Beeherehe de moiuents d'Inertie de Tolnmes

— Nous allons effectuer cette recherche pour quelques cas très simples.

1. Parallélépipède rectangle. — Le centre de figure d'un parallélépipède rectangle est évidemment son centre de gravité et les trois plans rectangulaires menés par ce point, parallèlement aux faces, sont des plans de symélrie. Les axes principaux d'inertie sont ainsi les intersections mutuelles de ces plans, ou bien les perpendiculaires abaissées du centre de gravité sur chacune des faces. Prenons ces axes pour axes de coordonnées x, y, z et soient a, 6, c les longueurs des arêtes du parallélépipède respectivement parallèles à ces trois directions. Si nous coupons le parallélépipède par un plan quelconque perpendiculaire aux j:, la section obtenue sera un rectangle dont la superficie Çlx sera égale à bc ; nous aurons donc, d'après la formule (4), page 100 : .

hcx^dx= -^^ = 75

abc .

On aurait de même, évidemment

8,= —. 6* et C. = — • c*;

et par conséquent les moment d'inertie principaux sont

Et les carrés des rayons de giration p^, p,, p^ auront pour expressions :

\*) P* — "^ > P» == -Jj- > P^ = "îj- •

Si FoQ considère Tune des quatre arèies parallèles aux x,

** fit sa distance à Taxe des x est la racine carrée de r- -{- j, et

par suite le moment d'inertie par rapport à cette arête sera

égal à A augmenté du produit du volume ahc par — j — ; si

donc on désigne par A' ce moment d*inerlie et de même par B' et C les moments d*inerlie par rapport aux arêtes parai* lèles aux y et aux z^ on aura

Ces moments d'inertie, par rapport aux arêtes, sont quadruples de ceux par rapport aux axes de figure corresponr dants

On reconnaît facilement que les moments- d'inertie par rapport aux quatre diagonales sont égaux, car les cosinus directeurs de Tune quelconque de ces diagonales ont pour

carres :

pn<i 'Q -~-

«os Y a»+6'+c»

et ils ne difîèrent que par le signe qui disparait dans Téléva* tion au carré. En substituant ces valeurs dans Téquation générale (2j du n^ 44 ci-dessus, on aura, pour la valeur lo du moment d'inertie par rapport à l'une quelconque des diagonales du parallélépipède :

Ces formules s'appliquent bien entendu lorsque deux ou trois des arêtes sont égales entre elles ; dans ce dernier cas, a = ô^=r, tous les moments d'inertie par rapport à tous les axes passant par le centre de gravité sont égaux, puisque l'ellipsoïde d'inertie se réduit à une sphère.

2. Sphère, — Trois axes rectangulaires quelconques menés par le centre d'une sphère sont évidemment axes principaux d'inertie, puisque ce volume est symétrique dans tous les sens.

De plus, les trois moments d'inertie principaux sont égaux et chacun d'eux est égal au tiers de leur somme. On a ainsi :

= 3 ///(^' + y' + 5*)</a?rfî/c/5= - Sffr^dxdyds

en désignant par r la distance au centre de la sphère de Télément dxdydz considéré.

Prenons pour élément de volume la couche sphérique d'épaisseur dr comprise entre la sphère de rayon r et celle de rayon r + dr, cet élément aura pour volume 4xr'dr ; en substituant cette valeur à dxdydz et faisant la somme depuis r ==0 jusqu'à r=a, si a est le rayon de la sphère, nous aurons :

et pour la valeur du carré du rayon de giration p

Si la sphère est creuse, c'est-à-dire si le volume dont on cherche le moment d'inertie est une couche sphérique comprise entre deux sphères concentriques de rayons a et a\ on aura, pour le moment d'inertie, par rapport à un axe quelconque passant par le centre, d'après la remarque du bas de la page 100 ;

et le carré du rayon de giration sera

, 2 gs — g^s P ~5g« — g'»'

3. Ellipsoïde. — Soient a, 6,c les longueurs des trois demiaxes principaux qui coïncident, en raison de la symétrie, avec les axes principaux d'inertie. Prenons ces directions pour axes coordonnés ; Téquation de l'ellipsoïde est

La section faite par un plan perpendiculaire aux x est Tellipse

dont la superficie Qx est

Nous en déduisons, en appliquant toujours la formule (4) du n« 48, page 100 :

et, de même :

Bj = 7- r abc. 4*. C| = — t: abc, c*.

Par suite :

(7)A=ixaAc(ô*+c«), B=^^7raèc(c«+a«), C=iTzabc{a'+b% Les carrés des rayons de giration sont alors, respectivement :

4. Cylindre circulaire. — Dans un cylindre droit, à base circulaire, Taxe de figure est axe principal d'inertie, et il en est de même de deux droites perpendiculaires entre elles et à cette ligne, menées par son milieu qui est le centre de gravité du volume.

Ces trois directions élant prises pour axe coordonnés, Taxe des z étant celui du cylindre, une section Û^ faile par un plan perpendiculaire aux x sera, si h est la hauteur du cylindre et

a le rayon de sa base, un rectangle hya^ — x^ et Ton aura

Ai= / hx^\a^ — x*dx=—r'

De mème^ évidemment.

Enfin, si nous coupons par un plan perpendiculaire aux z, la section û^ sera un cercle i^a^ et nous aurons :

Ci= / Qzdz=T:a^ 1 z^dz=: ——-'

Nous en déduisons :

(9) A = B='-fi(a'+|), C='-f*.«.«

Les carrés des rayons de giration ont par suite pour valeurs :

Le moment d'inertie de ce même cylindre par rapport à une de ses génératrices sera, d'après ce qui précède, si on le représente par I,, :

(11) lM = C+7ra*A.a*=7ra«A. y;

il est par conséquent triple du moment d'inertie par rapport & Taxe.

ftO. Moments d'inertie de «urtoee». — Nous ne donnons pas d'exemple de la détermination du mouvement d'inertie de surfaces. La connaissance de ces moments d'inertie n'a guère d'intérêt pour la mécanique proprement dite ; elle sert surtout dans la théorie de la résistance des matériaux, et nous nous bornons à renvoyer aux traités spéciaux de cette branche de la mécanique appliquée. La détermination du. moment d'inertie des surfaces s'effectue d'ailleurs absolument de la même manière que celle du moment d'inertie des volumes.