OS = -J

V lu

les coordonnées Xiy {(i, Zi du point S seront respectivement

cos a COS & COS 7

(4) ^i = 7ZZ,yt =7£,^i=— f.

Vltt yltt vU

Eliminons, au moyen de ces valeurs, les angles a, ^, y, l'expression précédente deviendra, après avoir été divisée par In facteur commun à tous les termes :

(5) l=Aa?i*+B2/,*+C^i'— 2Dyj^i — 2 Ez,Xi — 2FXii/i.

4l(. fillipttotfde d'inertie. — Le lieu des points S, lorsque Taxe OU prendra toutes les directions possibles est donc une surface du second degré dont le point est le centre. Le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque mené par le point quelcouque est inversement proportionnel au carré du rayon vecteur de cette surface du second degré. Or, le moment d'inertie ne pouvant s'annuler, ce rayon vecteur ne peut devenir infini, ce qui veut dire que la surface dont il s'agit est un ellipsoïde. On l'appelle lV//7/75oiV/e dineriie du sys-

ye CHAP. II. - CEiNTHES DE GRAVITÉ ET MOMENTS DTNERTIE

tème relativement au point 0. Lorsque ce point est le centre de gravité du système, l'ellipsoïde s'appelle ellipsoïde c^/i/ro/ d'inertie.

La loi de variation, bien connue, des rayons vecteurs de cette surface, nous renseignera donc complètement sur la manière dont varie le moment d'inertie d'un système par rapport à tous les axes passant par un point donné.

4II. Ames principaux d'iuertie. — Tout d^abord, nous savons qu'un ellipsoïde a trois axes principaux. Les directions correspondantes sont les nxes principaux d^nerlie du système; les directions de deux de ces axes sont celles du plus grand et du plus petit moment d'inertie et ces trois directions sont rectangulaires l'une sur l'autre.

Si l'un des axes, celui des z par exemple, coïncide avec l'un des axes principaux d'inertie, c'est-à-dire avec Tun des axes principaux de l'ellipsoïde, on sait que Téquation de la surface ne contient :; qu'à la seconde puissance ; par suite, les coefficients des termes en xz et en yz sont nuls. On a donc, alors :

( ïi = fffpyzdxdydz=^mi/z = 0,

^^ I E = fffpzxdxdydz = Emzx=0,

Réciproquement, si ces deux conditions sont satisfaites, l'axe coordonné z coïncide avec un des axes principaux d'inertie ; on dit que celte ligne est axe principal d'inertie pour le point 0.

Si le plan des xy est un plan de symétrie du système, c'està-dire si, à chaque élément situé au dessus de ce plan correspond un autre élément composé du même nombre de points et situé à la même distance au dessous, ces éléments ayant mêmes coordonnées x ei y et des ordonnées z égales et de signes contraires disparaîtront des sommes D et E, qui seront ainsi identiquement nulles. Lorsqu'un système a un plan de symétrie, toutes les droites perpendiculaires à ce plan sont axes principaux d'inertie pour les points où elles percent le plan. Nous savons d'ailleurs que ce plan contient le centre de gravité du système.

I 2. — MOMENTS D'INERTIK 97

Si le syslëme a deux plans de symétrie perpendiculaires l'un sur Tauire, et si nous prenons ces plans pour deux des plans coordonnés, ceux df's zx et des zy par exemple, les trois sommes D. E, F seront nulles, quelle que soit d ailleurs la position du troisième plan coordonné perpendiculaire aux deux premiers. L'ellipsoïde d'inertie sera rapporté à son centre et à ses axps, et cela pour toutes les positions de Torigine des coordonnées sur la droite d*intersection des deux plans, qui est ainsi axe principal d mertie pour tous ses points. Celte droite passe par le centre de gravité.

Enfin, si le système a trois plans de symétrie perpendiculaires Tun sur Tautre, ces trois plans, dont le point d^intersection est le centre de gravité du système, sont les plans principaux et leurs intersections les axes principaux de rellipsoïde central .

Si le système a deux plans de symélrie non perpendiculaires Tun sur 1 autre, il en est de même de Tellipsoïde d'inertie qui est de révolution autour de l'intersection des deux plans. Tous les moments d'inertie par rapport aux droites menées par un même point perpendiculairement à cette intersection sont alors égaux.

Dans tous les cas, alors même que le système n*a aucun plan de symétrie, on sait que l'équation de l'ellipsoïde peut toujours être transformée, par un changement convenable des axes, de manière à ne contenir que les carrés des trois coordonnées x, y, s, c'est-à-dire qu'il y a toujours un système d'axes rectangulaires pour lequel les coefficients D, E, F, c'est-à-dire les sommes correspondantes sont nulles. La recherche de la direction de ces axes se fait identiquement de la même manière que celle des axes principaux d'une surface du second degré, au moyen de la résolution d'une équation du troisième degré. Il n'y a pas lieu de s'arrêter à cette question, qui est plutôt du ressert de la géométrie analytique et que l'on trouvera traitée dans tous les ouvrages spéciaux sur ce sujet.

Si l'on suppose l'ellipsoïde d'inertie rapporté à ses axes principaux, les trois sommes D, E, F seront nulles et l'équation de cette surface sera simplement :

(2) 1 = Ax« -f By« + C2»,

A, B, C étant les moments d'inerlie du système par rapport aux trois axes principaux, ou les moments d'inertie principaux.