MP

Si nous supposons la courbe rapportée à

des axes de coordonnées rectangulaires, la

Fig. 6o. ligne DD' étant prise pour axe des y, la

§ I. — DE LA VITESSIi 133

distance MP sera Vx du point M et les projections de la vitesse

de ce point, sur les deux axes, seront ^r^^-j-

Si nous rapportons la courbe à des coordonnées polaires dont F serait le pôle, la ligne MF sera le rayon vecteur r, et la

projection de la vitesse sur le rayon vecteur sera — • Or, puisque nous avons, entre a; et r la relation :

(1) x=krj

nous avons aussi :

dx , dr

Le rapport des projections de la vitesse sur MP et sur MF est donc égal à A, c'est-à-dire au rapport même de ces deux lignes : si la vitesse est représentée par une ligne ayant pour projection sur MP une longueur égale à MP, sa projection sur MF sera égale à MF. Il suffira, pour avoir la direction de celte vitesse, d'élever aux points P et F des perpendiculaires à MP et à MF (la première de ces deux lignes étant la droite DD'), de les prolonger jusqu'à leur point d'intersection T et de joindre TM qui sera la tangente à la trajectoire du point M.

IL ElHpse définie par ses foyers, — Le mouvement d'un

^ point M (fig. 66) étant défini par la

yL^\ condition que la somme de ses dis-

^^.x'^lN. \ tances MF et MF' à deux points

^y^^"^ ^ •— • -^^^ fixes F et F' soit constante,on aura

^jffT^.- — i si l'on représente respectivement

^ pj gg ces distances par r et / :

en appelant %a une constante. La courbe décrite par le point M étant rapportée à des coordonnées polaires dont le pôle serait F, la projection de la vitesse de ce point sur le rayon vecteur

FM aurait pour valeur — . De même si cette courbe est rappor-

134 CHAP. III. — MOUVEMENT D'UN POINT. ÉTUDE GÉNÉRALE tée à des coordonnées polaires dont le p6le soit F, la projec-

drf

tion de la vitesse du point M sur le rayon vecteur VM sera -r . Or l'expression précédente, différentiée, donne :

/•v dr dr^ ^

(4) J: + :^=0 on

df"

dt~'

~ dt '

dt ' dt

c'est-à-dire que les projections de la vitesse du point M sur les rayons vecteurs FM et FM sont égales et de signes contraires; si donc Ton prend, sur Tun de ces rayons, une longueur positive MB pour représenter la projection de la vitesse, la projection de la même vitesse sur l'autre rayon sera une longueur négative MA, égale en valeur absolue à MB, et par suite la direction de la vitesse passera par le point d'intersection des deux perpendiculaires BT, AT élevées aux points A et B sur les deux rayons vecteurs. On vérifie ainsi que la tangente fait des angles égaux avec les rayons menés au point de contact.

Ce qui précède s'applique, bien entendu, & Thyperbole définie par la condition :

Gela s'appliquerait également à une courbe quelconque définie par une équation :

entre les distances d'un quelconque de ses points à deux pôles fixes F et F. Cette équation donne :

on connaît donc le rapport des deux projections -r et j de la

vitesse sur les deux rayons vecteurs ; ce rapport est égal à Tinverse^ changé de signe, de celui des deux dérivées partielles de la fonction ^par rapport à ses deux variables r et r'. Ce rapport étant connu, si Ton prend sur l'un des rayons vecteurs

une certaine longueur arbitraire pour représenter la projection de la vitesse, on pourra calculer la projection de la même vitesse sur l'autre rayon vecteur et par conséquent avoir la directien de la tangente à la courbe.

Une généralisation analogue serait applicable à Texemple précédent, si une courbe était délinie par une relation :

entre l'abscisse d'un de ses points et la distance de ce point à

un point fixe.

ni. Conchoïde. — Une courbe quelconque CA (fig. 67) étant

donnée, ainsi qu'un point dans son plan, on mène par ce point un rayon vecteur quelconque OA que l'on prolonge d^une quantité constante AM = a. Le point M décrit une conchoïde de la courbe donnée. Si l'on suppose ces doux courbes rapportées à des coordonnées polaires ayant le point pour pôle et si on désigne par r et r leurs rayons vecteurs respectifs OA et OM, on

Fig. 67.

aura, par définition :

et l'angle 6 sera le même pour les deux courbes, ou 0' = 0. Les composantes suivant le rayon vecteur des vitesses des deux points A et M, ou ce que Ton appelle les vitesses de glis-

sèment de ces deux points, sont respectivement ~ et -j et ces

quantités sont égales d'après l'expression précédente (9). Les vitesses de circulation, ou les composantes perpendiculai-

res au rayon vecteur sont respectivement r -j et r "^ et leur

rapport est le même que celui des rayons vecteurs r et r'. Si donCy sur la tangente AB, supposée connue, de la courbe CC,

136 CHAP. m. — MOUVEMENT DX'N POINT. ÉTUDE GÉNÉRALE

on porte une longueur quelconque AB représentant la vitesse du point Â et si Ton construit ses deux composantes AE, AD, les composantes MK, MF de la vitesse du point M seront MK==AE