B,sm Y + BiSm— H f-Bnsm

et si la courbe, dans l'étendue d'une période T, peut être représentée par une équation connue 5 = 9 (/), les coefficients A,, A,... Bi, B,... se déterminent par la règle ordinaire de Fourier, c'est-à-dire que Ton a, quel que soit n :

9 (/) cos — dt.

&•. MouTement périodlqaenient anlforme. — Désignons pour abréger par / (/) l'expression qui forme le second membre de l'équation (5) ci-dessus (n'' 58), et considérons le mouvement représenté par :

(1) s=aH-*^+/(0,

Fig. 61.

126 CHAP. m. - MOUVEMENT D'UN POINT. ÉTUDE GÉNÉRALE

a et 6 étant deux constantes. A la fin de chaque période T, le point mobile se trouvera dans la position qu'il aurait occupée si, pendant la période considérée, il s'était déplacé d'un mouvement uniforme, s=:a + bt. Le mouvement, ainsi défini, est dit périodiquement uni/orme. Il est représenté par une ligne sinusoïdale telle que ABAjB, (fig. 61), tracée de part et

d'autre d*une droite inclinée MN, dont Téquation est

s = a -+• bt.

Ce mouvement uniforme, dont le mouvement réel s'approche d'autant plus qu'on le considère sur une étendue plus grande^ porte le nom de moyen mouvement du mobile.

Le mouvement périodiquement uniforme est extrêmement fréquent : c'est presque le seul mouvement uniforme qu'il soit possible d'observer ou de réaliser. Les mouvements des corps célestes, à l'exception peut-être de leur rotation sur eux-mêmes, et tous ceux que Ton produit au moyen des machines les plus parfaites, ne sont pas rigoureusement uniformes; ils ne sont que périodiquement uniformes, c'est-à-dire qu'ils s'écartent de l'uniformité de quantités souvent très petites et négligeables, mais presque toujours appréciables.

GO. Reprééentation g^éométrique de la vitesse. —

Revenons au mouvement quelconque, uniforme ou varié, d'un point mobile M parcourant une trajectoire OS (fig. 62). Sa

vitesse, au point M, est la limite du rapport de l'espace MM' au temps infiniment petit employé & le parcourir, ou c'est l'espace infiniment petit MM' rapporté à l'unité de temps. Elle est donc dirigée suivant MM', c'est-à-dire, à la limite, suivant Fig. 6i. ]g^ tangente à la trajectoire au point M, et

elle a une grandeur finie, que l'on représente à une échelle déterminée par une ligne MA portée sur cette tangente dans la direction du mouvement. La ligne MA, ainsi définie en

grandeur, direction et sens, est la vitesse du mobile au point M de sa trajectoire.

Si, à chaque instant^ on projette le point mobile sur un plan ou sur une droîle, la projection pourra être considérée comme un autre point mobile parcourant une trajectoire qui sera la projection de celle que parcourt le premier point. La tangente à cette trajectoire de la projection sera la projection de la tangente à la première trajectoire. Si Ton projette en même temps les lignes MM' et MÂ^ le rapport des projections sera égal à celui des lignes elles-mêmes, c'est-à-dire à l'espace de temps infiniment petit employé à parcourir soit MM', soit sa projection. La projection de MA représentera donc en grandeur, comme en direction et sens, la vitesse de la projection du point mobile, et cela, que la projection soit orthogonale ou oblique, qu'elle se fasse sur un plan ou sur une droite. C'est ce que Ton exprime en disant que :

La vitesse de la projection d'un point mobile est égale à la projection de sa vitesse.

•t. Définition d'nn mouvenient par ses projeetions. Mouvements simaltanés. Une ligne droite quelconque étant la résultante de ses projections sur les axes coordonnés, il s'en suit que la vitesse d*un point mobile dans l'espace est la résultante des vitesses de ses projections sur trois axes rectangulaires ou obliques.

Prenons, par exemple et pour simplifier, trois axes de coordonnées rectangulaires fixes Ox, Oy, Oz. La position M d^un point dans l'espace sera déterminée par ses trois coordonnées X, y, z, et son mouvement sera défini si l'on connaît, à chaque instant, les valeurs de ces trois coordonnées, c'est-àdire si l'on connaît les fonctions :

qui expriment ces coordonnées pour les différentes valeurs du temps t.

Mais ces trois équations peuvent être considérées comme définissant le mouvement rectiligne, sur chacun des axes, de trois points mobiles qui seraient les projections de M ; les vi-

tesses de ces trois points mobiles que nous désignerons respectivement par Vx^ Vy^ Vz auront pour valeurs :

et. d'après ce qui vient d'être dit, ces vitesses sont les projections, sur les trois axes, de la vitesse v du point M, laquelle a par conséquent pour valeur :

"= V^'^rvï^ = \/ (ï)" + (Sr + (I)'

La direction de cette vitesse est d'ailleurs délerminée puisque c'est celle de la diagonale d'un parallélépipède construit sur ses trois projections.

Ce mode de définition du mouvement d'un point, par celle du mouvement de ses projections, est de beaucoup la plus usitée en mécanique.

Très souvent même on emploie, en vue de généraliser davantage, une dénomination différente : celle de mouvements simultanés. C'est évidemment une pure abstraction puisqu'un point n'a jamais en réalité qu'un seul mouvement ; mais voici comment on peut imaginer des mouvements simultanés.

Soient mwî„ mm, mm„ mm4, (fig. 63) un certain nombre

de lignes issues d'un même point m, et mm leur résultante. Imaginons que du point m 7"^ partent simultanément autant de points mo- V-- -^ biles qu'il y a de lignes divergentes, chacun Fig. 63. d'eux se déplaçant de manière à arriver à

l'extrémité de la ligne correspondante au bout du même intervalle de temps A/. On dit que le point m qui est venu en m' a été animé simultanément des mouvements des points qui sont venus en mi, m,, ... m^, et que l'on appelle les mouvements composants. On voit bien que si le point dont il s'agit avait été animé successivement de mouvements équipollents à ceux des autres points, il serait effectivement venu en m' comme dans son mouvement réel ; en vertu du déplacement du premier point, il serait venu de m en mi ; par suite du déplacement du second, venu de m en m,, il serait venu de mi en

§ 1. — DE LA VITKSSK 129

m't et ainsi de suite. Si Ton suppose qu'il en soit de même pendant chacun des intervalles de temps consécutifs, au bout de chacun de ces intervalles, le déplacement réel de Tun des points sera la somme géométrique ou la résultante des déplacements des autres; la succession des mouvements composants s effectuant ainsi pendant des périodes que Ton fail tendre vers zéro, Ton dit pour simplifier le langage que ces mouvements sont simultmiés.

La notion de la simultanéité se substitue d'ailleurs naturellement à celle de la succession lorsque Ton en vient à considérer les vitesses. Si Ton veut en effet comparer les vitesses dans le mouvement réel de m en m' et dans les mouvements composants, il faut que chacun des espaces parcourus ntm\ mmiy .... mm^ le soit pendant le même intervalle de temps A^, ce qui serait impossible si les déplacements étaient successifs ; si au contraire on suppose que les mouvements soient simulr tanés, les vitesses sont respectivement égales aux déplacements divisés par A^ et par suite la vitesse dans le mouvement réel est la résultante des vitesses dans les mouvements composants.

Lorsque Ton considère les projections d'un point mobile sur trois axes rectangulaires, par exemple, ces projections peuvent être considérées comme des points mobiles animés de mouvements simultanés dont les vitesses sont les projections sur les mêmes axes de la vitesse du point en mouvement, laquelle est bien, par conséquent, la résultante des vitesses dans les mouvements composants.

La substitution de la notion de mouvements simultanés à celle de mouvements projetés permet une généralisation plus grande, puisque Ton peut considérer un grand nombre de mouvements simultanés tandis que Ton ne peut projeter au plus que sur trois directions. Lorsqu'il s'agira de projections, nous emploierons indifféremment le^ deux dénominations : mouvements simultanés, mouvements projetés, qui sont alors tout à fait équivalentes.

Nous résumons ce qui précède en disant que la vitesse du

mouvement réel d'un point est la résultante des vitesses des

projections de ce point sur les trois axes. Nous compléterons

130 CHAP. m. — MOUVEMENT D'UN POINT. ÉTUDE GÉNÉRALE

d'ailleurs celte étade des mouvements simultanés dans un chapitre spécial (chapitre VI).

Les trois équations qui définissent les mouvements rectili* gnes de ces projections suffisent donc pour déterminer le mouvemonl du point dansTespace et si, entre ces trois équations, en élimine la variable /, il restera deux équations entre x, y, s qui seront celles de la trajectoire du point mobile.

De même si, les vitesses des projections étant connues, on en construit la résultante, on aura la vitesse du point dans l'espace ; et la direction de cette vitesse sera celle de la tangente à la trajectoire.

On peut souvent, par ce procédé, tracer la tangente à une courbe définie par le mouvement d'un point.

Ce qui précède s'applique, bien entendu,au cas particulier où le mouvement, s*effectuant dans un plan, peut être rapporté à

deux axes de coordonnées rectangulaires dans ce plan. Il suffit

dz de faire, dans les formules précédentes, ^, et v,, ou — égaux à

zéro.

•9. Mo VTeiifteiit plaît rapporté A det» eoonlaiinées pa« lairea. — La position d'un point M dans un plan, peut aussi être définie par des coordonnées polaires : la distance r de ce point à un point fixe pris pour pôle et l'angle 6 fait par cette distance avec une direction fixe prise pour axe polaire ; et le mouvement de ce point, dans le plan, pourra être défini par deux équations :

exprimant les valeurs de ces deux coordonnées en fonction du temps et entre lesquelles il suffira d'éliminer / pour avoir Téqualion de la trajectoire. Un arc infiniment petit MM' de cette

trajectoire (fig. 6i) est la somme géométrique de sa projection MP, ou M'P' sur l'un des rayons vecteurs qui joignent ses extrémités au pôle, et de lare infiniment petit MF' (ou M'P qui Fif . 64. ^'^^ diffère que d^un infiniment petit

8 !• — t)Ë LA VITESSE 431

du second ordre) décrit du pôle comme centre. &ir etr ^dr sont les rayons vecteurs OM et OM' et si dH est l'angle infini* ment petit M'OM, on aura MP ==M'P'=e/r, et M'P ou MP'=rrfe, L'arc MM'y ou d$y a donc pour expression :

(2) cfc(=)rfr(+)rrfe;

ou, en divisant par dt,

La vitesse du point mobile est donc la somme géométrique

des deux quantités ;r9 ^t — . La première s'appelle la mVes^^e/^

glissement, c'est la vitesse de la projection du point sur le rayon vecteur ; nous, la représentons par Vr ; la seconde s'appelle la vitesse de circulation ou de rotation, c'est la vitesse de la projection du mobile sur une perpendiculaire au rayon vecteur ; représentons-la par o^f nous aurons^ puisque ces deux projections soulVectangulaires :

La connaissance de ces deux projections Vr et t;^ donnera la grandeur et la direction de la vitesse, et en particulier la direction de la tangente à la trajectoire.

Le rapport -j porte le nom de vitesse angulaire c'est l'accroissement de l'angle 6 rapporté à Tunité de temps, nous le re** présenterons souvent, pour abréger, par la lettre «d. Enfin l'accroissement de l'aire engendrée par le rayon vecteur, rapporté à Tunité de temps, s'appelle vitesse aréoidre. L'aira MOM' est égale, à une quantité infiniment petite près, à4'aire MOP' ou à

-rVO. La vitesse aréolaire que nous représenterons par t;^» a pour expression :

Si au point M on mto» la normal» MN ï la trajectoire et au

432 CHAP. m. — MOUVKMKNT D'UN POINT. ÉTUDE GÉNÉRALE

point la perpendiculaire ON au rayon vecteur, cette ligne ON s'appelle, comme on sait, la sous-normale et Ton a, à cause de la similitude des triangles rectangles OMN, PM'M :