle dont a tourné le cercle générateur, c'est-à-dire le double de l'angle MIK, et par a le diamètre OC de ce cercle, les coordonnées du point M de la courbe seront

(6) a:— j(l — cos(o), y =.^(g) +sin w).

La surface étant d'ailleurs symétrique par rapport à Taxe 0:r, le centre de gravité se trouve sur cette ligne, et il suffit de

Fig, 42

déterminer sa dislance X au point 0. La formule générale

f X y dx

S ydx

en y mettant pour x eiy leurs valeurs, remplaçant aussi cb: par

- sin iùd(ùj réduisant, effectuant les intégrations entre leslimî-

tes et TC, ou entre — t: et -{- i:, donne tous calculs faits (ces calculs^ un peu longs, ne présentent aucune difficulté):

^— Ti ^•

8. Surface sinusoïdale. — Soit à trouver le centre de gravité de la surface comprise entre une boucle de la sinusoïde

y = sin a?

et Taxe des x. Les formules générales (6), page 64

S xydx y, 1 Sy^dx

S ydx ' 2 Sydx

en y mettant pour y sa valeur sin x et intégrant de à tt, donnent trës facilement

9. Secteur elliptique. — Soit AOB (fig. 43) un secteur elliptique compris entre un arc d'ellipse AB et deux rayons quelconques AO, BO. Si, sur le grand axe de Tellipse comme

§ 1. — CEiNTRES DE GRAVITÉ

diamètre, nous décrivons une demi-circonférence; si nous

prenons, sur cette ligne, les points A', B' situés sur des parallèles au petit axe menées par les points A et B et si nous menons les rayons OA' , OB', le secteur elliptique pourra être considéré comme la projection du secleur circulaire OA'B . Nous savons trouver le centre de gravité G' de ce secteur, qui est situé sur le ravon OC mené au

2 R sin a

milieu de A'B' et à une distance OG' égale à - • , en

appelant R le rayon OA' du cercle et a Tangle C'OB', moitié de A'OB'. Le centre de gravité G du secteur elliptique sera la projection du poiut G, c'est-à-dire que si, ramenant le point G' au point G sur Tellipse, et joignant OG, nous projetons G' sur cette ligne, la projection G sera le centre de gravité cherché (n^ 34).

10. Surface latérale cVxin cône droit (fig. 44). — Si l'on divise cette surface en éléments triangulaires infiniment petits Smn,

tous ces éléments auront leurs centres de gravité dans le plan aé, parallèle à la base du cône et mené au tiers de sa hauteur. Les éléments superficiels étant d'ailleurs supposés égaux, les centres de gravité seront répartis uniformément sur la circonférence formant l'intersection de ce plan et de la B surface conique. Le centre de gravité de cette surface sera donc au centre G de cette Fig. -44. circonférence, c'est-à-dire au tiers de la

hauteur SO à partir de la base.

H. Surface (tune zone sphérique. — Divisons cette surface, supposée limitée par deux plans parallèles, en éléments infiniment petits par des plans parallèles à ceux ci, et équidistants. Tous ces éléments seront égaux en superficie, car la surface de chacun d'eux est égale à la circonférence d'un grand cercle

multipliée par sa hauteur supposée la même pour tous. Chacun de ces éléments égaux aura son centre de gravité au centre de la circonférence à laquelle il se réduit à la limite, et tous ces centres de gravité seront uniformément distribués sur le rayon de la sphère qui est perpendiculaire aux deux plans limitant la zone. Le centre de gravité se trouvera donc au milieu de la hauteur de cette zone.

Si, au lieu d'une zone sphérique, on avait à déterminer le centre de gravité d'une figure quelconque tracée sur la sphère, on pourrait, dans ce cas, se servir du théorème suivant. Soit Û la surface totale de la figure considérée, Lix. ûy, û^ ses projections parallèlement à trois axes rectangulaires sur les trois plans définis par ces axes, et X,Y,Z les coordonnées de son centre de gravité, par rapport aux mêmes axes rectangulaires, on a :

'^ cïx ~ ciy ~ az ~ a '

En effet, û^ étant la projection de û sur le plan ys perpendiculaire aux Xy si dQ est un élément superficiel dont l'abscisse est X, la formule générale pour les coordonnées du centre de gravité donne

fda a

Le rayon de la sphère étant r, si oc représente Tangle formé avec Taxe des x par le rayon mené du centre à Télément dQ considéré, on aura a? = rcos a et par suite

/rcos a.to frd^ cos a

il a

Or dLÏ . cos a est la projection, sur le plan perpendiculaire aux û?, de l'élément dQ ; la somme de ces projections est donc ce que nous avons appelé Qx, et nous avons

A Ox d

ce qui démontre le théorème énoncé.

Fig. 45

S9. Centres de ^raTiié de v^olnmeii. — 1 . Tétraèdre. (fig. 45). — Soit ABGD une pyramide triangulaire quelconque. Par Tune des arêtes BC et par le milieu E de l'arête opposée AD, faisons passer un plan BEC. Ce plan divisera ea deux parties égales toutes les droites menées dans le tétraèdre, parallèlement à AD. Il contiendra donc le centre de gravité de toutes ces droites et par suite, celui du tétraèdre luimême. Un plan, mené de même par Farête AD et par te milieu F de TanHe opposée BC, renfermera aussi le centre de gravité du tétraèdre, lequel sera ainsi, nécessairement, sur la droite EF, intersection de ces deux plans, qui joint les milieux de deux arêtes opposées. 11 sera, pour la même raison, sur les deux autres droites joignant deux à deux les milieux des autres arêtes opposées ; il sera donc à l'intersection de ces trois droites. D est facile de vérifier que ce point G se trouve, sur chacune de ces médianes, au milieu de sa longueur.

D'un autre côté, sur la médiane DF du triangle BCD, pre* nous le point I à une distance FI égale au tiers de DF, le point I sera le centre de gravité de la face BCD, et si nous joignons AI, cette ligne passera par les centres de gravité de tous les triangles obtenus en coupant le tétraèdre par des plans parallèles à BCD. Le centre de gravité du tétraèdre se trouvera donc sur la ligne AI ; il se trouvera de même sur les trois autres médianes obtenues enjoignant les trois autres sommets B,C,D au centre de gravité de la face opposée. Ces quatre lignes se coupent ainsi en même point qui coïncide avec le point d'intersection des trois médianes, telles que £F. Et Ton peqt constater que chacune des lignes telles que AI, joignant le sommet au centre de gravité de la face opposée^ est divisée par le centre de gravité G au quart de sa longueur à partir de la base. Considérons, en effet, deux de ces médianes AI et BK ; elles sont toutes deux dans le plan

84 CIIAP. il. — CKNTHES DE GRAVITÉ ET MOMENTS D'INERTIE

médian AHB mené par AB el par le milieu II de l'arête oppo-

1 • • i T^F Kl HI HK 1 „ .

see ; et en loignant Kl, nous aurons -7, = —, = m = ô* J'^*^ si ' ^ ^ AB HB HA 3

Ton 'Considère les deux triangles AGB, GKI opposés parle sommet et semblables , on aura — : ==:-—=— = - • Donc