ETDDE GENERALE DU MOUVEMENT D'UN POINT

SOMMAIRE

1 1. — i>e Za vitesse : 51. Objet de la cinématique. — 52. Mouvement d'un point. Trajectoire. — 53. Vitesse. — 54. Représentation graphique d'un mouvement. — 55. Mouvement uniforme. - 56. Mouvement varié. — 57. Mouvement uniformément varié. — 58. Mouvement périodique. — 59. Mouvement périodiquement uniforme. — 60. Représentation géométrique de la vitesse. — 61. Définition d'un mouvement par ses projections. Mouvements simultanés. — 62. Mouvement plan rapporté à des coordonnées polaires. ~ 68. Méthode de Roberval pour le tracé des tangentes aux courbes. — 64. Relation entre les vitesses de tous les points d'une droite.

J 2. — De l'accélération : 65. Accélération. — 66. Accélération tangentielle, normale, totale. — 67. Accélération dans les mouvements projetés ou simultanés. — 68. Usage de l'accélération pour déterminer le rayon de courbure. — 69. Exemple de l'application des propriétés des mouvements projetés. — 70. Cas où l'accélération d'un point mobile passe constamment par un point fixe. — 71. Application au mouvement des planètes autour du soleil. — 72. Autre définition de l'accélération.

st. Objet de la einématique. — hdi cinématique étudie le mouvement au point de vue géomélrique. Elle introduit cependant une notion nouvelle : le temps, dont on ne tient pas compte dans les mouvemenls qu'éludie la géométrie ordinaire, tels que ceux do points engendrant des lieux géométriques, de lignes engendrant des surfaces, etc.

Le temps, pas plus que l'espace, n'est susceptible de définition. Le temps, comme l'espace, est partout semblable à lui-^ même, et infini. Nous ne pouvons nous en faire une idée pré-

cise qu'en y supposant * des repères ou époques fixes à partir desquels nous mesurons, au moyen d*une unité arbitraire, les dislances d'autres repères ou époques déterminés

L'unité de temps sera un intervalle de temps compris entre deux instants bien définis.

La notion du temps est d'ailleurs nécessairement liée à celle du mouvement : si nous supposions immobiles tous les points de l'univers, il nous serait impossible de nous faire aucune idée du temps. Nous pourrons définir un imUmi par l'époque du passage d*un certain point mobile en un lieu déterminé de l'espace.

L'unité de temps la plus généralement usitée en mécanique est \8L seconde : intervalle entre deux passages successifs, par la verticale, d'un pendule simple dont la longueur serait, à Paris, de O^gOSSi.

Soixante secondes font une minute ; soixante minutes font une heure, et vingt-quatre heures forment un jour solaire moyen, qui est l'unité de temps usitée en astronomie et qui contient ainsi 86,400 secondes. '

Un instant sera donc défini par le nombre / de secondes ou fractions de secondes qui séparent cet instant d'un autre, pris pour origine des temps et que l'on appelle un instant initicU.

59. HauTenieiit d'un point. Trajectoire. — Nous étudierons d'abord le mouvement d'un point.

Le lieu des positions successives d'un point, dans l'espace, porte le nom de t7*ajectoire de ce point. Le mouvement du point est dit rectiligne^ curviligne^ circulaire^ parabolique, etc., suivant que la trajectoire est une ligne droite, une courbe quelconque, une circonférence de cercle, une parabole, etc.

Si la trajectoire d'un point est connue et si, à chaque instant, on connaît la position du point sur cette trajectoire, on

1 . Je n'examinerai pas la question^ surtout métaphysique, de savoir si celte hypothèse est ou non compatible avec la réalité. J'admets, provisoirement, qu*il puisse exister pour l'espace et pour le temps des repères fixes par rapport auxquels j'étudie les lois du mouvement que 1 on appelle le mouvement absolu. Ces lois serviront à établir celles des mouvements relatifs, ou par rapport à des repères mobiles, les seuls que nous puissions réellement observer.

2. Le jour sidéral» plus courtque le jour solaire moyen, n*est que de86.164*09.

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connaît la loi du moavcment du point. La position du point mobile sur sa trajectoire peut se définir par la longueur de l'arc de cette courbe qui sépare le point mobile d'un autre point, fixe, pris pour origine.

Soit AB (fig. 55) la^trajectoire d'un point mobile, un

point fixe pris arbitrairement sur cette ligne et M la position du mobile à une époque quelconque t. Désignons par s la longueur de l'arc OM, comptée positivement dans un certain sens, de vers Fig. 55. B par exemple, et négativement en

sens contraire, de vers A. La position du mobile sera connue lorsque Ton connaîtra l'arc s ; et si l'on connaît, en même temps, la relation :

qui lie Tare s au temps ^ c'est-à-dire qui détermines pour toutes les valeurs de t, on connaîtra la loi du mouvement. L'équation 5 =/" (/) est dite l'équation du mouvement du point. Le mouvement est direct lorsqu'il s'effectue dans la direction suivant laquelle on compte les s positifs, c'est-à-dire de A vers B. Il est rétrograde dans le cas contraire, ou lorsque le point marche dans le sens BA.

BB. VI(e««e. — Considérons deux positions successives M,M' du point mobile. Appelons As la longueur de l'arc MM' et A^ l'intervalle de temps qui sépare le passage du mobile à ces

deux positions. Le rapport — est la vitesse moyewie du point

pendant l'intervalle de temps A^. Et si les positions M, M' deviennent infiniment voisines, l'intervalle A/ devenant infini*ment petit, la limite de ce rapport est la vitesse du point mobile au point M ou à l'époque correspondante. On a ainsi, en désignant par t; la vitesse à un instant quelconque du mouvement:

La vitesse est la dérivée de F espace par rapport au temps.

Si au lieu de supposer le mouvement direct, nous l'avions supposé rétrograde, c'est-à-dire si, à l'époque f + A/, la valeur de l'arc s était plus petite qu'à l'époque /, nous aurions eu pour A5 une valeur négative, et par suite une valeur négative pour

le rapport — et aussi pour sa limite — ou t?.La vitesse est donc

positive lorsque le mouvement est direct, et négative lorsqu'il est rétrograde.

L'arc s étant défini en fonction de t par l'équation du mouvement s=f{t)i nous pouvons développer la valeur de As par la formule de Taylor :

(2) às=f{t). ùit-\'r{t). ^^ + ^v. A/+mA^%

en mettant, à partir du second terme. A/* en facteur commun et en désignant par m Tensemble des termes par lesquels il est multiplié. Nous en déduisons :

La limite du rapport — est toujours égale à v quelles que

soient les quantités infiniment petites du second ordrequeron

aurait ajoutées à As. Des points qui,dans un intervalle de temps

infiniment petit du premier ordre, parcourent des espaces ne

différant que de quantités infiniment petites du second ordre,

ont donc la même vitesse au commencement de cet intervalle;

et réciproquement.

Il résulte aussi du développement qui précède que si, à une époque quelconque, la vitesse s annule, lespace As parcouru, pendant l'intervalle de temps A^ qui suivra, sera un infiniment petit du second ordre, lorsque cet intervalle sera infiniment petit du premier ordre.

La réciproque est également évidente: si, pendant un intervalle de temps infiniment petit du premier ordre, l'espace parcouru est infiniment petit du second ordre, c'est que la vitesse

8 1. — DK LA VITESSE

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était nulle au commencement de cet intervalle. Car puisque Von a :

às = v M + màt^

Tespace As ne peut être infiniment petit du second ordre que si i;=0.

Les points où la vitesse s^annule correspondent aux valeurs maximum ou minimum de la fonction 5 =/(/). Généralement, la vitesse change de signe en passant par zéro, c'est-à-dire que le mouvement direct devient rétrograde ou inversement.

Un mouvement qui présente de pareils changements dans le signe de la vitesse s'appelle mouvement aZ/ema///. Les valeurs maximum ou minimum de s marquent les points en deçà ou au-delà desquels le mobile reste pendant la période de temps considérée et qu'il ne dépasse pas. Ce sont les limites des excursioîis du mobile. Un mouvement peut présenter plusieurs alternances successives, chacune d'elles ayant une limite d'excursion distincte.