Bepréseuiation frraphiqae d^un mouvement

L*équation« ==/'(/; qui donne la loi du mouvement peut être représentée par une courbe.

Prenons deux axes rectangulaires, OT, OS(fig. 56). Portons

2 sur le premier des longueurs ~ OP proportionnelles aux temps t et, aux extrémités de ces longueurs, des ordonnées PM proportionnelles aux espaces s mesurés à partir d'une origine quelconque. Le lieu des points M est une certaine courbe AB, qui, comme l'équation 5=/" (t) elle-même, définira la loi du mouvement.

La courbe AB, ainsi construite, porte le nom de courbe des espaces ; elle n'a évidemment aucun rapport de forme avec la trajectoire du mobile.

La vitesse à l'époque /, correspondant à Tabscisse OP, dérivée de l'espace par rapport au temps, ou de l'ordonnée de

114 CHAP. IIl. - MOUVEMENT DTN POINT. ÉTUDE GÉNÉRALE

cette courbe par rapport à son abscisse, sera représentée par le rapport des deux longueurs VQ et MQ des côtés d'un triangle rectangle MQV, parallèles aux axes coordonnés et dont l'hypoténuse serait la tangente MV àla courbe des espaces au point M: cesdeuxlongueurs VQ et MQ étant d'ailleurs mesurées aux échelles adoptées respectivement pour les temps t et pour les espaces ou ordonnées s. La vitesse ne serait numériquement égale au coefficient angulaire de la tangente MV que si Ton avait pris des échelles égales pour les deux coordonnées, c'est-àdire si l'unité d*espace et l'unité de temps étaient représentées par une même longueur.

La vitesse, quotient d'une longueur par un intervalle de temps, est ainsi une quantité d'une nature particulière. Elle pourrait être mesurée au moyen d'une vitesse-unité à laquelle on comparerait les autres et qui pourrait èlre choisie arbitrairement. Mais ce n'est pas ainsi que Ton estime, en général, les vitesses. Dans renonciation de leur grandeur on rappelle toujours les deux unités de longueur et de temps qui ont servi à les déterminer ; c'est ainsi que l'on dit qu'un certain mobile a une vitesse de cinq mètres par seconde ; de dix-huit kilomètres à l'heure ; de trois hectomètres à la minute, etc. Mais il faut une réflexion ou un calcul pour s'apercevoir que les vitesses ainsi définies sont égales.

Si, en général, v représente la valeur numérique de la vitesse d'un mobile, exprimée au moyen d'une certaine unité de longueur et d'une certaine unité de temps, il est facile de trouver le nombre v' exprimant la même vilesse lorsque l'on aura pris d'autres unités.

La vitesse v est exprimée par le rapport d'une longueur L à

un temps T ; soit v= -. Si la nouvelle unité de longueur estX

fois plus petite que celle qui a été adoptée pour mesurer la longueur L, cette même longueur sera exprimée par >.L ; de même, si la nouvelle unité de temps est t fois plus petite que la première, le même temps, au lieu d'être exprimé par T, le sera par tT, et par suite la nouvelle expression v' de la vitesse sera :

On passera donc du nombre exprimant la vitesse dans le premier système d'unités au nombre exprimant la même vitesse dans le second système^ en multipliant le premier nombre par le rapport des unités de longueur et par l'inverse du rapport des unités de temps.

C'est ce que Ton exprime en disant que la vitesse est du degré 1 en longueur et du degré — 1 en temps.*

La vitesse, dans un mouvement quelconque, étant exprimée par une fonction f[t) du temps, on peut, comme on Ta fait pour l'espace parcouru 5, la représenter par une courbe dont les abscisses seront proportionnelles aux intervalles de temps ^t écoulés depuis l'instant initiai et dont les ordonnés en chaque point seront proportionnelles aux vitesses. On aura ainsi construit la courbe des vitesses. On peut la tracer sur les mêmes axes que la courbe des espaces : ce sera alors une courbe telle que CD [tig. 56) dont les ordonnées PN pourront être prises égales aux longueurs VQ interceptées, sur des ordomiées menées à une distance constante MQ d'un point quelconque M, par l'horizontale MQ de ce point et par la tangente MV à la courbe des espaces.

Si MQ est pris égal à la lo gueur qui représente l'unité de temps, l'ordonnée YQ ou PN sera, à l'échelle des espaces, la valeur de la vitesse à l'époque considérée.

1. La vitesse était autrefois considérée comme une qualité temporaire du mobile, un pouvoir dont il était doué, et l'espace parcouru n'était que reffet de CA pouvoir ou la manifestation de cette qualité. Ainsi, on peut lire dans le Traité de Mécanique de Poisson, 2° édition, no 112: c Un mouvement uniforme diffère d'un autre par la grandeur de l'espace parcouru dans l'unité de temps. Dans chaque mouvement uniforme, cet espace constant est ce qu'on appelle la vitesse du mobile ; mais, pour parler plus exactement, cet espace ii*est que la mesure de la vitesse, et non pas ia vitesse elle-même. La vitesse d'un point matériel en mouvement est une chose qui réside en ce points dont il est animée qui le distingue actuellement d'un point matériel en repos et n'est pas susceptible d'une autre définition. »

Aujourd'hui, bien qu'on dise encore qu'un mobile est animé d'une certaine vitesse, on n*emploie cette expression qu'au figuré et sans y attacher aucune idée de cause occulte. On considère simplement TelTet observable, c'est à dire le déplacement du mobile et la durée de ce déplacement, et la vitesse ibt If rapport de cm d«ax ((uantitéi concrètes.

H6 CHAP. III. — MOUVEMENT D'UN POIiNT. ÉTUDE GÉNÉRALE

La vitesse OC à Tépoque ^=0, ou à Tinstanl initial, porle le nom de vitesse initiale.

La représentation graphique de la loi d'un mouvement, que nous venons de faire connaître, non seulement permet d'en reconnaître les diverses particularités plus facilement qu*on ne pourrait le faire par le procédé analytique, mais elle donne aussi, dans certains cas, le moyen de trouver approximativement cette loi, lorsque les méthodes analytiques se trouvent en défaut.

Supposons^ par exemple, qu'un mouvement se trouve déiini par une relation entre le temps, l'espace parcouru et la vitesse, exprimée par

Il faut en déduire la loi du mouvement, c'est-à-dire l'expression de s en fonction de /, ou s=f(t).

Supposons Téquation précédente résolue par rapport à t? et mise sous la forme

v = (f{s,t) ou - =

ds

l'expression cherchée, 5 =/(/) est évidemment le résultat de l'intégration de cette équation différentielle, opération qui peut être impossible analytiquement. C'est alors que Ton peut arriver au résultat d'une façon approximative par le procédé graphique.

Supposons connues, outre l'équation F (s, v, /) = ou v=tf{s^ /), la position et la vitesse du mobile à une époque quelconque de son mouvement, que nous prendrons pour instant initial. Ayant pris deux axes de coordonnées rectangulaires OS, OT (fig. 57), portons sur OS une longueur OM représentant à l'instant initial, la distance du mobile au point d*origine à partir duquel on compte les espaces sur la trajectoire, et au point M menons la ligne M V dans une direction telle qu'elle représente la vi-

Fig.

lesse initiale. En d'autres termes, à une distance horizontale MQ du point M, égale à Tunité, menons une ordonnée QV représentant la vitesse initiale et joignons MV; nous aurons la direction de la tangente à la courbe des espaces au point M, Prenons une abscisse OPi, représentant un intervalle de temps très petit Ht, et mesurons l'ordonnée PjMi ; cette ordonnée ne différera, de l'ordonnée de la courbe inconnue, que d'une petite quantité de Tordre de A^*. Nous pourrons donc, approximativement, prendre cette ordonnée PjMi pour la valeur s, de s correspondant à la valeur A^ du temps. Cela admis, portons ces valeurs s, et A^ dans l'équation v=ç (5, /), c'està-dire calculons la valeur

elle ne différera aussi que d'une quantité très petite de l'ordre de A/% de la valeur véritable de la vitesse à l'époque A^ Menons par le point M| la ligne MiV| dans une direction représentant cette vitesse, et opérons sur MiVi comme nous avons opéré sur MV, nous obtiendrons ainsi, de proche en proche, une suite de lignes MV, MiVi, MjV„... qui ne différeront pas beaucoup des tangenles à la courbe des espaces. Nous pourrons donc, approximativement, prendre l'enveloppe de ces droites pour la courbe des espaces cherchée et nous au« rons ainsi une représentation approchée de la loi du mouvement.

Il est inutile de dire que si l'équation F (s, t;, /)==0 peut être mise sous la forme v==f{t) ou v=(f{s),une simple quadrature donnera la loi du mouvement. On a en effet, dans le premier cas

et dans le second

(4) e,= f; = ç(,) d'où t^jy-

Les méthodes approximatives de quadrature, celle de Simp-

son, par exemple, pourront être employées lorsque Tintégra* tion ne sera pas possible analytiquement.

ftft. Mouvement uniforme. — Le mouvement est dit uniforme lorsque la vitesse est constante, ou que l'espace par-* couru varie proportionnellement au temps. La loi du mouvement uniforme est définie par Téquation

(1) 5=a+ôf,

dans laquelle a et A sont des constantes. Elle donne bien

(2) f^ ou v=b.

La co.urbe des espaces est alors une ligne droite telle que g AB (fig. 58), si le mouvement

est direct, et telle que CD si le mouvement est rétrograde.

La vitesse étant constante ne peut ni s'annuler ni changer q I »p de signe, le mouvement uni-

Fig. 58. forme ne présente donc ja-

mais d'alternative : il est toujours direct ou toujours rétrograde.

Un mouvement uniforme est déterminé lorsque Ton connaît les positions du mobile à deux époques données ; ce qui équivaut à connaître deux points de la droite qui en représente la loi. Si 5|, 5| sont les distances du mobile à Torigine des s aux époques t^ et t^, on aura, pour déterminer les constantes a et b, les deux équations :

Si=a+bti , Sj==a + ô/,

D'oîi, ayant tiré les valeurs de ces constantes, on déduira Téquation du mouvement, sous la forme :

La vitesse étant constante est, alors, le rapport constant de l'espace parcouru s, — 5, au temps /, — /| employé à Iç

I l. - DE LA VITESSE UQ

parcourir ; c'est aussi \ espace parcouru pendant Funité de temps.

Cette dernière définition de la vitesse est fort usitée. On voit d'ailleurs, par ce qui précède, que Téquation du mouvement uniforme est du premier degré, ou linéaire en/, et que, réciproquement, toute fonction « =3 /*(<) linéaire en/ re» présente un mouvement uniforme.

Il est inutile de faire remarquer que les droites telles que AB, CD, représentant des mouvements uniformes sont d'autant plus inclinées sur rhorizontale que les mouvements sont plus rapides, ou que la vitesse est plus grande. Les graphiques de la marche des trains, usités dans les services d'exploitation des chemins de fer et bien familiers aux ingénieurs, sont la représentation des mouvements uniformes dont on suppose les trains animés entre deux points d'arrêt successifs,

69. Monyement varié. — Tout mouvement qui n*est pas uniforme est varié. La variété des mouvements est infinie : une courbe quelconque rapportée à deux axes rectangulaires peut être prise comme courbe des espaces et représenter la loi d'un mouvement. Seulement, cette courbe ne peut avoir deux points sur une même ordonnée ; un même mobile ne peut, à une même époque, occuper deux positions différentes* A part celte restriction, toute courbe peut être prise pour représenter un mouvement varié.

Le mouvement varié est dit accéléré lorsque la vitesse croît en valeur absolue avec le temps ; il est retardé lorsque la valeur absolue de la vitesse décroît quand le temps augmente, Le mouvement sera donc accéléré ou retardé suivant que le carré v* de la vitesse croîtra ou décroîtra.

Or, le caractère d'une fonction croissante ou décroissante est le signe de sa dérivée : si la dérivée de t;% ou le produit

V j^ est positif, la fonction v' croîtra et le mouvement sera

accéléré ; il sera retardé si ce produit est négatif. Par censé*quent^ on reconnaîtra, analytiquement, qu'un mouvement

est accéléré quand la vitesse v et la dérivée j de la vitesse par rapport au temps seront de même signe ; lorsque ces deux

120 CHAP- lil. — MOUVEMENT D'UN POINT. ÉTUDE GÉNÉRALE

An

quantités v et ;n seront de signe contraire, le mouvement sera retardé.

Graphiquement, le signe de ^ est donné par le sens

de la courbure de la courbe des espaces, puisque -j = j-^

est la dérivée seconde de l'ordonnée par rapport à Tabs-

cisse. Si Ton considère les quatre directions possibles de la courbure d'une branche de courbe, AA, BB, CC, DD (fig.

59), on reconnaît que, dans les .T deux premières, AA, BB, le Fig. 59. mouvement est direct, la vi-

tesse V est positive ; et qu'au contraire le mouvement est rétrograde, ou la vitesse négative dans les deux autres : CC, DD. Dans la première AA et dans la quatrième DD, la courbure est positive, ou j. est positive ; elle est au contraire négative dans la seconde BB et dans la troisième CC ; il en résulte que les mouvements représentés par AA et par CC sont tous deux accélérés. Tun dans le sens direct, l'autre dans le sens rétrograde ; et que ceux que représentent les branches BB et DD sont tous deux retardés, l'un direct et Tautre ré« trograde.

6V. MoaTemeiit aolforniéiiieut varié. — - De tous les mouvements variés, le plus simple, dont nous allons dire quelques mots, est le mouvement uniformément varié. U est défini par l'équation différentielle

(1) dv=^c.di,

e étant une constante positive ou négative ; c'est-à-dire que la vitesse croit ou décroit proportionnellement au temps. La vitesse est donc une fonction linéaire du temps : celte équa* tion donne en effet

(2) v — v^^cj

en appelant Vo la vitesse à l'instant /=:=0, que Ton appelle vi« tesse initiale. Mêlions pour t; sa valeur g;, il vient

et; par une nouvelle intégration,

(4) s=a + v^'h\ci'.

a étant une nouvelle constante, valeur de s pour 1 = 0. La courbe des espaces est ainsi une parabole du second degré à ase vertical (parallèle à Taxe des s) et dont, la concavité est dirigée vers les s positifs comme BAC (fig. 60), ou vers les s négatifs, comme la courbe A", suivant que la constante c est elle-même positive ou négative.

La courbe des vitesses est, dans i. oremier cas une droite bc, dans le second une droite b'c\ Un mouvement uniformément varié présente donc toujours deux phases, Tune^pen- \ dant laquelle il est direct, Tau- \ tre pendant laquelle il est rétrograde ; car la vitesse change de ^^^__^__^^____^^ signe en passant par zéro, au

^/^ ^\"T P^^"^ (^ ^^ ^') ^^ ^* droite qui

^ la représente coupe Tune des *^* ^' abscisses. L'instant qui sépare

ces deux phases correspond à Tépoque :

et Tordre de succession de ces deux phases est donné par le signe de c. Lorsque c est positif, le mouvement, d*abord rétrograde, devient direct après cette époque, et c'est le contraire lorsque c est négatif. Quel que soit d'ailleurs le signe de c, le mouvement est retardé dans la première phase et accéléré dans la seconde.

Nous pouvons remarquer que si, réciproquement, Tespace parcouru par un mobile est exprimé par une fonction du se-

cond degré du temps, son mouvement est uniformément varié. La vitesse s'exprime alors en effet par une fonction linéaire du temps.

Si dans Téquation (4), on remplace c par sa valeur — — ^ ti-

rée de (2), on obtient :

c'est-à-dire que, dans un mouvement uniformément varié, l'espace parcouru pendant un intervalle de temps quelconque est le même que si le mobile avait été animé d'une vitesse constante égale à la- demi-somme des vitesses qu'il avait réellement au commencement et à la fin de cet intervalle.

Lorsque l'on mesure l'espace et le temps à pailir du point où la vitesse s*annule, ce qui revient à placer l'origine des coordonnées au point A ou au point A', l'équation du mouvement devient simplement :

(7) s=:-cû avec v^=ct.

Et alors, la vitesse est proportionnelle au tempe, et l'espace au carré du temps.

On sait que ces équations, lorsqu'on y met pour c la Y&leur g = 9"8088 de Taccélération due à la gravité, représentent le mouvement d'un corps pesant tombant librement dans le vicie. Si l'on appelle h la hauteur de chute (h = s), on peut, en éliminant /, exprimer la vitesse en fonction de h et l'on a :

v= yj2gh

c'est ce que l'on appelle la vitesse due k la hauteur h. L'équation générale du mouveipent uniformément varié :

renferme trois coefficients constants, a, v^, c ; il suffit donc, lorsqu'on sait que le mouvement d'un point mobile est uniformément varié, d'avoir observé sa position à trois époques

§ É. - DE LA VITESSE iîS

distinctes, la trajectoire étant d^ailleurs connue, pour avoir la loi du mouvement de ce point. Si, en effet, Ton a mesuré, aux époques t^j /|, i%, les espaces 5^, ^i, s^ compris, à chacune de ces époques, entre la position du point mobile et un point fixe pris pour origine, on aura trois équations du premier degré en a, v^, et c qui permettront de déterminer ces coefficients et par suite la loi du mouvement.

S'il s*agit du mouvement vertical d'un point pesant à la surface de la terre (abstraction faite de la résistance de Tair) mouvement uniformément varié dans lequel le coefficient cr de /' a une valeur connue g^ il n'y a plus alors que deux coefficients inconnus et il suffit par suite de l'observation du mobile en deux points pour déterminer toutes les circonstances de son mouvement.

Comme exemple ou application de ce qui précède, nous résoudrons le problème classique de I«t détermination de la profondeur d'un puits ou de la hauteur d'un édifice par le temps qui s'écoule entre le moment où un corps pesant est abandonné à lui-nième à la partie supérieure et Tinstant où le bruit de sa chute arrive à l'oreille de l'observateur. On suppose la chute de ce corps régie par la loi du mouvement uniformément varié,

équation dans laquelle ^ a la valeur indiquée ci-dessus, c'està-dire que l'on fait abstraction de la résistance de Tair et on suppose connue la vitesse uniforme de la propagation du son dans l'air y que nous désignerons par t; \ Alors, si H est la

hauteur inconnue, - sera le temps que le son aura mis à venir

à l'oreille de l'observateur, et i/— celui de la chute du corps

pesant. C'est la somme de ces durées qui a été observée et que nous désignerons par T, nous aurons alors :

i. La vitesse du son dans l'air, à la température Oo est d'environ 330™,7 par seconde. Elle s'accroît de 0"*,626 par chaque degré d'élévation de température. A ioo elle est donc d'environ 340 mètres par seconde.

La hauteur H inconnue se déterminera par la résolution de

cette équation qui est du second degré par rapport à yH. Les

deux racines sont de signe contraire et l'on reconnaîtra facilement que la racine positive, seule, répond à la question. On aura ainsi :

ou, en élevant au carré :

&8. MouYemeot périodique. — Un autre mouvement varié dont nous dirons quelques mots est le mouvement /t^riodique. A des intervalles de temps égaux, le point mobile repasse par les mêmes positions de lespace et y reprend les mêmes vitesses. Chacun de ces intervalles est Ibl période du mouvement. Le type le plus simple est le mouvement défini par l'équation :

(1) 5==Asina/,

A et ce étant deux constantes. Lorsque Pangle a/ augmente de

Stt, c*est-à dire lorsque/ augmente de — , le sinus de cet angle

reprend la même valeur et par suite le mobile repasse au même point de sa trajectoire. La vitesse, exprimée par :

(2) t? = -=Aacosa/

reprend aussi les mêmes valeurs après des intervalles tels que «/ soit augmenté de 2ir, de sorte que la période de ce mouve* ment est :

L espace s attemt son maximum A pour / = ---{- et son

2oc oc

s 1. — DE LA VITESSE 125

minimum, — A, pour / = — 4- — . A ces deux instants, la

vitesse s*annule et change de signe : le mouvement, de direct, devient rétrograde ou inversement. Le mobile exécute donc, de part et d*autre de Porigine, des oscillations dont Tamplitude totale est 2A.

La courbe du mouvement est alors la sinusoïde représentée par Téquation :

(4) 5 = Asin^.

Une courbe quelconque, coupant Taxe des abscisses en deux points donnés, peut, comme on le sait, être reproduite entre ces deux points par la superposition d'une infinité de sinusoïdes de même amplitude, de sorte que Téquation d'un mouvement périodique quelconque, de période T, peut, quel que soit ce mouvement dans l'étendue de chaque période, être mise sous la forme :

(5^ 5 = Ao + A| cos— + AjCOS — +•••• An cos-— -f-....