Segment sphériçu€(i\g. 47). — Soit R = OA le rayon de la
sphère étala distance OI,au centre de la sphère,delabase ABdu
G segment. Divisons ce volume par des plans
y^ fS""\ parallèles à la base et infiniment voisins.
^^^---~^}J^^1^Z^^^^ Si X est la distance de Tun de ces plans au
\, TÇ:'''' contre, rfx, la distance de deux plans infi-
(5 nimcnt voisins, l'élément de volume qu'ils
^^^' *^- comprennent enlre eux sera7r(R^ — x^)dx.
Et par suite la distance OG = X du centre de gravité cherché
au point sera ;
^ r ^.^(B» -.')rfx -; (R' - ^')' 3 (^^^
On peut estimer a en fonction de l'angle AOC, moitié de celui que soustend le segment sphérïque. Si Ton pose AOB = 2a ou AOC = a, on a, on effel, a -= R cos a et
cos* -
3. Secteur sphérique, — Si, au lieu du segment ABC, on considérait la porlion du volume do la sphère comprise dans le cbna AOB jusqu'à la surface de la sphère, on pourrait regarder ce volume comme étant formé de deux parties : le segment ABC dont nous venons de trouver le contre de gravité et le cône AOB, limité au plan AB dont le centre de gravité G' est sur la ligne 01 au quart de la longueur de cette ligne à partir du point I, r/ost-à-dire à une distance de égale à
?OI = ?Rcosa = OG'.
Le centre de gravité du volume total sera donc entre les
deux points G et G' et divisera cette dislance en deux parties inversement proportionnelles aux volumes du segment et du cône. Il sera donc faoile de calculer sa position. £n effectuant le calcul, on trouve :
X = ?Rcos»^
Résultat auquel on arrive d^ailleurs directement en employant la méthode décrite au numéro suivant.
6. Autre secteur sphérique. — Au lieu d'être limité par une surface conique et un petit cercle de la sphère, le volume considéré pourrait être limité par des plans méridiens coupant la surface suivant des arcs de grand cercle. Le secteur aurait alors, latéralement, une forme pyramidale. On en trouverait le centre de gravité en le divisant en éléments pyramidaux infiniment petits, ayant leur sommet au centre de la sphère et pour base les éléments superficiels infiniments petits de la base du secteur.
Soit, pour prendre un exemple simple, à déterminer le.cencentre de gravité de la portion de la sphère ayant pour équation:
comprise entre lestroià plans coordonnés ; cette portion est la huitième partie du volume de la sphère (fig. 48). Si nous con
sidérons un élément pyramidal quelconque ayant son sommet en et pour base un élément M infiniment petit de la surface de la sphère, le centre de gravité de cet élément se trouvera au point m à une distance Om du centre O
égale à - R. Les centres de gra
Fig. 48. vile de tous les éléments sembla-
bles seront ainsi répartis uniformément sur la surface sphérique abc décrite du point comme centre avec un rayon
Oa = - R. Le centre de gravite^ Hu volume OABC sera le même
que celui de la surface sphérique a^. Or, si Ion appelle X, Y, Z les coordonnées du centre de gravité de celle surface, qui seront celles du centre de gravité du volume OABC, Ton aura, d'après le théorème démontré plus haut (page 82) ;
X Y Z oa
o(U> oae obc abc
Maïs chacune des projections oaA, oac, obcdw triangle sphérique abc, sur les trois plans coordonnés, a une superficie égale à la moitié de celle de ce triangle sphérique ; par suite, on a :
(4) X=Y = Z = Joa = î.?R = ?R.
Volume paraboloïde (fig. 49). — Soient Ox, Oy, Oz, trois axes de coordonnées quelconques. Dans le plan û?y, on mène
Fig. 49.
une droite quelconque AB rencontrant les deux axes Oo?, 0^, et dans le plan xy une droite DG parallèle à Oo;. Une droite MN glisse sur AB et sur DC en restant constamment parallèle au plan YOZ ; elle engendre un paraboloïde hyperbolique et l'on demande de trouver le centre d(i gravité du volume compris entre cette surface et les trois plans coordonnés.
Soient OB = ûr, OD = ô, OB = c.
Si nous coupons le volume par un plan quelconque EFK, parallèle au plan zOx^ cette intersection sera un triangle. Si,
d'autre part, nous considérons le plan MPN supposé mené parallèlement au plan yOx^ au tiers de la distance OB, et si dans le triangle MNP nous menons la médiane NH, cette ligne passera par les centres de gravité de tous les triangles tels que EFK. Elle contiendra donc le centre de gravité du volume total. De même, si le plan EFK est mené au tiers de la distance OD, il contiendra les centres de gravité de tous les triangles tels que MNP et le centre de gravité cherché, G, se trouvera à Tinlersection de la médiane NH avec ce plan. Si donc on appelle X, Y, Z les coordonnées OP, PQ, QG de ce centre de gravité, on aura
et
Z = GQ = !^ PH = i PM
et comme PM = - OA :
40. Théorèmes 4le Guldin. — Nous nous bornerons à ces exemples, qui suffiront à montrer comment on déterminera le centre de gravité d'une ligne, d'une surface ou d'un volume donné. Et nous terminerons celte étude sur les centres de gravité en démontrant les théorèmes de Guldin, qui permettent de trouver Taire d'une surface de révolution ou le volume d'un corps de révolution lorsque Ton connaît le centre de gravité de la courbe ou de la surface méridienne.
Premier théorème de Guldin. — Lorsqu'une courbe piano
AB, de longueur AB = / (fig.50), tourne
^\m autour d'un axe Oz; situé dans son plan,
\^ et ne la rencontrant pas, l'aire de la
"^\ surface de révolution décrite par cette
>^ courbe est égale à la longueur AB mul-
^ tipliée par la circonférence décrite par
son centre de gravité.
Fi^. 50. Soit ds un élément de cette courbe, x
§ i. - CENTRES DE GRAVITÉ
sa distance » Taxe et X la distance au même axe du centre de gravité G. On a, par définition
Jxds fxds
La surface décrite par l'élément ds est la surface latérale d*un tronc de cône, et elle a pour mesure 27:07^5. La somme de toutes les surfaces élémentaires semblables sera la surface décrite par AB ; désignons-la par S, nous aurons :
S == j2T.xds = 2 TT Jxds = 27:X Jds = 27rX./.
ce qui démontre le théorème énoncé.
Deuanème théorème de Guldin. — Si un contour fermé plan,
AB (fig. 51), tourne autour d'un axe OZ, situé dans son plan et ne le rencontrant pas, le volume décrit par ce contour a pour mesure rétendue û de Paire plane qu'il enferme, multipliée par la circonférence décrite par son centre de gravité.
Soit zdx un élément de la surface AB, compris entre deux parallèles à l'axe distantes de dxy soit x la distance de cet élément à Taxe, et X la distance du centre de gravité, nous aurons :
-- fxzdx Jxzdx
Fig. 51.
j zdx
Le volume engendré par l'élément considéré est la différence de deux cylindres, de hauteur z et dont les bases ont pour rayons respectivement x et x + dx. Il a donc pour mesure ^Tzxdx, z. Et la somme de tous ces volumes élémentaires sera Je volume V engendré par Taire û :
V =z j2'::X.zdx=^ 2-:: fxzdx = 2'::X.Q.
41. Moment d'Inertie d'an syAtème de points. Rayon de i^îpAtion. — Nous appellerons mornenl d'inenie d'un point, par rapport à un axe, le carré de la distance de ce point à Taxe ; le moment d'inertie d'un système de points par rapport à un axe sera la somme des carrés des distances à cet axe de tous les points du système, et le moment d'inertie moyen sera le moment d^inertie total divisé par le nombre des points.
On appelle rayon de giration la distance commune à laquelle devraient être placés tous les points pour avoir même moment d'inertie que le système donné. Il est égal à la racine carrée du moment d'inertie moyen.
Nous représenterons le moment d'inertie d'un système par rapport à un axe par la lettre I affectée d'un indice désignant l'axe ; ainsi le moment d'inertie par rapport à l'axe OZ sera l^z ou simplement Ij. **^ De même le rayon de giration sera représenté par la lettre p affectée du même indice.* Si donc r est la distance MP (fig. 52) d'un point 0' quelconque M àl'aze OZ, nous aurons, par défini-
Fig. 52. xioxi^ si N est le nombre de points du système :
1, = V r' et Np,» = S r' = I,.
Nous pouvons remarquer que, par définition, le moment
1. Nous avons déjA. employé (n« 35) et nous emploierons encore (n© 42) la lettre p pour représenter la densité en cha ^ue point d'un espace continu à deux ou trois dimensions ; celte lettre est alors sans indice, tandis que lors* qu'«'lle désignera un rayon de giration, elle sera toujours affectée d'un indice rappelant la direction de Paxe par rapport auquel on prend le moment dV nertie. Il n'y a donc pas d'ambiguité.
8 2. — MOMENTS DINERTIE 91
d'inertie est une quantité essentiellement positive qui ne peut jamais s'annuler. Elle ne s'annulerait que si le système se composait uniquement de points situés sur Taxe par rapport auquel oi^ prend le moment d'inertie, cas exceptionnel que nous laisserons de côté.
Pour plus de généralité, nous supposerons qu'en chaque point M du système sont réunis ou concentrés m points qui se trouvent, par conséquent, à la même distance r de Taxe ; le nombre m étant d'ailleurs variable d'un point à Tautre et pouvant être égal à l'unité. Alors le moment d'inertie sera
et si N désigne encore le nombre total des points, c'est-à-dire si l'on a N = 27w, on aura toujours
(2) Np» = 2 wr» = I,.
49. Momeot d'inertie de« Tolames, surfaeeii oa li« ^nes. — Comme nous 1 avons déjà fait plus haut (n° 32) pour la détermination des centres de gravité, la notion des moments d'inertie, leur définition et celle du rayon de giration s'applique aux espaces continus de volume, surface ou ligne que Ton suppose remplis de points isolés soit en nombre constant pour chaque élément d'espace, soit en nombre variable en chaque endroit; le nombre de points rapporté à l'unité de volume, surface ou ligne s'appelant toujours la densité de l'espace à l'endroit considéré.
Chaque élément infiniment potit pouvant être assimilé à un seul point, ou pouvant être considéré comme ne contenant que dos points situés à la même distance de Taxe par rapport auquel on prend le moment d'inertie, si Ton appelle x, y, z les coordonnées d'un quelconque de ces éléments par rapport à trois axes rectangulaires, dxdydz son volume et p sa densité, c'est-à-dire fdxdydz-Xa nombre de points qu'il contient, le moment d'inertie par rapport à Taxe des z, par exemple, sera la somme des produits de ces nombres par les carr/s des distances respectives des éléments à Taxe des z, lesquels sont,
pour chacun d'eux, exprimés par x^-^y^. Si, pour abréger. Ton désigne par m le nombre pdxdi/dz des points contenus dans chaque élément, on aura pour les moments d'inertie du volume entier par rapport aux trois axes :
(i) ) Ij =fffp (2^ + x") dxdyds = Sm (z' + ar»), ( I^ =//./> (^' + y') d3-'dyd2 = Sm (j;' + y').
Et les rayons de giration respectifs seront les racines carrées de ces moments d'inertie divisés par le nombre total des points du système, lequel a pour expression
N = fffp dxdydz = Sm.
Tout ce que nous dirons des moments d'inertie s'appliquera, sans aucune reslriclion, soit aux systèmes discontinus composés de points isolés, soit aux espaces continus de volume, surface, ou ligne, homogènes ou non, par une généralisation absolument identique à celle que nous avons déjà faite en parlant dos centres de gravité et sur laquelle il est inutile de revenir.
43. Moinend» d^lnertic par rapport a. des axes pa« rallèleii. — Cherchons la relation entre les moments d'inertie par rapport à deux axes parallèles. Considérons un système quelconque de N points dont G (fig. 53) soit le centre
des moyennes distances ou le centre de gravité, et proposons-nous de trouver le moment t9 d'inertie du système par rapport à un axe quelconque 0^' en fonction du moment d*inerlie par rapport à un axe G^ parallèle au premier, mené par le centre de gravité G.
Soit M un point quelconque où peuvent se Fig. 53 trouver réunis ?n points du système, MP=r,
MP'=:r' ses distances aux deux axes, nous avons I^^ Smr', I/ = Swr^ Abaissons MQ perpendiculaire au plan des deux axes jusqu'à sa rencontre en Q avec ce plan et menons la droite PP'Q, nous avons
r» = VQ + QM , r'' = FQ + QM
et par conséquent, en appelant a la distance PP' des deux axes
r» =r» + P'Q — PQ =r' + (PQ — PPJ — PQ
= r« + a'— 2aPQ.
Et si, après avoir multiplié les deux membres de celle égalité par le nombre m des points qui se trouvent réunis en M, BOUS faisons la somme, pour tous les points, en remarquant que le dernier terme va nous donner le produit de 2a par la somme SmPQ des dislances lellos que PQ des projections Q de tous les points à Taxe passant par le centre de gravité, somme identiquement nulle, il nous viendra
(1) vmr' = :i:mr^ -+- Nrt- ou h = h + Na^
ou encore, en divisant par N
(2) p/=pza + «^
Le rayon de giraiton (ïiin système par rapport à un axe quelconque est rhypoténuse (fun triangle rectangle dont les deux côtés sont le rayon de gmition, par rapport à un axe parallèle au premier me?ié jmr le centre de gravité , et la distance de ces deux axes
Ce théorème permet d'établir la relation cherchée entre les rayons de giration ou les moments d'inertie par rapport à deux axes parallèles quelconques U et U', dont les distances au centre de gravité du système sont respectivement a et a\ On a évidemment
(3) çu* — «'=pu'' — «*.
puisque chacun des deux membres de cette équation représente le carré du rayon de giralion du système par rapport à un axe parallèle aux deux premiers, mené par le centre de gravité.
n CHAP. II. — CENTRES DE GRAVITÉ ET MOMENTS DINERTIE
41* Moineato d'inertie par rapport A des axes eon« courant». — Nous allons chercher comment varie le moment d'inertie par rapport à un axe de direction quelconque, que nous supposerons mené par Torigine des coordonnées.
Lorsque nous connaîtrons les momculs d inertie par rapport à tous les axes menés par Torigine des coordonnées, nous pourrons, d'après le théorème démontré plus haut (n® 43), en déduire le moment d'inertie du même système par rapport à un axe quelconque de l'espace.
Soient donc (fig. 54) trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz
auxquels sont rapportés les points d'un système, et soit OU un autre axe quelconque mené par le point et dont la direction est définie par les angles a, p, y qu'il forme avec les trois premiers. Soit M un point quelconque du système, x, y z, ses coordonnées OR, RQ, QM. Abaissons de ce point la perpendiculaire MP = r sur l'axe OU et joignons OM, nous aurons
MP* ou r' == ÔM' — ÔP*
= (^' + y' + ^2*) — (a: cos oc + y cos p + Z COS y)'
Développons le carré et remarquons que, les axes étant rectangulaires, on a cos "a + cos'p+ cos*y = 1 ou bien 1 — cos 'a= cos '(3 + cos 'y, et de même pour les deux autres; nous aurons en substituant et groupant les termes affectés des mêmes cosinus :
r* = (y* + z^) cos' a + (;2* 4- x^) cos« p -h (^' + y") cos*y — 2yz cos p cos y — 2zx cos y cos a — 2xy cos a cos p.
S'il s'agit d'un système discontinu dont M soit un point isolé, où peuvent d'ailleurs se trouver concentrés m points distincts, faisons la somme des équations semblafiles pour tous les points ; et, s'il s'agit d'un système continu dont dxdt/dz soit le volume élémentaire et p la densité au point M, multiplions cette équation par pdocdydz et faisons la somme de toutes les
s 2. - MOMENTS D'INERTIE 96
équations semblables pour lous les éléments, nous aurons, en appelant pour abréger
2m{y^ + z') =fSf p {f + z') dxdydz = A, Zmiz' + x') =fff p (2» + x') dxdydz = B, / ^mx' + y')=fffç{x' + y')dxdydz=C,
^ ' ^ ^myz =^fjf p yz dxdydz = D,
^mzx = fff p ijx dxdydz = E, Jimxy =fff p ay dxdydz = F ;
et remarquant que le premier membre esl, dans lous les cas, le moment d'inertie I» cherché, par rapport à l'axe Ou :
(2)I«=Acos*«+Bcos'|3+Gcos*7— 2Dcosj3cos7^2Ecos7C08a— 2Fcos«co8j3.
Prenons sur Taxe Ou^ à partir du point une longueur
