Ane» prineipam passant par le eenire de grttm

vite. — Nous avons exprimé tout à l'heure la condition pour qu une ligne, que nous avions prise pour axe des Zy fût axe principal d'inertie pour un de ses points ; nous pouvons voir que si une ligne est axe principal d'inertie pour deux de ses points, elle aura celte même propriété en tous les aulres et passera par le centre de gravité du système. En effet, supposons que la droite Oz, axe d'inertie principal pour le point 0, soit également axe d'inertie principal pour un autre point 0' distant de a du premier. Prenons le plan des xy passant par le point et un plan des xy' par le point 0'. Si Oz est un axe d'inertie pour le point 0, on a, (n*^ 46):

(1) Im yz=SfS py2dxdydz=: 0, Im %x = /// pzxdxdydz = 0.

Ecrivons les mêmes conditions pour exprimer que la droite Oz est axe principal d'inertie au point 0'; chaque élément pdxdydz a mêmes coordonnées x et y dans le second système d'axes que dans le premier, mais son ordonnée z devient z — a ; nous aurons donc

(2) lniy(z—a):=iJ'JSfiy{2—a)dj:dydz=zO, lm(z^a)ije=ifffpx{5-^)dxdydz=0.

Remarquons que a étant constant peut sortir des signes dintégration et retranchons ces dernières équations des précédentes ; il restera, en divisant par a, que l'on suppose différent de zéro :

(3) ^fny=Sff py dx dyds = 0. lmx:=zfSf pxdxdy dz = 0.

Ces équations expriment bien que Taxe Os passe par le centre de gravité du système ; en faisant le raisonnement inverse, on vérifie immédiatement que si elles sont satisfaites en même temps que celles (1), les préeédentes (2) le sont quel que sioit

a, c'est-à-dire que l'axe Oz, passant par le centre de gravité et axe d'inertie principal en un de ses points, est axe principal en tous ses autres points.

Nous avions trouvé directement cette proposition pour le cas où Taxe dont il s agit est Tintersection de deux plans de symétrie.

49. Détermhiatiou du moment dUnertie d'un ujn^ tëme. — Nous pouvons maintenant résoudre le problème consistant à trouver le moment d'inertie d'un système par rapport à un axe quelconque.

En général, il sera plus facile de trouver le moment d'inertie par rapport à un axe parallèle au premier, et mené parle centre de gravité. On devra donc commencer par déterminer le centre de gravité du système. Ensuite, si le système a des plans ou des axes de symétrie, on les prendra pour plans ou axes de coordonnées et Ton déterminera les moments d*inertie par rapport à ces axes qui seront les moments d'inertie principaux. Lorsque l'on n'aura aucune donnée sur la direction des axes principaux d'inertie, on prendra trois axes rectangulaires quelconques menés par le centre- de gravité et Ton déterminera, par rapport à ce système de coordonnées, les six quantités désignées plus haut par les lettres A, B, G, D, E, F. Ou écrira Téquation de l'ellipsoïde central d'inertie, et, par les procédés de la géométrie analytique, on déterminera la direction de ses axes principaux. Rapportant l'ellipsoïde à ces axes, les coefficients de x*, y*, z* dans son équation seront, d'après ce qui vient d'être dit à la fin du n** 46, les moments d'inertie pricipaux, et le moment d'inertie par rapport à un axe quelconque mené par l'origine sera l'inverse du carré du rayon vecteur correspondant. Cela résulte de l'équation (3) du n« 4i, page 98.

Nous allons donner quelques exemples simples de la détermination des moments d'inertie principaux de divers volumes ou surfaces, et nous admettrons toujours que Ton connaît à l'avance, par des considérations de symétrie, la direction des axes principaux.

Nous supposerons aussi, pour simplifier, que la densité f> est constante et égale à l'unité.

dOO CHAP. H. ^ CENTRIiS DE GRAVITÉ ET MOMENTS D'INERTIE Cette détermination se réduit alors à celle des trois sommes

{{) \=fSj{y''+z^-ytxdfjdz, n=Sj){z'-+x*')dxdydz, C=Jjjix*'+y^)dxdydz.

Il est quelquefois plus simple de calculer les suivantes :

(2) Ai=SJfx^dxdydz. bi=SSfy'dxdydz, Ci= f ff z^-dxdydz,

et si Ton a ces trois dernières, les trois précédentes sont respectivement :

Dans le calcul des sommes A|, Bi, Ci, on peut simplifier les intégrations en prenant pour élément de volume, non pas un parallélépipède infiniment petit en tous sens dxdydz, mdiis une tranche infiniment mince comprise entre deux plans perpendiculaires à direction de celle des coordonnées qui figure dans la somme à calculer et dont l'étendue superficielle est supposée connue ou donnée en fonction de cette coordonnée.

Par exemple, pour calculer Ai=fffx^r/x^i/'/s^ coupons le volume dont il s*agit par un plan parallèle aux j/z et à une distance X de l'origine, soit Qx la superficie de la section transversale faite par ce plan et supposons que Û^ soit une fonction donnée de x, nous aurons évidemment :

( l) A, = /// x^ dxdydz=^S x^ Q* dx.

On obtiendra donc At par une simple quadrature, et ainsi des autres.

On peut d'ailleurs remarquer qu'un moment d'inertie étant une somme de produits tous positifs, le moment d'inertie par rapport à un certain axe d'un volume composé de plusieurs parties sera la somme des moments d'inertie de ces diverses parties par rapport au même axe. Et si le volume en question peut être considéré comme la différence de deux autres volumes, son moment d inertie sera de même la différence des moments d'inertie de ces deux volumes, par rapport au même axe.

:.Cf s considérations, ainsi que la possibilité d'exprimer le

§ 2. — MOMENTS D'INEKTIE lOJ

moment d^inertie par rapport à ua axe en fonction du moment d'inertie par rapport à un axe parallèle mené par le centre de gravité, ou réciproquement, simplifie dans beaucoup de cas la recherche de la valeur des moments d'inertie.